1、1 5.5 三角恒等变换三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第第 1 课时课时 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解两角差的余弦公式的推导过程(重点) 2理解用向量法导出公式的主要步骤(难点) 3熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算(重点、易混点) 1. 通过两角差的余弦公式的推导， 培养数学运算素养 2. 借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养. 两角差的余弦公式 公式 cos()cos_cos_sin_sin_ 适用条件 公式中的角 ， 都是任意角 公式结构 公
2、式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反 1sin 14 cos 16 sin 76 cos 74 ( ) A.32 B.12 C32 D12 B sin 14 cos 76 ，cos 74 sin 16 ， 原式cos 76 cos 16 sin 76 sin 16 cos(76 16 )cos 60 12. 2cos(15 )的值是( ) A.6 22 B.6 22 2 C.6 24 D.6 24 D cos(15 )cos 15 cos(45 30 )cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 223222126 24. 3cos 65 cos 20 s
3、in 65 sin 20 _. 22 cos 65 cos 20 sin 65 sin 20 cos(65 20 )cos 45 22. 给角求值问题 【例 1】 (1)cos1312的值为( ) A.6 24 B.6 24 C.2 64 D6 24 (2)求下列各式的值： cos 75 cos 15 sin 75 sin 195 ； sin 46 cos 14 sin 44 cos 76 ； 12cos 15 32sin 15 . (1)D cos1312cos12cos12 cos46 cos4cos6sin4sin6 223222126 24. (2)解：cos 75 cos 15 si
4、n 75 sin 195 cos 75 cos 15 sin 75 sin(180 15 ) 3 cos 75 cos 15 sin 75 sin 15 cos(75 15 )cos 60 12. sin 46 cos 14 sin 44 cos 76 sin(90 44 )cos 14 sin 44 cos(90 14 ) cos 44 cos 14 sin 44 sin 14 cos(44 14 )cos 30 32. 12cos 15 32sin 15 cos 60 cos 15 sin 60 sin 15 cos(60 15 )cos 45 22. 1解含非特殊角的三角函数式的求值问题
5、的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值 (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值 2两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦 (2)把所得的积相加 1化简下列各式： (1)cos(21 )cos(24 )sin(21 )sin(24 )； (2)sin 167 sin 223 sin 257 sin 313 . 解 (1)原式cos21 (24 )cos 45 22. (2)原式sin(180 13 )sin(180 43 )sin(180 77 ) sin(360 47 ) s
6、in 13 sin 43 sin 77 sin 47 sin 13 sin 43 cos 13 cos 43 cos(13 43 )cos(30 )32. 4 给值(式)求值问题 探究问题 1若已知 和 的三角函数值，如何求 cos 的值？ 提示：cos cos() cos()cos sin()sin . 2利用 () 可得 cos 等于什么？ 提示：cos cos()cos cos()sin sin() 【例 2】 (1)已知 sin sin 132，cos cos 12，则 cos()( ) A32 B12 C.12 D.32 (2)已知 sin3 1213，6，23，求 cos 的值 思
7、路点拨 (1)先将已知两式平方， 再将所得两式相加， 结合平方关系和公式C()求cos() (2)由已知角3 与所求角 的关系即 3 3寻找解题思路 (1)D 因为 sin sin 132， 所以 sin22sin sin sin21322， 因为 cos cos 12，所以 cos22cos cos cos2122， ，两式相加得 12cos()11 33414 所以2cos() 3 所以 cos()32. (2)解 6，23，32， ， cos3 1sin23 5 112132513. 3 3， cos cos3 3 cos3 cos3sin3 sin35131212133212 3526
8、. 1将例 2(2)的条件改为“sin445，且434”，如何解答？ 解 sin445，且434， 24， cos4145235， cos cos44 cos4cos 4sin4sin 4 35224522210. 2将例 2(2)的条件改为“sin3 1213，6，56”，求 cos12的值 解 656，236， 又 sin3 12130， 230，cos3 1sin23 513， cos12cos12 cos3 422cos 3 22sin3 225132212137 226. 6 给值求值问题的解题策略 1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中
9、角的关系，即拆角与凑角. 2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ； 22； 2； 2. 给值求角问题 【例 3】 已知 sin()4 37，cos()1314，02，求角 的大小 思路点拨 求cos 、sin 求cos cos 求 解 因为 sin()4 37， 所以 sin 4 37.因为 02， 所以 cos 1sin217. 因为 cos()1314， 且 02，所以 02， 所以 sin()1cos23 314， 所以 cos cos()cos cos()sin sin()1713144 373 31412.因为02，所以 3.
10、 7 已知三角函数值求角的解题步骤 1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. 3结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. 2已知 ， 均为锐角，且 cos 2 55，cos 1010，求 的值 解 ， 均为锐角， sin 55，sin 3 1010， cos()cos cos sin sin 2 551010553 101022. 又 sin sin ， 02，20， 故 4. 1给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角
11、函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧 2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找一个单调区间)；确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定 1思考辨析 (1)cos(60 30 )cos 60 cos 30 .( ) (2)对于任意实数 ，cos()cos cos 都不成立( ) (3)对任意 ，R，cos()cos cos sin sin 都成立( ) 8 (4)cos 30 cos 120 sin 30 si
12、n 120 0.( ) 提示 (1)错误cos(60 30 )cos 30 cos 60 cos 30 . (2)错误 当 45 ，45 时，cos()cos(45 45 )cos(90 )0，cos cos cos(45 )cos 45 0，此时 cos()cos cos . (3)正确结论为两角差的余弦公式 (4)正确cos 30 cos 120 sin 30 sin 120 cos(120 30 )cos 90 0. 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知 为锐角， 为第三象限角，且 cos 1213，sin 35，则 cos()的值为( ) A6365 B3365 C.6365
13、D.3365 A 为锐角，cos 1213，sin 1cos2513， 为第三象限角，sin 35， cos 1sin245， cos()cos cos sin sin 121345513356365. 3cos(35 )cos(25 )sin(35 )sin(25 )_. 12 原式cos(35 )(25 ) cos(60 )cos 60 12. 4已知 sin 45，sin 513，且 180 270 ，90 180 ，求 cos()的值 解 因为 sin 45，180 270 ， 所以 cos 35. 因为 sin 513，90 180 ， 所以 cos 1213， 所以 cos()cos cos sin sin 9 35121345513 366520651665.