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5.4.3正切函数的性质与图象 学案(含答案)

1、1 5.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能画出正切函数的图象(重点) 2.掌握正切函数的性质(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线 (易错点) 1.借助正切函数的图象研究问题,培养直观想象素养. 2.通过正切函数的性质的应用,提升逻辑推理素养. 正切函数的图象与性质 解析式 ytan x 图象 定义域 x xR,且x2k,kZ 值域 R 周期 奇偶性 奇函数 对称中心 k2,0 ,kZ 单调性 在开区间2k,2k ,kZ 内都是增函数 1在下列函数中同时满足:在0,2上递增;以 2 为周期;是奇函数的是( ) Aytan

2、 x Bycos x Cytanx2 Dytan x C A,D 的周期为 ,B 中函数在0,2上递减,故选 C. 2 2函数 ytan2x6的定义域为_ x xk23,kZ 因为 2x6k2,kZ, 所以 xk23,kZ 所以函数 ytan2x6的定义域为 x xk23,kZ. 3函数 ytan 3x 的最小正周期是_ 3 函数 ytan 3x 的最小正周期是3. 4函数 ytanx5的单调增区间是_ k310,k710,kZ 令 k2x5k2,kZ 得 k310 xk710,kZ 即函数 ytanx5的单调增区间是 k310,k710,kZ. 有关正切函数的定义域、值域问题 【例 1】 (

3、1)函数 y1tan x4x4且x0 的值域是( ) A(1,1) B(,1)(1,) C(,1) D(1,) (2)函数 y3tan6x4的定义域为_ (3)函数 y tan x1lg(1tan x)的定义域为_ 思路点拨 求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时要充分利用3 三角函数的图象或三角函数线 (1)B (2)x x4k43,kZ (3)x 4kx0,即1tan x1. 在2,2上满足上述不等式的 x 的取值范围是4,4. 又因为 ytan x 的周期为 ,所以所求 x 的定义域为x 4kx4k,kZ. 1求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域

4、时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数 ytan x 有意义即 x2k,kZ. (2)求正切型函数 yAtan(x)(A0,0)的定义域时,要将“x”视为一个“整体”令 xk2,kZ,解得 x. 2解形如 tan xa 的不等式的步骤 4 提醒:求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件 1函数 ylog12tan4x 的定义域是( ) A.x xk4,kZ B.x k4xk4,kZ C.x xk4,kZ D.x xk4,kZ B 由题意 tan4x 0, 即 tanx40, k2x4k, k4xk4,kZ,故选 B. 2求函数 ytan23x3tan3x31 的定义域和值域 解 由

5、 3x3k2,kZ,得 xk318(kZ),所以函数的定义域为x xk318kZ. 设 ttan3x3, 则 tR,yt2t1t1223434, 所以原函数的值域是34, . 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 【例 2】 (1)函数 f(x)tan2x3的周期为_ 5 (2)已知函数 ytanx3,则该函数图象的对称中心坐标为_ (3)判断下列函数的奇偶性: y3xtan 2x2x4;ycos2x tan x. 思路点拨 (1)形如 yAtan(x)(A0)的周期 T|,也可以用定义法求周期 (2)形如 yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由 xk2,kZ 求出 (3)先求定义域看是

6、否关于原点对称,若对称再判断 f(x)与 f(x)的关系 (1)2 (2)k23,0 ,kZ (1)法一:(定义法) tan2x3 tan2x3, 即 tan2x23tan2x3, f(x)tan2x3的周期是2. 法二:(公式法) f(x)tan2x3的周期 T2. (2)由 x3k2(kZ)得 xk23(kZ),所以图象的对称中心坐标为k23,0 ,kZ. (3)定义域为x xk24,kZ,关于原点对称, 又 f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x),所以它是偶函数 定义域为x xk2,kZ,关于原点对称, ycos2x tan xsin xtan x, 又

7、 f(x)sin(x)tan(x)sin xtan x f(x),所以它是奇函数 1函数 f(x)Atan(x)周期的求解方法: (1)定义法 6 (2)公式法:对于函数 f(x)Atan(x)的最小正周期 T|. (3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现 2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法: 先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看 f(x)与 f(x)的关系 提醒:ytan x,xk2,kZ 的对称中心坐标为k2,0 ,kZ. 3判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)tan2 xt

8、an xtan x1; (2)f(x)tanx4tanx4. 解 (1)由 xk2,kZ,tan x1, 得 f(x)的定义域为 xxk2且xk4,kZ, 不关于原点对称, 所以函数 f(x)既不是偶函数,也不是奇函数 (2)函数定义域为 xxk4且xk4,kZ, 关于原点对称, 又 f(x)tanx4tanx4 tanx4tanx4 f(x), 所以函数 f(x)是奇函数 正切函数单调性的应用 7 探究问题 1正切函数 ytan x 在其定义域内是否为增函数? 提示:不是正切函数的图象被直线 xk2(kZ)隔开,所以它的单调区间只在k2,k2(kZ)内,而不能说它在定义域内是增函数假设 x1

9、4,x254,x1x2,但 tan x1tan x2. 2如果让你比较 tan43与 tan115的大小,你应该怎样做? 提示:先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内, 再由正切函数的单调性进行比较 【例 3】 (1)tan 1,tan 2,tan 3,tan 4 从小到大的排列顺序为_ (2)求函数 y3tan42x 的单调区间 思路点拨 (1)利用 ytan x 在2,32上为增函数比较大小,注意 tan 1tan(1) (2)先将原函数化为 y3tan2x4,再由2k2x42k,kZ,求出单调减区间 (1)tan 2tan 3tan 4tan 1 (1)ytan x 在区间2,3

10、2上是单调增函数,且 tan 1tan(1), 又2234132, 所以 tan 2tan 3tan 4tan 1. (2)y3tan42x 3tan2x4, 由2k2x42k,kZ 得, 8k2x38k2,kZ, 所以 y3tan42x 的减区间为8k2,38k2,kZ. 8 1将本例(2)中的函数改为“y3tan12x4”,结果又如何? 解 由 k212x4k2(kZ), 得 2k2x2k32(kZ), 函数 y3tan12x4的单调递增区间是 2k2,2k32(kZ) 2将本例(2)中的函数改为“ylgtan x”结果又如何? 解 因为函数 ylg x 在(0,)上为增函数 所以函数 y

11、lgtan x 的单调递增区间 就是函数 ytan x(tan x0)的递增区间, 即k,2k ,kZ. 1求函数 yAtan(x)(A0,0,且 A, 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 0, 由于 ytan x 在每一个单调区间上都是增函数, 故可用“整体代换”的思想,令 k2xk2,kZ,解得 x 的范围即可 (2)若0, 可利用诱导公式先把 yAtan(x)转化为 yAtan(x)Atan(x),即把 x 的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的范围即可 2运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内 (2)运用单调性比较大小

12、关系 提醒:yAtan(x)(A0,0)只有增区间;yAtan(x)(A0,0)只有减区间 1利用单位圆中的正切线作正切函数的图象,作图较为准确,但画图时较繁,我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图 2正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较 9 性质 正切函数 正弦函数、余弦函数 定义域 x x2k,kZ R 值域 R 1,1 最值 无 最大值为 1 最小值为1 单调性 仅有单调递增区间,不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在 奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 周期性 T T2 对称性 有无数个对称中心,不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个 1思考辨析 (1

13、)正切函数的定义域和值域都是 R.( ) (2)正切函数图象是中心对称图形,有无数个对称中心( ) (3)正切函数图象有无数条对称轴,其对称轴是 xk2,kZ.( ) (4)正切函数是增函数( ) 提示 由正切函数图象可知(1),(2),(3),(4). 答案 (1) (2) (3) (4) 2若 tan x1,则( ) A2k4x2k(kZ) Bx(2k1)(kZ) Ck4xk(kZ) Dk4xk2(kZ) D 因为 tan x1tan4. 10 所以4kx2k,kZ. 3求函数 ytan(x),x4,3的值域为_ ( 3,1) ytan(x)tan x, 在4,3上为减函数, 所以值域为( 3,1) 4求函数 ytanx23的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心 解 由x23k2,kZ,得 x2k53,kZ,函数的定义域为x x2k53,kZ. T122, 函数的最小正周期为 2. 由 k2x23k2,kZ,得 2k3x2k53,kZ, 函数的单调递增区间为2k3,2k53, kZ. 由x23k2,kZ,得 xk23,kZ, 函数图象的对称中心是k23,0 ,kZ.