1、1 第第 2 课时课时 奇偶性的应用奇偶性的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式 2能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题. 1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养 2借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养. 用奇偶性求解析式 【例 1】 (1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， 当 x0 时， f(x)x1， 求 f(x)的解析式； (2)设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)1x1，求函数 f(x)，g(x)的解析式 思路点拨 (1) 设x0 当x0fxx1 求fx 奇函数得x0时fx的解析式
2、奇函数的性质f00 分段函数fx的解析式 (2) fxgx1x1 用x代式中x 得fxgx1x1 奇偶性 得fxgx1x1 解方程组得fx，gx的解析式 解 (1)设 x0， f(x)(x)1x1， 又函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， f(x)f(x)x1， 当 x0 时，f(x)x1. 2 又 x0 时，f(0)0， 所以 f(x) x1，x0. (2)f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， f(x)f(x)，g(x)g(x) 由 f(x)g(x)1x1， 用x 代替 x 得 f(x)g(x)1x1， f(x)g(x)1x1， () 2，得 f(x)1x21； () 2，得 g(x)x
3、x21. 把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求 f(x)，g(x)的解析式 解 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， f(x)f(x)，g(x)g(x)， 又 f(x)g(x)1x1， 用x 代替上式中的 x，得 f(x)g(x)1x1， 即 f(x)g(x)1x1. 联立得 f(x)xx21，g(x)1x21. 利用函数奇偶性求解析式的方法 3 1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设. 2要利用已知区间的解析式进行代入. 3利用 fx的奇偶性写出fx或 fx，从而解出 fx. 提醒： 若函数 fx的定
4、义域内含 0 且为奇函数， 则必有 f00， 但若为偶函数， 未必有 f00. 函数单调性和奇偶性的综合问题 探究问题 1如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(b，a)上的单调性如何？ 如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(b，a)上的单调性如何？ 提示：如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(b，a)上单调递增；如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(b，a)上单调递增 2你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？ 提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 偶函数在关于原点对
5、称的区间上单调性相反 3 若偶函数 f(x)在(， 0)上单调递增， 那么 f(3)和 f(2)的大小关系如何？若 f(a)f(b)，你能得到什么结论？ 提示：f(2)f(3)，若 f(a)f(b)，则|a|b|. 角度一 比较大小问题 【例 2】 函数 yf(x)在0,2上单调递增，且函数 f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) Af(1)f52f72 Bf72f(1)f52 Cf72f52f(1) Df52f(1)f72 思路点拨 yfx2是偶函数 fx的图象关于x2对称 0，2上递增比较大小 B 函数 f(x2)是偶函数， 4 函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称， f52f3
6、2， f72f12， 又 f(x)在0,2上单调递增， f12f(1)f32，即 f72f(1)f52. 比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上. 1在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； 2不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 1设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x0，)时，f(x)是增函数，则 f(2)，f()，f(3)的大小关系是( ) Af()f(3)f(2) Bf()f(2)f(3) Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3) A 由偶函数与单调性的关系知，若 x0，)时，f(x)是增函数，则 x
7、(，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，|2|3|，f()f(3)f(2)，故选 A. 角度二 解不等式问题 【例 3】 已知定义在2,2上的奇函数 f(x)在区间0,2上是减函数，若 f(1m)f(m)，求实数 m 的取值范围 解 因为 f(x)在区间2,2上为奇函数，且在区间0,2上是减函数，所以 f(x)在2,2上为减函数 又 f(1m)m， 即 1m3，2m2，m12.解得1m12. 故实数 m 的取值范围是1m12. 5 解有关奇函数 fx的不等式 fafb0，先将 fafb0 变形为 fafbfb，再利用 fx的单调性去掉“f”，化为关
8、于 a，b 的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质 fxf|x|f|x|将 fgx中的 gx全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号 f，使不等式得解. 2函数 f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在0，)上是增函数，f(3)1 Ba1 或 a2 D1a2 C 因为函数 f(x)在实数集上是偶函数，且 f(3)f(2a1)，所以 f(3)f(|2a1|)，又函数 f(x)在0，)上是增函数，所以 31 或 a0 时的解析式与 xf(2) Bf(1)f(2)，故选 A. 3定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上是增函数，若 f(a)f(b)，则一定可得( ) Aab C|a|b| D0ab0 C f(x)是 R 上的偶函数，且在0，)上是增函数， 由 f(a)f(b)可得|a|b|. 4已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)x2x2，求 f(x)，g(x)的表达式 解 f(x)g(x)x2x2， 由 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数得， f(x)g(x)x2x2，又 f(x)g(x)x2x2，两式联立得 f(x)x22，g(x)x.