1、1 5.3 诱导公式诱导公式 第第 1 课时课时 公式二、公式三和公式四公式二、公式三和公式四 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法 2 能够准确记忆公式二、 公式三和公式四 (重点、易混点) 3掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用(难点) 1.借助公式进行运算，培养数学运算素养 2通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养. 1公式二 (1)角 与角 的终边关于原点对称如图所示 (2)公式：sin()sin_， cos()cos_， tan()tan_. 2公式三 (1)角 与角 的终边关于 x 轴对称如图所示 (2)公式：sin()sin_， c
2、os()cos_， tan()tan_. 3公式四 (1)角 与角 的终边关于 y 轴对称如图所示 (2)公式：sin()sin_， cos()cos_， tan()tan_. 思考：(1)诱导公式中角 只能是锐角吗？ (2)诱导公式一四改变函数的名称吗？ 2 提示：(1)诱导公式中角 可以是任意角，要注意正切函数中要求 k2，kZ. (2)诱导公式一四都不改变函数名称 1如果 ， 满足 ，那么下列式子中正确的个数是( ) sin sin ；sin sin ；cos cos ；cos cos ；tan tan . A1 B2 C3 D4 C 因为 ，所以 sin sin()sin ， 故正确，
3、错误； cos cos()cos ， 故正确，错误； tan tan()tan ，正确 故选 C. 2tan43等于( ) A33 B.33 C 3 D. 3 C tan43tan223tan23 tan3tan3 3. 3已知 tan 3，则 tan()_. 3 tan()tan 3. 4求值：(1)sin23_. (2)cos76_. (1)32 (2)32 (1)sin23sin3 sin332. (2)cos76cos76cos6cos632. 3 给角求值问题 【例 1】 求下列各三角函数值： (1)sin 1 320 ；(2)cos316；(3)tan(945 ) 解 (1)法一：
4、sin 1 320 sin(3360 240 )sin 240 sin(180 60 )sin 60 32. 法二：sin 1 320 sin(4360 120 )sin(120 ) sin(180 60 )sin 60 32. (2)法一：cos316cos316 cos476cos6cos632. 法二：cos316cos656 cos6cos632. (3)tan(945 )tan 945 tan(225 2360 ) tan 225 tan(180 45 )tan 45 1. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1“负化正”用公式一或三来转化； 2“大化小”用公式一将角化为 0 到
5、360 间的角； 3“小化锐”用公式二或四将大于 90 的角转化为锐角； 4“锐求值”得到锐角的三角函数后求值. 1计算：(1)cos5cos25cos35cos45； 4 (2)tan 10 tan 170 sin 1 866 sin(606 ) 解 (1)原式cos5cos45cos25cos35 cos5cos5cos25cos25 cos5cos5cos25cos250. (2)原式tan 10 tan(180 10 )sin(5360 66 )sin(2) 360 114 tan 10 tan 10 sin 66 sin(180 66 ) sin 66 sin 66 0. 给值(式)
6、求值问题 【例 2】 (1)已知 sin(360 )cos(180 )m， 则 sin(180 ) cos(180 )等于( ) A.m212 B.m212 C.1m22 Dm212 (2)已知 cos(75 )13，且 为第四象限角，求 sin(105 )的值 思路点拨 (1) 化简已知和所求三角函数式 根据sin cos ，sin cos 的关系求值 (2) 105 75 180cos75 13，为第四象限角 求sin75 用sin180 sin 求值 (1)A sin(360 )cos(180 ) sin cos m， sin(180 )cos(180 )sin cos sin cos
7、212m212. 5 (2)解 cos(75 )130，且 为第四象限角， sin(75 )1cos275 11322 23， sin(105 )sin180 (75 ) sin(75 )2 23. 1例 2(2)条件不变，求 cos(255 )的值 解 cos(255 )cos180 (75 ) cos(75 )13. 2将例 2(2)的条件“cos(75 )13”改为“tan(75 )5”，其他条件不变，结果又如何？ 解 因为 tan(75 )50，且 为第四象限角， 所以 75 是第四象限角 由 sin275 cos275 1，sin75 cos75 5， 解得 sin75 5 2626
8、，cos75 2626 或 sin75 5 2626，cos75 2626.(舍) 所以 sin(105 )sin180 (75 ) sin(75 )5 2626. 6 解决条件求值问题的两技巧 1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系. 2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键. 利用诱导公式化简问题 探究问题 1利用诱导公式化简 sin(k)(其中 kZ)时，化简结果与 k 是否有关？ 提示：有关因为 k 是奇数还是偶数不确定 当 k 是奇
9、数时，即 k2n1(nZ)，sin(k)sin()sin ； 当 k 是偶数时，即 k2n(nZ)，sin(k)sin . 2利用诱导公式化简 tan(k)(其中 kZ)时，化简结果与 k 是否有关？ 提示：无关根据公式 tan()tan 可知 tan(k)tan .(其中 kZ) 【例 3】 设 k 为整数，化简： sinkcosk1sink1cosk. 思路点拨 本题常用的解决方法有两种： 为了便于运用诱导公式，必须把 k 分成偶数和奇数两种情况讨论；观察式子结构，kk2k，(k1)(k1)2k，可使用配角法 解 法一：(分类讨论)当 k 为偶数时，设 k2m(mZ)，则原式sin2mco
10、s2m1sin2m1cos2msincossincos sin cos sin cos 1； 当 k 为奇数时，设 k2m1(mZ)，同理可得原式1. 法二：(配角法)由于 kk2k，(k1)(k1)2k，故 cos(k1)cos(k1)cos(k)，sin(k1)sin(k)， sin(k)sin(k) 所以原式sinkcosksinkcosk1. 7 三角函数式化简的常用方法 1合理转化：将角化成 2k，k，kZ 的形式.,依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角 的三角函数. 2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 提醒：注意分类讨论思想的应用. 2化简：(1)t
11、an2sin2cos6cossin5； (2)sin1 440 cos1 080 cos180 sin180 . 解 (1)原式tan sincoscossintan sin cos cos sin tan . (2)原式 sin4360 cos3360 cos180 sin180 sin coscos sin cos cos 1. 1诱导公式一四可简要概括为“k2(kZ)， 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号”或者简述为“函数同名，象限定号” 2利用公式一四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： 任意负角的三角函数 用公式三或
12、一任意正角的三角函数 用公式一 02的角的三角函数 用公式二或四锐角的三角函数 8 1思考辨析 (1)公式二四对任意角 都成立( ) (2)由公式三知 cos()cos()( ) (3)在ABC 中，sin(AB)sin C( ) 提示 (1)错误，关于正切的三个公式中 k2，kZ. (2)由公式三知 cos()cos()， 故 cos()cos()是不正确的 (3)因为 ABC，所以 ABC， 所以 sin(AB)sin(C)sin C. 答案 (1) (2) (3) 2已知 sin()35，且 是第四象限角，那么 cos()的值是( ) A.45 B45 C45 D.35 B 因为 sin
13、()sin 35，所以 sin 35. 又 是第四象限角，所以 cos 45， 所以 cos()cos()cos 45. 3.cos585 sin 495 sin570 的值等于_ 22 原式cos360 225 sin360 135 sin360 210 cos180 45 sin180 45 sin180 30 cos 45sin 45 sin 30 222212 22. 4化简(1)sin540 costan180 ； (2)sin2coscostan . 9 解 (1)sin540 costan180 sin180 cos tan sin cos tan cos2. (2)sin2coscostan sin cos cos tan cos .