1、1 4.4 对数函数对数函数 第第 1 课时课时 对数函数的概念、图象及性质对数函数的概念、图象及性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域(重点、难点) 2能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质(重点) 1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养 2借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养. 1对数函数的概念 函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，) 思考 1：函数 y2log3x，ylog3(2x)是对数函数吗？ 提示：不是，其不符合对数函数的形式 2对数函数的图
2、象及性质 a 的范围 0a1 图象 定义域 (0，) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即 x1 时，y0 单调性 在(0，)上是减函数 在(0，)上是增函数 思考 2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？ 提示：底数 a 与 1 的关系决定了对数函数的升降 当 a1 时，对数函数的图象“上升”；当 0a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数 2 1函数 ylogax 的图象如图所示，则实数 a 的可能取值为( ) A5 B.15 C.1e D.12 A 由图可知，a1，故选 A. 2若对数函数过点(4,2)，则其解析式为_ f(x)log2x 设对数函数的解析式
3、为 f(x)logax(a0 且 a1)由 f(4)2 得 loga42， a2，即 f(x)log2x. 3函数 f(x)log2(x1)的定义域为_ (1，) 由 x10 得 x1，故 f(x)的定义域为(1，) 对数函数的概念及应用 【例 1】 (1)下列给出的函数：ylog5x1； ylogax2(a0，且 a1)；ylog(31)x； y13log3x；ylogx3(x0，且 x1)； ylog2x.其中是对数函数的为( ) A B C D (2)若函数 ylog(2a1)x(a25a4)是对数函数，则 a_. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则 f12_. (1)D (2
4、)4 (3)1 (1)由对数函数定义知，是对数函数，故选 D. (2)因为函数 ylog(2a1)x(a25a4)是对数函数， 3 所以 2a10，2a11，a25a40， 解得 a4. (3)设对数函数为 f(x)logax(a0 且 a1)， 由 f(16)4 可知 loga164，a2， f(x)log2x， f12log2121. 判断一个函数是对数函数的方法 1若函数 f(x)(a2a5)logax 是对数函数，则 a_. 2 由 a2a51 得 a3 或 a2. 又 a0 且 a1，所以 a2. 对数函数的定义域 【例 2】 求下列函数的定义域： (1)f(x)1log12x1；
5、(2)f(x)12xln(x1)； (3)f(x)log(2x1)(4x8) 解 (1)要使函数 f(x)有意义，则 log12x10，即 log12x1，解得 0 x0，2x0，即 x1，x2，解得1x0，2x10，2x11，解得 x12，x1.故函数 ylog(2x1)(4x8)的定义域为x 12x0，x30， 解得 x2 且 x3， 所以函数定义域为(2,3)(3，) (2)要使函数有意义，需满足 164x0，x10，x11， 解得1x0 或 0 xa31a2a10. 2函数 yax与 ylogax(a0 且 a1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线 yx 对称 【例 3】 (
6、1)当 a1 时，在同一坐标系中，函数 yax与 ylogax 的图象为( ) A B C D (2)已知 f(x)loga|x|，满足 f(5)1，试画出函数 f(x)的图象 思路点拨 (1)结合 a1 时 yax1ax及 ylogax 的图象求解 (2)由 f(5)1 求得 a，然后借助函数的奇偶性作图 (1)C a1，01a1”去掉，函数“ylogax”改为“yloga(x)”，则函数 yax与 yloga(x)的图象可能是( ) C 在 yloga(x)中，x0，x0， 图象只能在 y 轴的左侧，故排除 A，D； 当 a1 时，yloga(x)是减函数， yax1ax是减函数，故排除
7、B； 当 0a1 时，yloga(x)是增函数， yax1ax是增函数，C 满足条件，故选 C. 2把本例(2)改为 f(x)|log2x1 2，试作出其图象 解 第一步：作 ylog2x 的图象，如图(1)所示 (1) (2) 第二步：将 ylog2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度，得 ylog2(x1)的图象，如图(2)所示 第三步：将 ylog2(x1)的图象在 x 轴下方的部分作关于 x 轴的对称变换，得 y|log2(x1)|的图象，如图(3)所示 第四步：将 y|log2(x1)|的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示 (3) (
8、4) 7 函数图象的变换规律 1一般地，函数 yfx aba，b 为实数的图象是由函数 yfx的图象沿 x 轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿 y 轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. 2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，yf|xa|的图象是关于直线 xa 对称的轴对称图形；函数 y|fx|的图象与 yfx的图象在 fx0 的部分相同，在 fx0 且 a1)这种形式 2在对数函数 ylogax 中，底数 a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质 3涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析. 1思考辨析 (1)对数函数的定
9、义域为 R.( ) (2)函数 yloga(x2)恒过定点(1,0)( ) (3)对数函数的图象一定在 y 轴右侧( ) (4)函数 ylog2x 与 yx2互为反函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2下列函数是对数函数的是( ) Ay2log3x Byloga(2a)(a0，且 a1) Cylogax2(a0，且 a1) Dyln x D 结合对数函数的形式 ylogax(a0 且 a1)可知 D 正确 3函数 f(x) lg xlg(53x)的定义域是( ) A.0，53 B.0，53 8 C.1，53 D.1，53 C 由 lg x0，53x0，得 x1，x53， 即 1x53. 4已知 f(x)log3x. (1)作出这个函数的图象； (2)若 f(a)f(2)，利用图象求 a 的取值范围 解 (1)作出函数 ylog3x 的图象如图所示 (2)令 f(x)f(2)， 即 log3xlog32，解得 x2. 由图象知： 当 0a2 时，恒有 f(a)f(2) 所以所求 a 的取值范围为 0a2.