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5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)周期性与奇偶性 学案(含答案)

1、1 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第第 1 课时课时 周期性与奇偶性周期性与奇偶性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 2 会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期(重点) 3掌握函数 ysin x,ycos x 的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性(重点、易混点) 1.通过周期性的研究,培养逻辑推理素养 2借助奇偶性及图象的关系,提升直观想象素养. 1函数的周期性 (1)周期函数:对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(xT)f(x),那么这个函数的周期为 T

2、. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 ysin x ycos x 周期 2k(kZ 且 k0) 2k(kZ 且 k0) 最小正周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 1函数 y2sin2x2是( ) A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数 C周期为 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数 B y2sin2x22cos 2x,它是周期为 的偶函数 2函数 f(x) 2sin 2x 的奇偶性为( ) 2 A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数 A f(x) 2s

3、in 2x 的定义域为 R,f(x) 2sin 2(x) 2sin 2xf(x),所以 f(x)是奇函数 3函数 f(x) 3sinx24,xR 的最小正周期为_ 4 由已知得 f(x)的最小正周期 T224. 4若函数 yf(x)是以 2 为周期的函数,且 f(5)6,则 f(1)_. 6 由已知得 f(x2)f(x), 所以 f(1)f(3)f(5)6. 三角函数的周期问题及简单应用 【例 1】 求下列函数的周期: (1)ysin2x4; (2)y|sin x|. 思路点拨 (1)法一:寻找非零常数 T,使 f(xT)f(x)恒成立 法二:利用 yAsin(x)的周期公式计算 (2)作函数

4、图象,观察出周期 解 (1)法一:(定义法)ysin2x4 sin2x42 sin2x4, 所以周期为 . 法二:(公式法)ysin2x4中 2,T222. (2)作图如下: 3 观察图象可知周期为 . 求三角函数周期的方法: (1)定义法:即利用周期函数的定义求解 (2)公式法:对形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(A, 是常数,A0,0)的函数,T2|. (3)图象法:即通过观察函数图象求其周期 提醒:y|Asin(x)|(A0,0)的最小正周期 T|. 1利用周期函数的定义求下列函数的周期 (1)ycos 2x,xR; (2)ysin13x4,xR. 解 (1)因为 cos 2(

5、x)cos(2x2)cos 2x,由周期函数的定义知,ycos 2x 的周期为 . (2)因为 sin13x64 sin13x24sin13x4,由周期函数的定义知,ysin13x4的周期为 6. 三角函数奇偶性的判断 【例 2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)sin12x2; (2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x); (3)f(x)1sin xcos2x1sin x. 思路点拨 4 解 (1)显然 xR,f(x)cos12x, f(x)cos12x cos12xf(x), f(x)是偶函数 (2)由 1sin x0,1sin x0,得1sin x1, 解得定义域为x

6、xR且xk2,kZ, f(x)的定义域关于原点对称 又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x), f(x)lg1sin(x)lg1sin(x) lg(1sin x)lg(1sin x)f(x), f(x)为奇函数 (3)1sin x0,sin x1, xR 且 x2k2,kZ. 定义域不关于原点对称, 该函数是非奇非偶函数 1判断函数奇偶性应把握好的两个方面: 一看函数的定义域是否关于原点对称; 二看 f(x)与 f(x)的关系 2对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断 提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则 2判断下列函数的奇偶性: 5 (1)f(x

7、)cos322x x2sin x; (2)f(x)12cos x 2cos x1. 解 (1)f(x)sin 2xx2sin x, 又xR,f(x)sin(2x)(x)2sin(x) sin 2xx2sin xf(x),f(x)是奇函数 (2)由 12cos x0,2cos x10,得 cos x12, f(x)0,x2k3,kZ, f(x)既是奇函数又是偶函数 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 探究问题 1试举例说明哪些三角函数具有奇偶性? 提示:奇函数有 y2sin x,ysin 2x,y5sin 2x,ysin xcos x 等偶函数有 ycos 2x1,y3cos 5x,ysin x

8、 sin 2x 等 2若函数 yf(x)是周期 T2 的周期函数,也是奇函数,则 f(2 018)的值是多少? 提示:f(2 018)f(01 0092)f(0)0. 【例 3】 (1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是 的函数是( ) Aycos|2x| By|sin 2x| Cysin22x Dycos322x (2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数,又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为 ,且当x0,2时,f(x)sin x,则 f53等于( ) A12 B.12 C32 D.32 思路点拨 (1)先作出选项 A,B 中函数的图象,化简选项 C、D 中函数的解析式,再判断奇偶性

9、、周期性 (2)先依据 f(x)f(x)化简 f53;再依据 f(x)是偶函数和 x0,2,f(x)sin x 求值 6 (1)D (2)D (1)ycos|2x|是偶函数,y|sin 2x|是偶函数,ysin22x cos 2x 是偶函数,ycos322x sin 2x 是奇函数,根据公式得其最小正周期 T. (2)f53f53 f23 f23 f3f3 sin332. 1若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”,“”改为“1112”,其他条件不变,结果如何? 解 f53f5311122 f6 f6sin612. 2若本例(2)中的周期“”改为“2”,其他条件不变,求 f196 . 解 f(

10、x)的周期为2,且为偶函数,f196 f36f6f612. 1三角函数周期性与奇偶性的解题策略 探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为 yAsin(x)或 yAcos(x)的形式,再利用公式求解 2与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使 yAsin(x)(A0)为奇函数,则 k(kZ); (2)要使 yAsin(x)(A0)为偶函数,则 k2(kZ); (3)要使 yAcos(x)(A0)为奇函数,则 k2(kZ); (4)要使 yAcos(x)(A0)为偶函数,则 k(kZ) 1“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值都成立,T 是非零常7 数, 周期T是

11、使函数值重复出现的自变量x的增加值, 周期函数的图象每隔一个周期重复一次 2周期函数定义中的“f(xT)f(x)”是对定义域中的每一个 x 值来说的,只有个别的 x值满足 f(xT)f(x),不能说 T 是 yf(x)的周期 3在数轴上,定义域关于原点对称,是函数具有奇偶性的一个必要条件因此,确定函数的奇偶性,先要考查其定义域是否关于原点对称若是,再判断 f(x)与 f(x)的关系;若不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数. 1思考辨析 (1)若 sin236sin6,则23是函数 ysin x 的一个周期( ) (2)所有的周期函数都有最小正周期( ) (3)函数 y sin x是奇函数(

12、 ) 提示 (1).因为对任意 x,sin23x 与 sin x 并不一定相等 (2).不是所有的函数都有最小正周期, 如函数f(x)5是周期函数, 就不存在最小正周期 (3).函数 y sin x的定义域为x|2kx2k,kZ,不关于原点对称,故非奇非偶 答案 (1) (2) (3) 2如图所示的是定义在 R 上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象的是( ) D 观察图象易知,只有 D 选项中的图象不是周期函数的图象 3若函数 yf(x)是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数且 f(1)3,则 f(5)_. 3 由已知得 f(x3)f(x),f(x)f(x),所以 f(5)f(2)f(1)f(1)3. 4判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)2cos 3x; 8 (2)f(x)xsin(x) 解 (1)f(x)2cos 3(x) 2cos 3xf(x),xR, 所以 f(x)2cos 3x 为偶函数 (2)f(x)xsin(x)xsin x,xR, 所以 f(x)xsin(x)xsin xf(x), 故函数 f(x)为偶函数