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5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)单调性与最值 学案(含答案)

1、1 第第 2 课时课时 单调性与最值单调性与最值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握 ysin x,ycos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值 (重点、 难点) 2.掌握 ysin x,ycos x 的单调性,并能利用单调性比较大小(重点) 3.会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的单调区间(重点、易混点) 1.通过单调性与最值的计算,提升数学运算素养. 2.结合函数图象,培养直观想象素养. 解析式 ysin x ycos x 图象 值域 1,1 1,1 单调性 在 22k,22k,kZ 上单调递增, 在 22k,322k,kZ 上单调递减 在2k,2k,k

2、Z 上单调递增, 在2k,2k,kZ 上单调递减 最值 x22k, kZ 时, ymax1; x22k,kZ 时,ymin1 x2k,kZ 时,ymax1;x2k,kZ 时,ymin1 思考:ysin x 和 ycos x 在区间(m,n)(其中 0mn2)上都是减函数,你能确定 m的最小值、n 的最大值吗? 提示:由正弦函数和余弦函数的单调性可知 m2,n. 2 1函数 ycos x 在区间2,2上是( ) A增函数 B减函数 C先减后增函数 D先增后减函数 C 因为 ycos x 在区间2,2上先增后减,所以 ycos x 在区间2,2上先减后增 2函数 ysin x4x56的值域为_ 1

3、2,1 因为4x56,所以12sin x1,即所求的值域为12,1 . 3函数 y2sin x 取得最大值时 x 的取值集合为_ xx2k2,kZ 当 sin x1 时,ymax2(1)3, 此时 x2k2,kZ. 4若 cos xm1 有意义,则 m 的取值范围是_ 0,2 因为1cos x1,要使 cos xm1 有意义, 须有1m11,所以 0m2. 正弦函数、余弦函数的单调性 【例 1】 (1)函数 ycos x 在区间,a上为增函数,则 a 的取值范围是_ (2)已知函数 f(x) 2sin42x 1,求函数 f(x)的单调递增区间 思路点拨 (1)确定 a 的范围ycos x 在区

4、间, a上为增函数ycos x 在区间,0上是增函数,在区间0,上是减函数a 的范围 (2)确定增区间令 u42xy 2sin u 的单调递增区间 (1)(,0 (1)因为 ycos x 在,0上是增函数,在0,上是减函数,所以只有a0 时满足条件,故 a(,0 3 (2)解 令 u42x,函数 y 2sin u 的单调递增区间为22k,22k ,kZ,由22k42x22k,kZ, 得38kx8k,kZ. 所以函数 f(x) 2sin42x 1 的单调递增区间是38k,8k ,kZ. 1求形如 yAsin(x)b 或形如 yAcos(x)b(其中 A0,0,b 为常数)的函数的单调区间,可以借

5、助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得 2具体求解时注意两点:要把 x 看作一个整体,若 0,0 时,将“x”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当 A0 时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间 提醒:复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律 1(1)函数 ysin3x6,x3,3的单调递减区间为_ (2)已知函数 ycos32x ,则它的单调减区间为_ (1)3,29,9,3 (2)k6,k23(kZ) (1)由22k3x6322k(kZ), 得92k3x492k3(kZ) 又 x3,3, 所以函数 ysin3x6, x3,3的单调

6、递减区间为3,29,9,3. (2)ycos32x cos2x3, 4 由 2k2x32k,kZ, 得 k6xk23,kZ,单调递减区间是k6,k23(kZ) 利用三角函数的单调性比较大小 【例 2】 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小 (1)sin18与 sin10; (2)sin 196 与 cos 156 ; (3)cos235 与 cos174 . 思路点拨 用诱导公式化简 利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小 解 (1)210182, sin18sin10. (2)sin 196 sin(180 16 )sin 16 , cos 156 cos(180 24 )

7、cos 24 sin 66 , 0 16 66 90 , sin 16 sin 66 , 从而sin 16 sin 66 , 即 sin 196 cos 156 . (3)cos235 cos235 cos435 cos35, cos174 cos174 cos44cos4. 5 0435,且 ycos x 在0,上是减函数, cos35cos4, 即 cos235 cos174 . 三角函数值大小比较的策略 1利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到2,2或2,32内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到,0或0,内. 2不同名的函数化为同名的函数. 3自变量不在同一单调区间化至同

8、一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小. 2(1)已知 , 为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是( ) Asin sin Bcos sin Ccos cos Dcos cos (2)比较下列各组数的大小: cos158,cos149;cos 1,sin 1. (1)B , 为锐角三角形的两个内角,2,2,0,2,20,2, 所以 cos cos2 sin . (2)解 cos158cos8,cos149cos49,因为 0849,而 ycos x 在0,上单调递减, 所以 cos8cos49, 即 cos158cos149. 因为 cos 1sin21 , 而 02112且

9、ysin x 在0,2上单调递增, 所以 sin216 sin 1, 即 cos 1sin 1. 正弦函数、余弦函数的最值问题 探究问题 1函数 ysinx4在 x0,上最小值是多少? 提示:因为 x0,所以 x44,54,由正弦函数图象可知函数的最小值为22. 2函数 yAsin xb,xR 的最大值一定是 Ab 吗? 提示:不是因为 A0 时最大值为 Ab,若 A0 时最大值应为Ab. 【例 3】 (1)函数 ycos2x2sin x2,xR 的值域为_ (2)已知函数 f(x)asin2x3b(a0)当 x0,2时,f(x)的最大值为 3,最小值是2,求 a 和 b 的值 思路点拨 (1

10、)先用平方关系转化,即 cos2x1sin2x,再将 sin x 看作整体,转化为二次函数的值域问题 (2)先由 x0,2求 2x3的取值范围,再求 sin2x 3的取值范围,最后求 f(x)min,f(x)max,列方程组求解 (1)4,0 ycos2x2sin x2 sin2x2sin x1(sin x1)2. 因为1sin x1,所以4y0, 所以函数 ycos2x2sin x2,xR 的值域为4,0 (2)解 0 x2, 32x323, 32sin2x31, f(x)maxab 3, 7 f(x)min32ab2. 由 ab 3,32ab2,得 a2,b2 3. 1求本例(1)中函数取

11、得最小值时 x 的取值集合 解 因为 ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2, 所以当 sin x1 时,ymin4, 此时 x 的取值集合为x x2k2,kZ. 2将本例(1)中函数改为 ycos2xsin x,xR 结果又如何? 解 ycos2xsin x1sin2xsin xsin x12254. 因为1sin x1, 所以1y54, 所以函数 ycos2xsin x,xR 的值域为1,54. 三角函数最值问题的常见类型及求解方法: 1yasin2xbsin xca0,利用换元思想设 tsin x,转化为二次函数 yat2btc求最值,t 的范围需要根据定义

12、域来确定. 2yAsinxb,可先由定义域求得 x 的范围,然后求得 sinx的范围,最后得最值. 1确定三角函数单调区间的方法有多种,如换元法、列表法、图象法等,解题时需适当选取,同时要注意,求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行 2函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域,求三角函数值域的方法很多,如果函数式中含有多个三角函数式,往往要先将函数式进行变形. 8 1思考辨析 (1)ysin x 在(0,)上是增函数( ) (2)cos 1cos 2cos 3.( ) (3)函数 y12sin x,x0,2的最大值为 0.( ) 提示 (1)错误ysin x 在0,2上是增函数,在2,

13、上是减函数 (2)正确ycos x 在(0,)上是减函数,且 0123,所以 cos 1cos 2cos 3. (3)正确函数 y12sin x 在 x0,2上为减函数,故当 x0 时,取最大值 0. 答案 (1) (2) (3) 2y2cos x2的值域是( ) A2,2 B0,2 C2,0 DR A 因为 xR,所以 x20,所以 y2cos x22,2 3sin27_sin158(填“”或“”) sin158sin28sin8, 因为 08272, ysin x 在0,2上是增函数, 所以 sin8sin27, 即 sin27sin158. 4函数 y1sin 2x 的单调递增区间 解 求函数 y1sin 2x 的单调递增区间,转化为求函数 ysin 2x 的单调递减区间, 由22k2x322k,kZ, 得4kx34k,kZ,即函数的单调递增区间是4k,34k (kZ)