1、1 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第第 1 课时课时 周期性与奇偶性周期性与奇偶性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 2 会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期(重点) 3掌握函数 ysin x，ycos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点、易混点) 1.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养 2借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养. 1函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)，那么这个函数的周期为 T
2、. (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 ysin x ycos x 周期 2k(kZ 且 k0) 2k(kZ 且 k0) 最小正周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 1函数 y2sin2x2是( ) A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数 C周期为 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数 B y2sin2x22cos 2x，它是周期为 的偶函数 2函数 f(x) 2sin 2x 的奇偶性为( ) 2 A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数 A f(x) 2s
3、in 2x 的定义域为 R，f(x) 2sin 2(x) 2sin 2xf(x)，所以 f(x)是奇函数 3函数 f(x) 3sinx24，xR 的最小正周期为_ 4 由已知得 f(x)的最小正周期 T224. 4若函数 yf(x)是以 2 为周期的函数，且 f(5)6，则 f(1)_. 6 由已知得 f(x2)f(x)， 所以 f(1)f(3)f(5)6. 三角函数的周期问题及简单应用 【例 1】 求下列函数的周期： (1)ysin2x4； (2)y|sin x|. 思路点拨 (1)法一：寻找非零常数 T，使 f(xT)f(x)恒成立 法二：利用 yAsin(x)的周期公式计算 (2)作函数
4、图象，观察出周期 解 (1)法一：(定义法)ysin2x4 sin2x42 sin2x4， 所以周期为 . 法二：(公式法)ysin2x4中 2，T222. (2)作图如下： 3 观察图象可知周期为 . 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解 (2)公式法：对形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(A， 是常数，A0，0)的函数，T2|. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期 提醒：y|Asin(x)|(A0，0)的最小正周期 T|. 1利用周期函数的定义求下列函数的周期 (1)ycos 2x，xR； (2)ysin13x4，xR. 解 (1)因为 cos 2(
5、x)cos(2x2)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x 的周期为 . (2)因为 sin13x64 sin13x24sin13x4，由周期函数的定义知，ysin13x4的周期为 6. 三角函数奇偶性的判断 【例 2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)sin12x2； (2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)； (3)f(x)1sin xcos2x1sin x. 思路点拨 4 解 (1)显然 xR，f(x)cos12x， f(x)cos12x cos12xf(x)， f(x)是偶函数 (2)由 1sin x0，1sin x0，得1sin x1， 解得定义域为x
6、xR且xk2，kZ， f(x)的定义域关于原点对称 又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)， f(x)lg1sin(x)lg1sin(x) lg(1sin x)lg(1sin x)f(x)， f(x)为奇函数 (3)1sin x0，sin x1， xR 且 x2k2，kZ. 定义域不关于原点对称， 该函数是非奇非偶函数 1判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看 f(x)与 f(x)的关系 2对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则 2判断下列函数的奇偶性： 5 (1)f(x
7、)cos322x x2sin x； (2)f(x)12cos x 2cos x1. 解 (1)f(x)sin 2xx2sin x， 又xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x) sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数 (2)由 12cos x0，2cos x10，得 cos x12， f(x)0，x2k3，kZ， f(x)既是奇函数又是偶函数 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 探究问题 1试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？ 提示：奇函数有 y2sin x，ysin 2x，y5sin 2x，ysin xcos x 等偶函数有 ycos 2x1，y3cos 5x，ysin x
8、 sin 2x 等 2若函数 yf(x)是周期 T2 的周期函数，也是奇函数，则 f(2 018)的值是多少？ 提示：f(2 018)f(01 0092)f(0)0. 【例 3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是( ) Aycos|2x| By|sin 2x| Cysin22x Dycos322x (2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)的最小正周期为 ，且当x0，2时，f(x)sin x，则 f53等于( ) A12 B.12 C32 D.32 思路点拨 (1)先作出选项 A，B 中函数的图象，化简选项 C、D 中函数的解析式，再判断奇偶性
9、、周期性 (2)先依据 f(x)f(x)化简 f53；再依据 f(x)是偶函数和 x0，2，f(x)sin x 求值 6 (1)D (2)D (1)ycos|2x|是偶函数，y|sin 2x|是偶函数，ysin22x cos 2x 是偶函数，ycos322x sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T. (2)f53f53 f23 f23 f3f3 sin332. 1若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“”改为“1112”，其他条件不变，结果如何？ 解 f53f5311122 f6 f6sin612. 2若本例(2)中的周期“”改为“2”，其他条件不变，求 f196 . 解 f(
10、x)的周期为2，且为偶函数，f196 f36f6f612. 1三角函数周期性与奇偶性的解题策略 探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 yAsin(x)或 yAcos(x)的形式，再利用公式求解 2与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使 yAsin(x)(A0)为奇函数，则 k(kZ)； (2)要使 yAsin(x)(A0)为偶函数，则 k2(kZ)； (3)要使 yAcos(x)(A0)为奇函数，则 k2(kZ)； (4)要使 yAcos(x)(A0)为偶函数，则 k(kZ) 1“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T 是非零常7 数， 周期T是
11、使函数值重复出现的自变量x的增加值， 周期函数的图象每隔一个周期重复一次 2周期函数定义中的“f(xT)f(x)”是对定义域中的每一个 x 值来说的，只有个别的 x值满足 f(xT)f(x)，不能说 T 是 yf(x)的周期 3在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称若是，再判断 f(x)与 f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数. 1思考辨析 (1)若 sin236sin6，则23是函数 ysin x 的一个周期( ) (2)所有的周期函数都有最小正周期( ) (3)函数 y sin x是奇函数(
12、 ) 提示 (1).因为对任意 x，sin23x 与 sin x 并不一定相等 (2).不是所有的函数都有最小正周期， 如函数f(x)5是周期函数， 就不存在最小正周期 (3).函数 y sin x的定义域为x|2kx2k，kZ，不关于原点对称，故非奇非偶 答案 (1) (2) (3) 2如图所示的是定义在 R 上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( ) D 观察图象易知，只有 D 选项中的图象不是周期函数的图象 3若函数 yf(x)是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数且 f(1)3，则 f(5)_. 3 由已知得 f(x3)f(x)，f(x)f(x)，所以 f(5)f(2)f(1)f(1)3. 4判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)2cos 3x； 8 (2)f(x)xsin(x) 解 (1)f(x)2cos 3(x) 2cos 3xf(x)，xR， 所以 f(x)2cos 3x 为偶函数 (2)f(x)xsin(x)xsin x，xR， 所以 f(x)xsin(x)xsin xf(x)， 故函数 f(x)为偶函数