1、1 4.3 对数对数 4.3.1 对数的概念对数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算(重点、难点) 2理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化(重点) 3理解常用对数、自然对数的概念及记法. 借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题， 培养数学运算素养. 1对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数 a 的范围是 a0，且 a1. 2常用对数与自然对数 3对数的基本性质 (1)负数和零没有对数 (2)loga 10(a0，且 a1) (3)logaa1(a0，且 a1) 思考：为什么零和负数没有对数？
2、 提示：由对数的定义：axN(a0 且 a1)，则总有 N0，所以转化为对数式 xlogaN 时，不存在 N0 的情况 2 1若 a2M(a0 且 a1)，则有( ) Alog2Ma BlogaM2 Clog22M Dlog2aM B a2M，logaM2，故选 B. 2若 log3x3，则 x( ) A1 B3 C9 D27 D log3x3，x3327. 3在 bloga(5a)中，实数 a 的取值范围是( ) Aa5 或 a0 B0a1 或 1a5 C0a1 D1a0，a0，a1， 解得 0a0，且 a1，N0的值的步骤 1设 logaNm； 2将 logaNm 写成指数式 amN； 3
3、将 N 写成以 a 为底的指数幂 Nab，则 mb，即 logaNb. 2计算：(1)log9 27；(2)log43 81；(3)log354625. 解 (1)设 xlog9 27，则 9x27,32x33，x32. (2)设 xlog4381，则(43)x81,3x434，x16. (3)令 xlog354625，(354)x625,543x54，x3. 应用对数的基本性质求值 探究问题 1你能推出对数恒等式 alogaNN(a0 且 a1，N 0)吗？ 提示：因为 axN，所以 xlogaN，代入 axN 可得 alogaNN. 2若方程 logaf(x)0，则 f(x)等于多少？若方
4、程 logaf(x)1 呢？(其中 a0 且 a1) 提示：若 logaf(x)0，则 f(x)1；若 logaf(x)1，则 f(x)a. 【例 3】 设 5log5(2x1)25，则 x 的值等于( ) A10 B13 C100 D 100 (2)若 log3(lg x)0，则 x 的值等于_ 思路点拨 (1)利用对数恒等式 alogaNN 求解； (2)利用 logaa1，loga10 求解 5 (1)B (2)10 (1)由 5log5(2x1)25 得 2x125，所以 x13，故选 B. (2)由 log3(lg x)0 得 lg x1，x10. 1若本例(2)的条件改为“ln(l
5、og3x)1”，则 x 的值为_ 3e 由 ln(log3x)1 得 log3xe，x3e. 2在本例(2)条件不变的前提下，计算 x12的值 解 x10，x1210121010. 1利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求 loga(logbc)的值，先求 logbc 的值，再求loga(logbc)的值 (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解 2性质 alogaNN 与 logaabb 的作用 (1)alogaNN 的作用在于能把任意一个正实数转化为以 a 为底的指数形式 (2)logaabb 的作用在于能把以
6、a 为底的指数转化为一个实数 1对数的概念：abNblogaN(a0 且 a1)是解决指数、对数问题的有利工具 2指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题 3对数恒等式 alogaNN，其成立的条件是 a0，a1，N0. 1思考辨析 (1)logaN 是 loga与 N 的乘积( ) (2)(2)38 可化为 log(2)(8)3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数( ) (4)在 blog3(m1)中，实数 m 的取值范围是(1，)( ) 6 答案 (1) (2) (3) (4) 2下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A1
7、001 与 lg 10 B271313与 log271313 Clog392 与 9123 Dlog551 与 515 C C 不正确，由 log392 可得 329. 3若 log2(logx9)1，则 x_. 3 由 log2(logx9)1 可知 logx92，即 x29，x3(x3 舍去) 4求下列各式中的 x 值： (1)logx2732； (2)log2 x23； (3)xlog2719； (4)xlog1216. 解 (1)由 logx2732，可得 x3227， x2723(33)23329. (2)由 log2x23，可得 x223， x1223314322. (3)由 xlog2719，可得 27x19， 33x32，x23. (4)由 xlog1216，可得12x16， 2x24，x4.