1、1 4.54.5 函数的应用函数的应用( (二二) ) 4.5.14.5.1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点) 2会求函数的零点(重点) 3掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数(难点) 1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养 2借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养. 1函数的零点 对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 思考 1：函数的零点是函数与 x 轴的交点吗？ 提示：不是函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与
2、x 轴交点的横坐标 2方程、函数、函数图象之间的关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 3函数零点存在定理 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的解 思考 2：该定理具备哪些条件？ 提示：定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a) f(b)0. 1下列各图象表示的函数中没有零点的是( ) 2 A B C D D 结合函数零点的定义可
3、知选项 D 没有零点 2函数 y2x1 的零点是( ) A.12 B.12，0 C.0，12 D2 A 由 2x10 得 x12. 3函数 f(x)3x4 的零点所在区间为( ) A(0,1) B(1,0) C(2,3) D(1,2) D 由 f(1)1130，f(0)30，f(1)10，f(3)230，得 f(x)的零点所在区间为(1,2) 4二次函数 yax2bxc 中，a c0 得二次函数 yax2bxc 有两个零点 求函数的零点 【例 1】 (1)求函数 f(x) x22x3，x0，2ln x，x0的零点； (2)已知函数 f(x)axb(a0)的零点为 3，求函数 g(x)bx2ax
4、 的零点 解 (1)当 x0 时，令 x22x30，解得 x3； 当 x0 时，令2ln x0，解得 xe2. 所以函数 f(x) x22x3，x02ln x，x0的零点为3 和 e2. (2)由已知得 f(3)0 即 3ab0，即 b3a. 故 g(x)3ax2axax(3x1) 令 g(x)0，即 ax(3x1)0， 3 解得 x0 或 x13. 所以函数 g(x)的零点为 0 和13. 函数零点的求法 1代数法：求方程 fx0 的实数根. 2几何法：对于不能用求根公式的方程 fx0，可以将它与函数 yfx的图象联系起来.图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 1判断下列函数是否存在
5、零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由 (1)f(x)x27x6； (2)f(x)1log2(x3)； (3)f(x)2x13； (4)f(x)x24x12x2. 解 (1)解方程 f(x)x27x60， 得 x1 或 x6， 所以函数的零点是1，6. (2)解方程 f(x)1log2(x3)0，得 x1，所以函数的零点是1. (3)解方程 f(x)2x130，得 xlog26，所以函数的零点是 log26. (4)解方程 f(x)x24x12x20，得 x6，所以函数的零点为6. 判断函数零点所在的区间 【例 2】 (1)函数 f(x)ln(x1)2x的零点所在的大致区间是( ) A(3,
6、4) B(2，e) C(1,2) D(0,1) (2)根据表格内的数据，可以断定方程 exx30 的一个根所在区间是( ) x 1 0 1 2 3 4 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08 x3 2 3 4 5 6 A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) (1)C (2)C (1)因为 f(1)ln 2210，且函数 f(x)在(0，)上单调递增， 所以函数的零点所在区间为(1,2)故选 C. (2)构造函数 f(x)exx3，由上表可得 f(1)0.3721.630， f(0)1320， f(1)2.7241.280， f(3)20.08614.080， f(
7、1) f(2)0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选 C. 判断函数零点所在区间的三个步骤 1代入：将区间端点值代入函数求出函数的值. 2判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断. 3结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. 2若函数 f(x)xax(aR)在区间(1,2)上有零点，则 a 的值可能是( ) A2 B0 C1 D3 A f(x)xax(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当 a2 时，f(1)1210.故 f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A. 函数零
8、点的个数 5 探究问题 1方程 f(x)a 的根的个数与函数 yf(x)及 ya 的图象交点个数什么关系？ 提示：相等 2若函数 g(x)f(x)a 有零点，如何求实数 a 的范围？ 提示：法一：g(x)f(x)a 有零点可知方程 f(x)a0 有解，即 af(x)有解 故 a 的范围为 yf(x)的值域 法二：g(x)f(x)a 有零点，等价于函数 ya 与函数 yf(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可 【例 3】 已知 0a1，则函数 ya|x|logax|的零点的个数为( ) A1 B2 C3 D4 思路点拨 构造函数fxa|x|0a1与gx|lo
9、gax|0a1 画出fx与gx的图象观察图象得零点的个数 B 函数 ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程 a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数 画出函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象，如图所示， 观察可得函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为 2， 从而函数 ya|x|logax|的零点的个数为 2. 1把本例函数“ya|x|logax|”改为“y2x|logax|1”，再判断其零点个数 解 由
10、 2x|logax|10 得|logax|12x，作出 y12x及 y|logax|(0a1)的图象如图所示 由图可知，两函数的图象有两个交点， 所以函数 y2x|logax|1 有两个零点 2若把本例条件换成“函数 f(x)|2x2|b 有两个零点”，求实数 b 的取值范围 6 解 由 f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐标系中分别画出 y|2x2|与 yb 的图象，如图所示 则当 0b0，则 f(x)在a，b内无零点( ) (3)若 f(x)在a， b上为单调函数， 且 f(a) f(b)0， 则 f(x)在(a， b)内有且只有一个零点 ( ) (4)若 f(x)在
11、(a，b)内有且只有一个零点，则 f(a) f(b)0.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2函数 f(x)2x3 的零点所在的区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) B f(1)2310， f(1) f(2)0，即 f(x)的零点所在的区间为(1,2) 3对于函数 f(x)，若 f(1) f(3)0，则( ) A方程 f(x)0 一定有实数解 B方程 f(x)0 一定无实数解 7 C方程 f(x)0 一定有两实根 D方程 f(x)0 可能无实数解 D 函数 f(x)的图象在(1,3)上未必连续， 故尽管 f(1) f(3)0， 但方程 f(x)0 在(1,3)上可能无实数解 4已知函数 f(x)x2x2a. (1)若 a1，求函数 f(x)的零点； (2)若 f(x)有零点，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a1 时，f(x)x2x2. 令 f(x)x2x20，得 x1 或 x2. 即函数 f(x)的零点为1 和 2. (2)要使 f(x)有零点，则 18a0，解得 a18， 所以 a 的取值范围是18， .