1、1 4.3.2 对数的运算对数的运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解对数的运算性质(重点) 2能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数(难点) 3会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点) 1.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养 2通过学习换底公式，培养逻辑推理素养. 1对数的运算性质 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： (1)loga(MN)logaMlogaN； (2)logaMNlogaMlogaN； (3)logaMnnlogaM(nR) 思考：当 M0，N0 时，loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaM logaN 是否
2、成立？ 提示：不一定 2对数的换底公式 若 a0 且 a1；c0 且 c1；b0， 则有 logablogcblogca. 1计算 log84log82 等于( ) Alog86 B8 C6 D1 D log84log82log881. 2计算 log510log52 等于( ) Alog58 Blg 5 C1 D2 2 C log510log52log551. 3log23 log32_. 1 log23 log32lg 3lg 2lg 2lg 31. 对数运算性质的应用 【例 1】 计算下列各式的值： (1)12lg 324943lg 8lg 245； (2)lg 5223lg 8lg 5
3、 lg 20(lg 2)2； (3)lg 2lg 3lg 10lg 1.8. 解 (1)原式12(5lg 22lg 7)4332lg 212(2lg 7lg 5) 52lg 2lg 72lg 2lg 712lg 5 12lg 212lg 5 12(lg 2lg 5) 12lg 10 12. (2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)2 2lg 10(lg 5lg 2)2 2(lg 10)2213. (3)原式12lg 2lg 9lg 10lg 1.8 3 lg 18102lg 1.8 lg 1.82lg 1.8 12. 1利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使
4、各项底数相同，再找真数间的联系 2对于复杂的运算式，可先化简再计算化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数 1求下列各式的值： (1)lg25lg 2 lg 50； (2)23lg 8lg25lg 2 lg 50lg 25. 解 (1)原式lg25(1lg 5)(1lg 5)lg251lg251. (2)23lg 8lg25lg 2 lg 50lg 252lg 2lg25lg 2(1lg 5)2lg 5 2(lg 2lg 5)lg2 5lg 2lg 2 lg 52lg 5(lg 5lg 2)lg 22lg
5、5lg 23. 对数的换底公式 【例 2】 (1)计算： (log2125log425log85) (log1258log254log52) (2)已知 log189a,18b5，求 log3645(用 a，b 表示) 解 (1)(log2125log425log85) (log1258log254log52)(log253log2252log235) (log5323log5222log52)3113log25 (111)log52133 313. (2)18b5，blog185. 又 log189a， 4 log3645log1845log1836log185log1891log182ab
6、2log189ab2a. (变结论)在本例(2)的条件下，求 log915(用 a，b 表示) 解 log189a，log183a2.又 log185b， log915log1815log189log183log185log189a2baa2b2a. 1在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式 2常用的公式有：logab logba1，loganbmmnlogab，logab1logba等 2求值： (1)log23 log35 log516； (2)(log32log92)(log43log83) 解 (1)原式lg 3lg 2lg 5lg 3lg 16lg 5lg 16lg
7、 24lg 2lg 24. (2)原式lg 2lg 3lg 2lg 9 lg 3lg 4lg 3lg 8 lg 2lg 3lg 22lg 3 lg 32lg 2lg 33lg 2 3lg 22lg 35lg 36lg 2 54. 对数运算性质的综合应用 探究问题 1若 2a3b，则ab等于多少？ 提示：设 2a3bt，则 alog2t，blog3t，ablog23. 5 2对数式 logab 与 logba 存在怎样的等量关系？ 提示：logab logba1， 即 logab1logba. 【例 3】 已知 3a5bc，且1a1b2，求 c 的值 思路点拨 3a5bc 指对互化求1a，1b
8、1a1b2求c的值 解 3a5bc，alog3c，blog5c， 1alogc3，1blogc5， 1a1blogc15. 由 logc152 得 c215，即 c 15. 1把本例条件变为“3a5b15”，求1a1b的值 解 3a5b15，alog315，blog515， 1a1blog153log155log15151. 2若本例条件改为“若 a，b 是正数，且 3a5bc”，比较 3a 与 5b 的大小 解 3a5bc，alog3c，blog5c， 3a5b3log3c5log5c 3lg clg 35lg clg 5lg c3lg 55lg 3lg 3lg 5 lg clg 125lg
9、 243lg 3lg 50， 3a5b. 应用换底公式应注意的两个方面 1化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用. 2题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式. 6 1应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算 2换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算 3熟练掌握对数的运算法则，注意同指数运算法则区别记忆 1思考辨析 (1)log2x22log2x.( ) (2)loga(2) (3)loga(2)loga(3)( ) (3)logaM logaNloga(MN)( )
10、 (4)logx21log2x.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2计算 log92 log43( ) A4 B2 C.12 D.14 D log92 log43lg 2lg 9lg 3lg 4lg 22lg 3lg 32lg 214. 3设 10a2，lg 3b，则 log26( ) A.ba B.aba Cab Dab B 10a2，lg 2a， log26lg 6lg 2lg 2lg 3lg 2aba. 4计算：(1)log5352log573log57log51.8； (2)log2748log21212log2421. 7 解 (1)原式log5(57)2(log57log53)log57log595log55log572log572log53log572log53log552. (2)原式log2748log212log242log22 log271248 422log212 2 log223232.