1、1 第第 2 课时课时 指数函数的性质的应用指数函数的性质的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式(重点) 2通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题(难点) 借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养. 利用指数函数的单调性比较大小 【例 1】 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和 1.53.2； (2)0.61.2和 0.61.5； (3)1.70.2和 0.92.1； (4)a1.1与 a0.3(a0 且 a1) 解 (1)1.52.5,1.5
2、3.2可看作函数 y1.5x的两个函数值，由于底数 1.51，所以函数 y1.5x在 R 上是增函数，因为 2.53.2，所以 1.52.51.5，所以 0.61.21.701,0.92.10.92.1. (4)当 a1 时，yax在 R 上是增函数，故 a1.1a0.3； 当 0a1 时，yax在 R 上是减函数，故 a1.11 和 0a1 两种情况分类讨论. 1比较下列各值的大小：4313，223，233，3412. 解 先根据幂的特征，将这 4 个数分类： (1)负数：233；(2)大于 1 的数：4313，223；(3)大于 0 且小于 1 的数：3412. (2)中，43132132
3、23(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出 y43x，y2x的图象，再分别取 x13，x23，比较对应函数值的大小，如图)， 故有23334124313223. 利用指数函数的单调性解不等式 【例 2】 (1)解不等式123x12； (2)已知 ax23x10，a1)，求 x 的取值范围 解 (1)2121，原不等式可以转化为123x1121. y12x在 R 上是减函数， 3x11，x0， 故原不等式的解集是x|x0 (2)分情况讨论： 3 当 0a0，a1)在 R 上是减函数， x23x1x6， x24x50， 根据相应二次函数的图象可得 x5； 当 a1 时，函数 f(x)ax(a0，a
4、1)在 R 上是增函数， x23x1x6，x24x50， 根据相应二次函数的图象可得1x5. 综上所述，当 0a1 时，x5；当 a1 时，1xag(x)(a0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即 af(x)ag(x) fxgx，a1，fxgx，0a1a53x(a0 且 a1)，求 x 的取值范围 解 因为 ax11a53x，所以 ax1a3x5，当 a1 时，yax为增函数，可得 x13x5，所以 x3； 当 0a1 时，yax为减函数，可得 x13. 综上，当 a1 时，x 的取值范围为(，3)；当 0a0，且 a1)的单调性
5、与 yx2的单调性存在怎样的关系？ 提示：分两类：(1)当 a1 时，函数 yax2的单调性与 yx2的单调性一致； (2)当 0a1 时，函数 yax2的单调性与 yx2的单调性相反 【例 3】 判断 f(x)13x22x的单调性，并求其值域 思路点拨 令ux22x 函数ux的单调性 函数y13u的单调性 同增异减函数fx的单调性 解 令 ux22x，则原函数变为 y13u. ux22x(x1)21 在(，1上递减，在1，)上递增，又y13u在(，)上递减， y13x22x在(，1上递增，在1，)上递减 ux22x(x1)211， y13u，u1，)， 00，a1的单调性的处理技巧 1关于指
6、数型函数 yafxa0， 且 a1的单调性由两点决定， 一是底数 a1 还是 0a1；二是 fx的单调性，它由两个函数 yau，ufx复合而成. 2求复合函数的单调区间， 首先求出函数的定义域， 然后把函数分解成 yfu， ux，通过考查 fu和 x的单调性，求出 yfx的单调性. 1比较两个指数式值的大小的主要方法 (1)比较形如 am与 an的大小，可运用指数函数 yax的单调性 (2)比较形如 am与 bn的大小， 一般找一个“中间值 c”， 若 amc 且 cbn， 则 amc且 cbn，则 ambn. 2解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如 axay的不等式，可借助 yax的单调
7、性求解如果 a 的值不确定，需分 0a1 两种情况进行讨论 (2)形如 axb 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式，再借助 yax的单调性求解 (3)形如 axbx的不等式，可借助图象求解 3(1)研究 yaf(x)型单调区间时，要注意 a1 还是 0a1 时，yaf(x)与 f(x)单调性相同 当 0a0.1b，则 ab.( ) (3)a，b 均大于 0 且不等于 1，若 axbx，则 x0.( ) (4)由于 yax(a0 且 a1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2若 2x11，则 x 的取值范围是( ) A(1,1) B(1，) C(0,1)(1，) D(，1) D 2x1120，且 y2x是增函数， x10，x0 且 a1)的图象经过点2，19. (1)比较 f(2)与 f(b22)的大小； (2)求函数 g(x)ax22x(x0)的值域 解 (1)由已知得 a219， 解得 a13， 因为 f(x)13x在 R 上递减， 2b22， 所以 f(2)f(b22) (2)因为 x0，所以 x22x1，所以13x22x3， 即函数 g(x)ax22x(x0)的值域为(0,3