1、1 5.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用(重点) 2会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明(难点) 1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养 2借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养. 1平方关系 (1)公式：sin2cos21. (2)语言叙述：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1. 2商数关系 (1)公式：sin cos tan_(k2，kZ) (2)语言叙述：同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切 思考：对任意的角 ，sin22cos221 是否成立？
2、 提示：成立平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关 1化简1sin235的结果是( ) Acos35 Bsin35 Ccos35 Dsin35 C 因为35是第二象限角， 所以 cos350， 所以1sin235cos235cos35cos35. 2如果 是第二象限的角，下列各式中成立的是( ) 2 Atan sin cos Bcos 1sin2 Csin 1cos2 Dtan cos sin B 由商数关系可知 A，D 均不正确当 为第二象限角时，cos 0，sin 0，故 B正确 3若 cos 35，且 为第四象限角，则 tan _. 43 因为 为第四象限角，且 cos
3、35， 所以 sin 1cos2135245， 所以 tan sin cos 43. 直接应用同角三角函数关系求值 【例 1】 (1)已知 ，32，tan 2，则 cos _. (2)已知 cos 817，求 sin ，tan 的值 思路点拨 (1)根据 tan 2 和 sin2cos21 列方程组求 cos . (2)先由已知条件判断角 是第几象限角，再分类讨论求 sin ，tan . (1)55 由已知得 sin cos 2，sin2cos21， 由得 sin 2cos 代入得 4cos2cos21， 所以 cos215，又 ，32，所以 cos 0， 所以 cos 55. 3 (2)解
4、cos 8170， 是第二或第三象限的角 如果 是第二象限角，那么 sin 1cos2181721517， tan sin cos 1517817158. 如果 是第三象限角，同理可得 sin 1cos21517，tan 158. 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法： 1已知角 的某一种三角函数值，求角 的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系. 2若角 所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角 所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果. 提醒： 应用平方关系求三角函数值时， 要注意有关角终边位置的判断， 确定所求值的符号
5、. 1已知 sin 3cos 0，求 sin ，cos 的值 解 sin 3cos 0， sin 3cos . 又 sin2cos21， (3cos )2cos21， 即 10cos21， cos 1010. 又由 sin 3cos ， 可知 sin 与 cos 异号， 角 的终边在第二或第四象限 4 当角 的终边在第二象限时，cos 1010，sin 31010； 当角 的终边在第四象限时，cos 1010，sin 31010. 灵活应用同角三角函数关系式求值 【例 2】 (1)已知 sin cos 713，(0，)，则 tan _. (2)已知sin cos sin cos 2，计算下列各
6、式的值 3sin cos 2sin 3cos ； sin22sin cos 1. 思路点拨 (1)法一： 求sin cos 求sin cos 求sin 和cos 求tan 法二： 求sin cos 弦化切构建关于tan 的方程 求tan (2) 求tan 换元或弦化切求值 (1)125 法一：(构建方程组) 因为 sin cos 713， 所以 sin2cos22sin cos 49169， 即 2sin cos 120169. 因为 (0，)，所以 sin 0，cos 0. 所以 sin cos sin cos 2 12sin cos 1713. 由解得 sin 1213，cos 513，
7、所以 tan sin cos 125. 法二：(弦化切) 同法一求出 sin cos 60169，sin cos sin2cos260169，tan tan2160169， 5 整理得 60tan2169tan 600，解得 tan 512或 tan 125. 由 sin cos 7130 知|sin |cos |，故 tan 125. (2)解 由sin cos sin cos 2，化简， 得 sin 3cos ， 所以 tan 3. 法一(换元)原式33cos cos 23cos 3cos 8cos 9cos 89. 法二(弦化切)原式3tan 12tan 333123389. 原式sin
8、22sin cos sin2cos21 tan22tan tan211322332111310. 1将本例(1)条件“(0，)”改为“(，0)”其他条件不变，结果又如何？ 解 由例(1)求出 2sin cos 120169， 因为 (，0)， 所以 sin 0，cos 0， 所以 sin cos sin cos 2 12sin cos 1713. 与 sin cos 713联立解得 sin 513，cos 1213， 所以 tan sin cos 512. 2将本例(1)的条件“sin cos 713”改为“sin cos 18”其他条件不变，求 cos sin . 6 解 因为 sin co
9、s 180，所以 2， ，所以 cos sin 0， cos sin 12sin cos 121852. 1sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin cos )21 2sin cos . 2已知 tan m，求关于 sin ，cos 的齐次式的值 解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于 sin ，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为 cos 0，所以可除以 cos ，这样可将被求式化为关于 tan 的表示式，然后代入 tan m 的值，从而完成被求式的求值 提醒：求 si
10、n cos 或 sin cos 的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号 应用同角三角函数关系式化简 【例 3】 (1)化简2sin2112cos2_. (2)化简sin 1cos tan sin tan sin .(其中 是第三象限角) 思路点拨 (1)将 cos21sin2 代入即可化简 (2)首先将 tan 化为sin cos ，然后化简根式，最后约分 (1)1 原式2sin21121sin22sin212sin211. (2)解 原式sin 1cos sin cos sin sin cos sin sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos 21
11、cos2 7 sin 1cos 1cos |sin |. 又因为 是第三象限角， 所以 sin 0. 所以原式sin 1cos 1cos sin 1. 三角函数式化简的常用方法 1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的. 2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. 3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的. 提醒：在应用平方关系式求 sin 或 cos 时，其正负号是由角 所在的象限决定，不可凭空想象. 2化简 tan 1sin21，其中 是第二象限角 解
12、 因为 是第二象限角，所以 sin 0，cos 0. 故 tan 1sin21tan 1sin2sin2tan cos2sin2sin cos cos sin sin cos cos sin 1. 应用同角三角函数关系式证明 探究问题 1证明三角恒等式常用哪些方法？ 提示：(1)从右证到左 (2)从左证到右 (3)证明左右归一 (4)变更命题法如：欲证明MNPQ，则可证 MQNP，或证QNPM等 2在证明1sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos 时如何巧用“1”的代换 8 提示： 在求证1sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos 时， 观察
13、等式左边有 2sin cos ，它和 1 相加应该想到“1”的代换，即 1sin2cos2， 所以等式左边 sin2cos22sin cos sin cos 1sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos sin cos 1sin cos 1 sin cos 右边 【例 4】 求证：tan sin tan sin tan sin tan sin . 思路点拨 解答本题可由关系式 tan sin cos 将两边“切”化“弦”来证明， 也可由右至左或由左至右直接证明 证明 法一：(切化弦) 左边sin2sin sin cos sin 1cos ， 右边sin
14、sin cos sin21cos sin . 因为 sin21cos2(1cos )(1cos )， 所以sin 1cos 1cos sin ，所以左边右边 所以原等式成立 法二：(由右至左) 因为右边tan2sin2tan sin tan sin tan2tan2cos2tan sin tan sin tan21cos2tan sin tan sin tan2sin2tan sin tan sin tan sin tan sin 9 左边， 所以原等式成立 1证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)
15、 2技巧感悟：朝目标奔常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式) 提醒：解决此类问题要有整体代换思想 3求证：(1)sin cos 1sin cos 11sin cos ； (2)2(sin6 cos6 )3(sin4 cos4 )10. 证明 (1)左边 sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1 sin 12cos2 sin cos 21 sin2 2sin 11sin2 sin2 cos2 2sin cos 1 2sin2 2sin 12sin cos 1 2sin sin 12sin cos 1sin co
16、s 右边， 原等式成立 (2)左边2(sin2 )3(cos2 )33(sin4 cos4 )1 2(sin2 cos2 )(sin4 sin2 cos2 cos4 )3(sin4 cos4 )1 (2sin4 2sin2 cos2 2cos4 )(3sin4 3cos4 )1 (sin4 2sin2 cos2 cos4 )1 (sin2 cos2 )21110右边， 10 原等式成立 1思考辨析 (1)对任意角 ，sin 2cos 2tan 2都成立( ) (2)因为 sin2 94cos2 41，所以 sin2cos21 成立，其中 ， 为任意角( ) (3)对任意角 ，sin cos t
17、an 都成立( ) 提示 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知 不能取任意角，所以(1)错，(3)错 答案 (1) (2) (3) 2已知 tan 12，则2sin cos sin2cos2的值是( ) A.43 B3 C43 D3 A 因为 tan 12， 所以2sin cos sin2cos22tan tan21212122143. 3已知 是第二象限角，tan 12，则 cos _. 2 55 因为sin cos 12，且 sin2cos21， 又因为 是第二象限角， 11 所以 cos 0， 所以 cos 2 55. 4(1)化简 sin2sin4，其中 是第二象限角 (2)求证：1tan21cos2. 解 (1)因为 是第二象限角，所以 sin 0，cos 0， 所以 sin cos 0， 所以 sin2sin4 sin21sin2 sin2cos2 sin cos . (2)证明：1tan21sin2cos2cos2sin2cos21cos2.