1、1 4.5.3 函数模型的应用函数模型的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点) 2能建立函数模型解决实际问题(重点、难点) 3了解拟合函数模型并解决实际问题(重点) 通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养. 1常用函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型 ykxb(k，b 为常数，k0) (2)二次函数模型 yax2bxc(a，b，c 为常数，a0) (3)指数函数模型 ybaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) (4)对数函数模型 ymlogaxn(m，a，n 为常数，m0，a0 且 a1) (5
2、)幂函数模型 yaxnb(a，b 为常数，a0) (6)分段函数模型 y axbxm，cxdxm 2.建立函数模型解决问题的基本过程 思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？ 提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原 这些步骤用框图表示如图： 2 1如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B二次函数模型 C指数函数模型 D对数函数模型 A 自变量每增加 1 函数值增加 2，函数值
3、的增量是均匀的，故为一次函数模型故选A. 2某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系为 yalog2(x1)，若该动物在引入一年后的数量为 100 只，则第 7 年它们发展到( ) A300 只 B400 只 C600 只 D700 只 A 将 x1，y100 代入 yalog2(x1)得，100alog2(11)，解得 a100.所以 x7时，y100log2(71)300. 3据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 2 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次 0.8 元，普通车存车费是每辆一次 0.5
4、 元，若普通车存车数为 x 辆次，存车费总收入为y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是( ) Ay0.3x800(0 x2 000) By0.3x1 600(0 x2 000) Cy0.3x800(0 x2 000) Dy0.3x1 600(0 x2 000) D 由题意知， 变速车存车数为(2 000 x)辆次， 则总收入y0.5x(2 000 x) 0.80.3x1 600(0 x2 000) 4某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数 x(xN)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过_年 7 设二次函数 ya(x6)211，又
5、过点(4,7)， 3 所以 a1，即 y(x6)211. 解 y0，得 6 11x6 11，所以有营运利润的时间为 2 11.又 62 117，所以有营运利润的时间不超过 7 年 利用已知函数模型解决实际问题 【例 1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述， 设物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度是 T，则 TTa(T0Ta)12th，其中 Ta表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用 88 热水冲的速溶咖啡，放在 24 的房间中，如果咖啡降温到 40 需要 20 min，那么降温到 32 时，需要多长时间？ 解 先设定半衰期 h，由题意知 4024(8824)122
6、0h， 即141220h， 解之，得 h10，故原式可化简为 T24(8824)12t10， 当 T32 时，代入上式，得 3224(8824)12t10， 即12t1086418123，t30. 因此，需要 30 min，可降温到 32 . 4 已知函数模型解决实际问题， 往往给出的函数解析式含有参数， 需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值. 1某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关系为： P t200t25，t10025t30.(tN*) 设该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系
7、为 Q40t(0t30，tN*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ 解 设日销售金额为 y(元)，则 yPQ， 所以 y t220t8000t25，t2140t4 00025t30.(tN*) 当 0t0) (1)写出 y 关于 x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值 思路点拨 畜养率 空闲率 y与x之间的函数关系 单调性求最值 解 (1)根据题意，由于最大畜养量为 m 只，实际畜养量为 x 只，则畜养率为xm，故空闲5 率为 1xm，由此可得 ykx1xm(0 xm) (2)对原二次函数配方，得 ykm(x2mx) kmxm22
8、km4，即当 xm2时，y 取得最大值km4. 1(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出 y 关于 x 的函数解析式？ 解 根据题意，由于最大畜养量为 m 只，实际畜养量为 x 只，则畜养率为xm，故空闲率为 1xm，因为羊群的年增长量 y 只和实际畜养量 x 只与空闲率的乘积成反比，由此可得 ykx1xm(0 xm) 2(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k 的取值范围 解 由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即 0 xym. 因为当 xm2时，ymaxkm4，所以 0m2km4m
9、，解得2k0，所以 0k2. 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件， 在实际问题中， 除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等. 拟合数据构建函数模型解决实际问题 探究问题 1实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？ 提示：不一定 6 2对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3
10、，y3)，(xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？ 提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律 【例 3】 某企业常年生产一种出口产品，自 2015 年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知 2015 年为第 1 年，前 4 年年产量 f(x)(万件)如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 (1)画出 20152018 年该企业年产量的散点图； (2)建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式； (3)20
11、19 年(即 x5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少 30%，试根据所建立的函数模型，确定 2019 年的年产量为多少？ 思路点拨 描点 依散点图选模 待定系数法求模 误差验模 用模 解 (1)画出散点图，如图所示 (2)由散点图知，可选用一次函数模型 设 f(x)axb(a0)由已知得 ab4，3ab7，解得 a1.5，b2.5， f(x)1.5x2.5. 检验：f(2)5.5，且|5.585.5|0.080.1， f(4)8.5，且|8.448.5|0.061.2，所以，这个男生偏胖 1函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给
12、问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论 2解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建8 立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题 1思考辨析 (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述( ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型( ) (3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型( ) 答案 (1) (2) (3) 2根据
13、日常生活 A、B、C、D 四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( ) A B C D 答案 B 3若镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y，则 x，y 的函数关系是( ) Ay0.957 6x100 By(0.957 6)100 x Cy0.957 6100 x Dy10.042 4x100 A 由题意可知 y(95.76%)x100，即 y0.957 6x100. 4已知 A，B 两地相距 150 km，某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A
14、地到达 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 km/h 的速度返回 A 地 (1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)， 并画出函数的图象； 9 (2)把车速 v(km/h)表示为时间 t(h)的函数，并画出函数的图象 解 (1)汽车由 A 地到 B 地行驶 t h 所走的距离 s60t(0t2.5) 汽车在 B 地停留 1 小时，则汽车到 A 地的距离 s150(2.5t3.5) 由 B 地返回 A 地，则汽车到 A 地的距离 s15050(t3.5)32550t(3.5t6.5) 综上，s 60t0t2.5，1502.5t3.5，32550t3.5t6.5， 它的图象如图(1)所示 (1) (2) (2)速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数关系式是 v 600t2.5，02.5t3.5，503.5t6.5，它的图象如图(2)所示