1、1 5.1.2 弧度制弧度制 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系 2理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式， 熟悉特殊角的弧度数 (重点、难点) 3了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系(易错点) 1.通过对弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象素养 2借助弧度制与角度制的换算，提升学生的数学运算素养. 1度量角的两种单位制 (1)角度制： 定义：用度作为单位来度量角的单位制 1 度的角：周角的1360. (2)弧度制： 定义：以弧度作为单位来度量角的单位制 1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 2弧度数的
2、计算 思考：比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关 3角度制与弧度制的换算 2 4一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 6 4 3 2 23 34 56 32 2 5.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，(02)为其圆心角，则 (1)弧长公式：lR. (2)扇形面积公式：S12lR12R2. 1下列转化结果错误的是( ) A60 化成弧度是3 rad B103 rad 化成度是600 C150 化成弧度是76 rad
3、D.12 rad 化成度是 15 C 对于 A,60 60180 rad3 rad； 对于 B， 103 rad103180 600 ； 对于 C，150 150180 rad56 rad；对于 D，12 rad112180 15 .故选 C. 2.296是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 B 296456.56 是第二象限角，296是第二象限角 3 3(1)75 rad 化为角度是_ (2)105 的弧度数是_ (1)252 (2)712 (1)75 rad75180 252 ； (2)105 105180 rad712 rad. 4半径为 2，圆心角为6的扇形
4、的面积是_ 3 由已知得 S扇126223. 角度与弧度的互化与应用 【例 1】 (1)将 112 30化为弧度为_ 将512rad 化为角度为_ (2)已知 15 ，10 rad，1 rad，105 ，712 rad，试比较 ， 的大小 (1)58rad 75 (1)因为 1 180rad， 所以 112 30180112.5 rad58rad. 因为 1 rad180， 所以512rad51218075 . (2)法一(化为弧度)： 15 15180 rad12 rad，105 105180 rad712 rad. 显然12101712.故 . 法二(化为角度)： 4 10 rad1018
5、018 ，1 rad57.30 ， 712180105 . 显然，15 18 57.30 105 . 故 . 角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式 rad180 是关键； 2方法：度数180弧度数；弧度数180度数； 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. 1(1)将157 30化成弧度为_ (2)将115 rad 化为度是_ (1)78 rad (2)396 (1)157 30157.5 3152180 rad78 rad. (2)115 rad115180 396 . 2在0,4中，与 72 角终边相同的角有_(用弧度表示) 25，125 因为终边与 72 角相同
6、的角为 72 k 360 (kZ) 当 k0 时，72 25 rad； 当 k1 时，432 125 rad， 所以在0,4中与 72 终边相同的角有25，125. 用弧度数表示角 【例 2】 (1)终边经过点(a，a)(a0)的角 的集合是( ) A.4 5 B.4，54 C. 42k，kZ D. 4k，kZ (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角 的集合 思路点拨 (1)判断角的终边位置用弧度制表示角的集合 (2) 在0，2内找角表示终边落在第一象限阴影内的角 加kkZ表示角的集合 (1)D 因为角 的终边经过点(a，a)(a0)， 所以角 的终边落在直线 yx 上，
7、 所以角 的集合是 4k，kZ. (2)解 因为 30 6 rad,210 76 rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上的角为 k6，kZ，而终边在 y 轴上的角为 k2，kZ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为 k6k2，kZ. 1弧度制下与角 终边相同的角的表示： 在弧度制下，与角 的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角 终边相同的角可以表示成 加上 2 的整数倍 2根据已知图形写出区域角的集合的步骤： 6 (1)仔细观察图形 (2)写出区域边界作为终边时角的表示 (3)用不等式表示区域范围内的角 提醒：角度制与弧度制不能混用. 3下列与94的终边相同的角的
8、表达式中，正确的是( ) A2k45 (kZ) Bk 360 94(kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk54(kZ) C A，B 中弧度与角度混用，不正确 9424， 所以94 与4终边相同 315 360 45 ， 所以315 也与 45 终边相同 故选 C. 4用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合 解 30 6 rad,150 56 rad. 终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是 6k56k，kZ. 弧长公式与扇形面积公式的应用 探究问题 1用公式|lr求圆心角时，应注意什么问题？ 提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注
9、意其正负 2在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什7 么问题？ 提示： 若已知的角是以“度”为单位， 则必须先把它化成弧度后再计算， 否则结果易出错 【例 3】 (1)如图所示，以正方形 ABCD 中的点 A 为圆心，边长 AB 为半径作扇形 EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD 的弧度数大小为_ (2)已知扇形 OAB 的周长是 60 cm，面积是 20 cm2，求扇形 OAB 的圆心角的弧度数 思路点拨 (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求EAD 的弧度数 (2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用
10、弧度数公式求圆心角的弧度数 (1)22 设 AB1，EAD，S扇形ADES阴影BCD， 由题意可得121212124， 解得 22. (2)设扇形的弧长为 l，半径为 r， 则 2rl60，12lr20， r15 205，l4015 205或 r15 205，l4015 205， 扇形的圆心角的弧度数为 lr433 205或 433 205. 1(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数 解 设扇形圆心角的弧度数为 (02)，弧长为 l，半径为 r， 8 依题意有 l2r10，12lr4. 由得 l102r，代入得 r25r40，
11、 解得 r11，r24. 当 r1 时，l8(cm)， 此时，8 rad2 rad 舍去 当 r4 时，l2(cm)，此时，2412 rad. 2(变结论)将本例(2)中的条件“面积是 20 cm2”删掉，求扇形 OAB 的最大面积及此时弧长 AB. 解 设弧长为 l，半径为 r，由已知 l2r60， 所以 l602r，|lr602rr， 从而 S12|r212602rr r2r230r(r15)2225， 当 r15 时，S 取最大值为 225，这时圆心角 lr602rr2 rad， 可得弧长 ABr21530 (cm) 弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：
12、l|r，S12r2和 S12lr.(这里 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式 (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解 提醒：看清角的度量制，恰当选用公式 1在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用 2弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是弧度制下同时也应注意与其他知识如函数内容的结合 9 1思考辨析( ) (1)1 弧度的角是周角的1360. (2)1 弧度的角大于 1 度的角 提示 (1)错误，1 弧度的角是周角的12.(2)正确 答案 (1) (2) 2圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( ) A.23 rad B.32 rad C.23 rad D.32 rad B 由弧度数公式 lr，得 32rr32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad. 3若把570 写成 2k(kZ,02)的形式，则 _. 56 570 196456. 4求半径为 cm，圆心角为 120 的扇形的弧长及面积 解 因为 r，12018023， 所以 lr223 cm，S12lr33 cm2.