1、1 5.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能画出正切函数的图象(重点) 2.掌握正切函数的性质(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线 (易错点) 1.借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养. 2.通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养. 正切函数的图象与性质 解析式 ytan x 图象 定义域 x xR，且x2k，kZ 值域 R 周期 奇偶性 奇函数 对称中心 k2，0 ，kZ 单调性 在开区间2k，2k ，kZ 内都是增函数 1在下列函数中同时满足：在0，2上递增；以 2 为周期；是奇函数的是( ) Aytan
2、 x Bycos x Cytanx2 Dytan x C A，D 的周期为 ，B 中函数在0，2上递减，故选 C. 2 2函数 ytan2x6的定义域为_ x xk23，kZ 因为 2x6k2，kZ， 所以 xk23，kZ 所以函数 ytan2x6的定义域为 x xk23，kZ. 3函数 ytan 3x 的最小正周期是_ 3 函数 ytan 3x 的最小正周期是3. 4函数 ytanx5的单调增区间是_ k310，k710，kZ 令 k2x5k2，kZ 得 k310 xk710，kZ 即函数 ytanx5的单调增区间是 k310，k710，kZ. 有关正切函数的定义域、值域问题 【例 1】 (
3、1)函数 y1tan x4x4且x0 的值域是( ) A(1,1) B(，1)(1，) C(，1) D(1，) (2)函数 y3tan6x4的定义域为_ (3)函数 y tan x1lg(1tan x)的定义域为_ 思路点拨 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用3 三角函数的图象或三角函数线 (1)B (2)x x4k43，kZ (3)x 4kx0，即1tan x1. 在2，2上满足上述不等式的 x 的取值范围是4，4. 又因为 ytan x 的周期为 ，所以所求 x 的定义域为x 4kx4k，kZ. 1求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域
4、时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 ytan x 有意义即 x2k，kZ. (2)求正切型函数 yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令 xk2，kZ，解得 x. 2解形如 tan xa 的不等式的步骤 4 提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件 1函数 ylog12tan4x 的定义域是( ) A.x xk4，kZ B.x k4xk4，kZ C.x xk4，kZ D.x xk4，kZ B 由题意 tan4x 0， 即 tanx40， k2x4k， k4xk4，kZ，故选 B. 2求函数 ytan23x3tan3x31 的定义域和值域 解 由
5、 3x3k2，kZ，得 xk318(kZ)，所以函数的定义域为x xk318kZ. 设 ttan3x3， 则 tR，yt2t1t1223434， 所以原函数的值域是34， . 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 【例 2】 (1)函数 f(x)tan2x3的周期为_ 5 (2)已知函数 ytanx3，则该函数图象的对称中心坐标为_ (3)判断下列函数的奇偶性： y3xtan 2x2x4；ycos2x tan x. 思路点拨 (1)形如 yAtan(x)(A0)的周期 T|，也可以用定义法求周期 (2)形如 yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由 xk2，kZ 求出 (3)先求定义域看是
6、否关于原点对称，若对称再判断 f(x)与 f(x)的关系 (1)2 (2)k23，0 ，kZ (1)法一：(定义法) tan2x3 tan2x3， 即 tan2x23tan2x3， f(x)tan2x3的周期是2. 法二：(公式法) f(x)tan2x3的周期 T2. (2)由 x3k2(kZ)得 xk23(kZ)，所以图象的对称中心坐标为k23，0 ，kZ. (3)定义域为x xk24，kZ，关于原点对称， 又 f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)，所以它是偶函数 定义域为x xk2，kZ，关于原点对称， ycos2x tan xsin xtan x， 又
7、 f(x)sin(x)tan(x)sin xtan x f(x)，所以它是奇函数 1函数 f(x)Atan(x)周期的求解方法： (1)定义法 6 (2)公式法：对于函数 f(x)Atan(x)的最小正周期 T|. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现 2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看 f(x)与 f(x)的关系 提醒：ytan x，xk2，kZ 的对称中心坐标为k2，0 ，kZ. 3判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)tan2 xt
8、an xtan x1； (2)f(x)tanx4tanx4. 解 (1)由 xk2，kZ，tan x1， 得 f(x)的定义域为 xxk2且xk4，kZ， 不关于原点对称， 所以函数 f(x)既不是偶函数，也不是奇函数 (2)函数定义域为 xxk4且xk4，kZ， 关于原点对称， 又 f(x)tanx4tanx4 tanx4tanx4 f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数 正切函数单调性的应用 7 探究问题 1正切函数 ytan x 在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是正切函数的图象被直线 xk2(kZ)隔开，所以它的单调区间只在k2，k2(kZ)内，而不能说它在定义域内是增函数假设 x1
9、4，x254，x1x2，但 tan x1tan x2. 2如果让你比较 tan43与 tan115的大小，你应该怎样做？ 提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内， 再由正切函数的单调性进行比较 【例 3】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4 从小到大的排列顺序为_ (2)求函数 y3tan42x 的单调区间 思路点拨 (1)利用 ytan x 在2，32上为增函数比较大小，注意 tan 1tan(1) (2)先将原函数化为 y3tan2x4，再由2k2x42k，kZ，求出单调减区间 (1)tan 2tan 3tan 4tan 1 (1)ytan x 在区间2，3
10、2上是单调增函数，且 tan 1tan(1)， 又2234132， 所以 tan 2tan 3tan 4tan 1. (2)y3tan42x 3tan2x4， 由2k2x42k，kZ 得， 8k2x38k2，kZ， 所以 y3tan42x 的减区间为8k2，38k2，kZ. 8 1将本例(2)中的函数改为“y3tan12x4”，结果又如何？ 解 由 k212x4k2(kZ)， 得 2k2x2k32(kZ)， 函数 y3tan12x4的单调递增区间是 2k2，2k32(kZ) 2将本例(2)中的函数改为“ylgtan x”结果又如何？ 解 因为函数 ylg x 在(0，)上为增函数 所以函数 y
11、lgtan x 的单调递增区间 就是函数 ytan x(tan x0)的递增区间， 即k，2k ，kZ. 1求函数 yAtan(x)(A0，0，且 A， 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 0， 由于 ytan x 在每一个单调区间上都是增函数， 故可用“整体代换”的思想，令 k2xk2，kZ，解得 x 的范围即可 (2)若0， 可利用诱导公式先把 yAtan(x)转化为 yAtan(x)Atan(x)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即可 2运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内 (2)运用单调性比较大小
12、关系 提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增区间；yAtan(x)(A0，0)只有减区间 1利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图 2正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较 9 性质 正切函数 正弦函数、余弦函数 定义域 x x2k，kZ R 值域 R 1,1 最值 无 最大值为 1 最小值为1 单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在 奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 周期性 T T2 对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个 1思考辨析 (1
13、)正切函数的定义域和值域都是 R.( ) (2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心( ) (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是 xk2，kZ.( ) (4)正切函数是增函数( ) 提示 由正切函数图象可知(1)，(2)，(3)，(4). 答案 (1) (2) (3) (4) 2若 tan x1，则( ) A2k4x2k(kZ) Bx(2k1)(kZ) Ck4xk(kZ) Dk4xk2(kZ) D 因为 tan x1tan4. 10 所以4kx2k，kZ. 3求函数 ytan(x)，x4，3的值域为_ ( 3，1) ytan(x)tan x， 在4，3上为减函数， 所以值域为( 3，1) 4求函数 ytanx23的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心 解 由x23k2，kZ，得 x2k53，kZ，函数的定义域为x x2k53，kZ. T122， 函数的最小正周期为 2. 由 k2x23k2，kZ，得 2k3x2k53，kZ， 函数的单调递增区间为2k3，2k53， kZ. 由x23k2，kZ，得 xk23，kZ， 函数图象的对称中心是k23，0 ，kZ.