1、1 第第 2 课时课时 对数函数及其性质的应用对数函数及其性质的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较(重点) 2通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用(重点) 1.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养 2借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养. 比较对数值的大小 【例 1】 比较下列各组值的大小： (1)log534与 log543； (2)log132 与 log152； (3)log23 与 log54. 解 (1)法一(单调性法)：对数函数 y
2、log5x 在(0，)上是增函数，而3443，所以 log534log543. 法二(中间值法)：因为 log5340， 所以 log53415，所以 0log213log215， 所以1log2131log215，所以 log132log152. 2 法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出 ylog13x 及 ylog15x 的图象，由图易知：log132log221log55log54， 所以 log23log54. 比较对数值大小的常用方法 1同底数的利用对数函数的单调性. 2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. 3底数和真数都不同，找中间量. 提醒：比较数的大小时先利用性
3、质比较出与零或 1 的大小. 1比较下列各组值的大小： (1)log230.5，log230.6； (2)log1.51.6，log1.51.4； (3)log0.57，log0.67； (4)log3，log20.8. 解 (1)因为函数 ylog23x 是减函数，且 0.5log230.6. (2)因为函数 ylog1.5x 是增函数，且 1.61.4，所以 log1.51.6log1.51.4. (3)因为 0log70.6log70.5， 所以1log70.61log70.5，即 log0.67log310，log20.8log20.8. 解对数不等式 【例 2】 已知函数 f(x)l
4、oga(x1)，g(x)loga(62x)(a0，且 a1) (1)求函数 (x)f(x)g(x)的定义域； (2)试确定不等式 f(x)g(x)中 x 的取值范围 3 思路点拨 (1)直接由对数式的真数大于 0 联立不等式组求解 x 的取值集合 (2)分 a1 和 0a1 求解不等式得答案 解 (1)由 x10，62x0，解得 1x3，函数 (x)的定义域为x|1x3 (2)不等式 f(x)g(x)，即为 loga(x1)loga(62x)， 当 a1 时，不等式等价于 1x3，x162x， 解得 1x73； 当 0a1 时，不等式等价于 1x3，x162x， 解得73x1，求 a 的取值范
5、围； (2)已知 log0.7(2x)1 得 loga12logaa. 当 a1 时，有 a12，此时无解 4 当 0a1 时，有12a，从而12a1. 所以 a 的取值范围是12，1 . (2)因为函数 ylog0.7x 在(0，)上为减函数， 所以由 log0.7(2x)0，x10，2xx1，解得 x1. 即 x 的取值范围是(1，) 对数函数性质的综合应用 探究问题 1类比 yaf(x)单调性的判断法，你能分析一下 ylog12(2x1)的单调性吗？ 提示：形如 yaf(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于 ylog12(2x1)由函数 ylog12t及 t2x1 复合而成，且定义域
6、为 2x10，即 x12，结合“同增异减”可知， ylog12(2x1)的减区间为12， . 2如何求形如 ylogaf(x)的值域？ 提示：先求 yf(x)的值域，注意 f(x)0，在此基础上，分 a1 和 0a1， 即 loga2loga2a，a1， a1，2a0，1a2. (2)f(x)log12(x22x3)log12(x1)22， 因为(x1)222， 所以 log12(x1)22log1221，所以函数 f(x)的值域是(，1 1求本例(2)的函数 f(x)在3,1上的值域 解 x3,1， 2x22x36， log126log12(x22x3)log122， 即log26f(x)1
7、， f(x)的值域为log26，1 2求本例(2)的单调区间 解 x22x3(x1)220， 又 ylog12t 在(0，)为减函数， 且 tx22x3 在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故由复合函数单调性可知，ylog12(x22x3)单调递增区间为(，1)，单调递减区间为1，) 1已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系 2求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解 1比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确
8、，一般要分 a1 和 0a1 两类分别求解 2解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用 6 1思考辨析 (1)ylog2x2在0，)上为增函数( ) (2)ylog12x2在(0，)上为增函数( ) (3)ln xcb Bbca Ccba Dcab D alog32log221， 由对数函数的性质可知log52log32， bac，故选 D. 3函数 f(x)log2(12x)的单调增区间是_ 12， 易知函数 f(x)的定义域为12，又因为函数 ylog2x 和 y12x 都是增函数，所以 f(x)的单调增区间是12， . 4
9、已知 a0 且满足不等式 22a125a2. (1)求实数 a 的取值范围； (2)求不等式 loga(3x1)loga(75x)的解集； (3)若函数 yloga(2x1)在区间1,3上有最小值为2，求实数 a 的值 解 (1)22a125a2，2a15a2，即 3a3，a1，即 0a1.实数 a 的取值范围是(0,1) (2)由(1)得，0a1，loga(3x1)0，75x0，3x175x， 7 即 x13，x34，解得34x75. 即不等式的解集为34，75. (3)0a1，函数 yloga(2x1)在区间1,3上为减函数，当 x3 时，y 有最小值为2，即 loga52，a21a25，解得 a55.