1、1 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 第第 1 课时课时 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的解法(重点). 2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点). 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养. 1一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式 2一元二次不等式的一般形式 (1)ax2bxc0(a0) (2)ax2bxc0(a0) (3)ax2bxc0(a0) (4)ax2bxc0(a0) 思考 1：不等式 x2y20 是一元二
2、次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式 3一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集 思考 2： 类比“方程 x21 的解集是1， 1， 解集中的每一个元素均可使等式成立” 不等式 x21 的解集及其含义是什么？ 提示：不等式 x21 的解集为x|x1，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立 4三个“二次”的关系 2 设 yax2bxc(a0)，方程 ax2bxc0 的判别式 b24ac 判别式 0 0 0 解不等式 y0或 y0
3、的步骤 求方程 y0 的解 有两个不相等的实数根 x1，x2(x1x2) 有两个相等的实数根 x1x2b2a 没有 实数根 画函数 yax2bxc(a0)的图象 得等的集不式解 y0 x|xx1_或 xx2 xxb2a R y0 x|x1xx2 思考 3：若一元二次不等式 ax2x10 的解集为 R，则实数 a 应满足什么条件？ 提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2x10 的解集为 R，则 a0，14a0 的解集为 R. 1不等式 35x2x20 的解集为( ) A.x x3或x12 B.x 12x3 C.x x3或x12 DR C 35x2x202x25x30(x3)(2x1
4、)0 x3 或 x12. 2不等式 3x22x10 的解集为( ) A.x 1x13 B.x 13x1 C DR D 因为 (2)24 3 141280，所以不等式 3x22x10 的解集为 R. 3不等式 x22x52x 的解集是_ x|x5 或 x2x， 得 x24x50， 因为 x24x50 的两根为1,5， 3 故 x24x50 的解集为x|x5 4不等式3x25x40 的解集为_ 原不等式变形为 3x25x40.因为 (5)2434230，所以 3x25x40 无解 由函数 y3x25x4 的图象可知，3x25x40； (2)4x218x8140； (3)2x23x20， 所以方程
5、2x27x30有两个不等实根 x13，x212.又二次函数 y2x27x3 的图象开口向上，所以原不等式的解集为x x12或x0， 因为 942270； (2)x24x40； (3)x22x30. 解 (1)0，方程 2x23x20 的根是 x112，x22， 不等式 2x23x20 的解集为 x x2. (2)0，方程 x24x40 的根是 x1x22， 不等式 x24x40 的解集为x|x2 . (3)原不等式可化为 x22x30， 由于 0，方程 x22x30 无解， 不等式x22x30 的解集为 R. (4)原不等式可化为 3x25x20，方程 3x25x20 的两根为 x123，x2
6、1， 不等式3x25x20 的解集为x 23x1. 含参数的一元二次不等式的解法 【例 2】 解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10. 思路点拨 对于二次项的系数 a 是否分 a0， a0 三类进行讨论？当 a0 时，是否还要比较两根的大小？ 解 当 a0 时，原不等式可化为 x1. 当 a0 时，原不等式可化为(ax1)(x1)0. 当 a0， 1a1，x1. 5 当 a0 时，原不等式可化为x1a(x1)0. 若1a1，则1ax1，即 0a1，则 1x1a. 综上所述，当 a0 时，原不等式的解集为x x1 ；当 a0 时，原不等式的解集为x|x1；当 0a1 时，原不等式的解集为x
7、1x1 时，原不等式的解集为x 1ax1. 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并 2解关于 x 的不等式：ax222xax(a0) 解 原不等式移项得 ax2(a2)x20， 化简为(x1)(ax2)0. a0，(x1)x2a0. 当2a0 时，2ax1； 当 a2 时，x1； 6 当 a2 时，1x2a. 综上所述， 当2a0 时，解集为x 2ax1； 当 a2 时，解集为x|x1； 当 a0、y0 时自变量 x 组成的集合，亦即二次函数 yx22x3 的图象在 x 轴上方时点的横坐标 x 的集合x|x3； 同理， 满
8、足 y0 时 x 的取值集合为x|1x0(a0)或 ax2bxc0)是函数 yax2bxc(a0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当 y0 时，函数 yax2bxc(a0)就转化为方程，当 y0 或 y0 的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？ 提示：方程 x22x30 的解集为1,3 不等式 x22x30 的解集为x|x3，观察发现不等式 x22x30 解集的端点值恰好是方程 x22x30 的根 3 设一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，7 x|x1xx2(x10(a0)和 ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|
9、x1xx2(x10 的解集为x|2x3，求关于 x 的不等式 cx2bxa0 的解集 思路点拨 由给定不等式的解集形式确定a0及关于a，b，c的方程组 用a表示b，c 代入所求不等式求解cx2bxa0 的解集为x|2x3可知，a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系可知ba5，ca6.由 a0 知 c0，bc56，故不等式cx2bxa0，即 x256x160，解得 x12，所以不等式 cx2bxa0 的解集为x|2x3可知，a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根，所以 ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式 cx2bx
10、a0，即 6ax25axa06ax13 x120 的解集 解 由根与系数的关系知ba5，ca6 且 a0. c0， 即 x2bcxac0，即 x256x160. 解之得x 12x0的解集为x|2x3变为“关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集是x 13x2.求不等式 cx2bxa0 的解集 解 法一：由 ax2bxc0 的解集为 x13x2知 a0.又132ca0，则 c0. 又13，2 为方程 ax2bxc0 的两个根， ba53，ba53. 又ca23，b53a，c23a， 不等式变为23a x253a xa0， 即 2ax25ax3a0. 又a0，2x25x30， 所求不等式的解集为
11、 x3x12. 法二：由已知得 a0 且132ba，132ca知 c0， 设方程 cx2bxa0 的两根分别为 x1，x2， 则 x1x2bc，x1 x2ac， 其中ac113232， bcbaca1321321131252， x11133，x212. 不等式 cx2bxa0 的解集为 x3x12. 9 已知以 a，b，c 为参数的不等式如 ax2bxc0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： 1根据解集来判断二次项系数的符号； 2根据根与系数的关系把 b，c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式； 3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 1解一元二次不等式的常见方法 (1)图
12、象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： 化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)； 求方程 ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数 yax2bxc 图象的简图； 由图象得出不等式的解集 (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解 当 m0)，一根(0)，无根(0) (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2， x1x2，x1x2. 3由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与 x 轴的交点坐标. 1思考辨析 (1)mx25x0，则一元二次不等式 ax210 无解( ) (3)若一
13、元二次方程 ax2bxc0 的两根为 x1， x2(x1x2)， 则一元二次不等式 ax2bxc0的解集为x|x1x0 的解集为 R.( ) 提示 (1)错误当 m0 时，是一元一次不等式；当 m0 时，是一元二次不等式 (2)错误因为 a0，所以不等式 ax210 恒成立，即原不等式的解集为 R. (3)错误当 a0 时，ax2bxc0 的解集为x|x1xx2，否则不成立 (4)正确因为 (2)2120 的解集为 R. 答案 (1) (2) (3) (4) 2设 a1，则关于 x 的不等式 a(xa)x1a0 的解集为_ x x1a 因为 a1， 所以 a(xa)x1a0.又aa，所以 x1a或 xa. 3已知关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集是x x12，则 ax2bxc0 的解集为_ x 12x2 由题意，2，12是方程 ax2bxc0 的两个根且 a0，即为 2x25x20， 解得12x0 的解集为x 12x2(x1) 解 (1)原不等式可化为x27x120， 因为方程x27x120的两根为 x13， x24， 所以原不等式的解集为x|3x4 (2)原不等式可以化为 x22x20， 11 因为判别式 4840，方程 x22x20 无实根，而抛物线 yx22x2 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 R.