1、1 第第 2 课时课时 函数的最大函数的最大(小小)值值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义(重点) 2能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值(重点、难点) 3能利用函数的最值解决有关的实际应用问题(重点) 4通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用， 提高学生逻辑推理、 数学运算的能力 (重点、难点) 1.借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养 2利用函数的最值解决实际问题， 培养数学建模素养 函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：xI，
2、都有 f(x)M f(x)M x0I，使得 f(x0)M 结论 M 是函数 yf(x)的最大值 M 是函数 yf(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 思考：若函数 f(x)M，则 M 一定是函数的最大值吗？ 提示：不一定，只有定义域内存在一点 x0，使 f(x0)M 时，M 才是函数的最大值，否则不是 1函数 yf(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ) A1,0 B0,2 C1,2 D.12，2 C 由图可知，f(x)的最大值为 f(1)2，f(x)的最小值为 f(2)2 1. 2设函数 f(x)2x1(x0)，则
3、f(x)( ) A有最大值 B有最小值 C既有最大值又有最小值 D既无最大值又无最小值 D f(x)在(，0)上单调递增，f(x)1，求 f(x)的最大值、最小值 解 作出函数 f(x)的图象(如图) 由图象可知，当 x 1 时，f(x)取最大值为 f( 1)1.当 x0 时，f(x)取最小值 f(0)0， 故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0. 利用函数的单调性求最值(值域) 【例 2】 已知函数 f(x)2x1x1. (1)判断函数在区间(1，)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间2,4上的最大值和最小值 解 (1)f(x)在(1，)上为增函数，证明如下：任取1x1
4、x2， 则 f(x1)f(x2)2x11x112x21x21x1x2x11x21， 因为1x10，x210，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在(1，)上为增函数 (2)由(1)知 f(x)在2,4上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(2)2212153， 最大值 f(4)2414195. 1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性 (2)利用单调性求出最大(小)值 2函数的最大(小)值与单调性的关系 4 (1)若函数 f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则 f(x)在区间a，b上的最小(大)值是 f(a)，最大(小
5、)值是 f(b) (2)若函数 f(x)在区间a， b上是增(减)函数， 在区间b， c上是减(增)函数， 则 f(x)在区间a，c上的最大(小)值是 f(b)，最小(大)值是 f(a)与 f(c)中较小(大)的一个 提醒：(1)求最值勿忘求定义域 (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意 2求函数 f(x)x4x在1,4上的最值 解 设 1x1x22， 则 f(x1)f(x2)x14x1x24x2x1x24x2x1x1x2(x1x2)14x1x2(x1x2)x1x24x1x2x1x2x1x24x1x2. 1x1x22，x1x20，x1x240，
6、 f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数 同理 f(x)在2,4上是增函数 当 x2 时，f(x)取得最小值 4；当 x1 或 x4 时，f(x)取得最大值 5. 函数最值的实际应用 【例 3】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(xN*)件当 x20 时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20 时， 年销售总收入为 260 万元 记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元 (年利润年销售总收入年总投资) (1)求 y(万元)与 x(件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得
7、年利润最大？最大年利润是多少？ 解 (1)当 020 时，y260100 x160 x.故 y x232x100，020(xN*) (2)当 020时，160 x0)的对称轴与区间m，n可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？ 提示： 2求二次函数 f(x)ax2bxc 在m，n上的最值，应考虑哪些因素？ 提示： 若求二次函数f(x)在m， n上的最值， 应考虑其开口方向及对称轴xb2a与区间m，n的关系 【例 4】 已知函数 f(x)x2ax1，求 f(x)在0,1上的最大值 6 思路点拨 fxx2ax1 分类讨论分析xa2与0，1的关系 数形结合求fx的最大值 解 因为函数 f(x)x2a
8、x1 的图象开口向上，其对称轴为 xa2， 当a212，即 a1 时，f(x)的最大值为 f(1)2a； 当a212，即 a1 时，f(x)的最大值为 f(0)1. 1在题设条件不变的情况下，求 f(x)在0,1上的最小值 解 (1)当a20，即 a0 时，f(x)在0,1上单调递增，f(x)minf(0)1. (2)当a21，即 a2 时，f(x)在0,1上单调递减， f(x)minf(1)2a. (3)当 0a21，即 0a2 时，f(x)在0，a2上单调递减，在a2，1 上单调递增，故 f(x)minfa21a24. 2在本例条件不变的情况下，若 a1，求 f(x)在t，t1(tR)上的
9、最小值 解 当 a1 时，f(x)x2x1，其图象的对称轴为 x12， 当 t12时，f(x)在其上是增函数，f(x)minf(t)t2t1； 当 t112，即 t12时，f(x)在其上是减函数， f(x)minf(t1)t12234t2t1； 当 t12t1，即12t12时，函数 f(x)在t，12上单调递减，在12，t1 上单调递增，所以 f(x)minf1234. 二次函数在闭区间上的最值 设 f(x)ax2bxc(a0)，则二次函数 f(x)在闭区间m，n上的最大值、最小值有如下的7 分布情况： 对称轴与区间的关系 b2amn，即b2a(，m) mb2an，即b2a(m，n) mnb2
10、a，即b2a(n，) 图象 最值 f(x)maxf(n)，f(x)minf(m) f(x)maxmaxf(n)， f(m)，f(x)minfb2a f(x)maxf(m)，f(x)minf(n) 1 函数的最大(小)值， 包含两层意义： 一是存在， 二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点 2求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是： (1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值； (2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值； (3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类
11、讨论思想解题 3通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识 1思考辨析 (1)任何函数都有最大(小)值( ) (2)函数 f(x)在a，b上的最值一定是 f(a)(或 f(b)( ) (3)函数的最大值一定比最小值大( ) 答案 (1) (2) (3) 2函数 yx22x，x0,3的值域为( ) A0,3 B1,0 C1，) D1,3 D 函数 yx22x(x1)21，x0,3，当 x1 时，函数 y 取得最小值为1， 当 x3 时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为1,3，故选 D. 8 3函数 yax1 在区间1,3上的最大值为 4，则 a_. 1 若a0， 则函数ya
12、x1在区间1,3上是减函数， 并且在区间的左端点处取得最大值，即 a14， 解得 a3， 不满足 a0， 则函数 yax1 在区间1,3上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即 3a14，解得 a1.综上，a1. 4已知函数 f(x)2x1(x2,6) (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值 解 (1)函数 f(x)在 x2,6上是减函数 证明：设 x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)2x112x212x21x11x11x212x2x1x11x21. 由 2x10，(x11)(x21)0，于是 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以函数 f(x)2x1是区间2,6上的减函数 (2)由(1)可知，函数 f(x)2x1在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在 x2 时取得最大值，最大值是 2，在 x6 时取得最小值，最小值是25.