1、1 3.2.2 奇偶性奇偶性 第第 1 课时课时 奇偶性的概念奇偶性的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解奇函数、偶函数的定义 2了解奇函数、偶函数图象的特征 3掌握判断函数奇偶性的方法. 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养 2借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数 f(x)的定义域为 I，如果xI，都有xI 结论 f(x)f(x) f(x)f(x) 图象特点 关于 y 轴对称 关于原点对称 思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示：定义域关于原点对称 1下列函数是偶函数的是( ) Ayx By2x23 Cy1
2、x Dyx2，x0,1 B 选项 C、D 中函数的定义域不关于原点对称，选项 A 中的函数是奇函数，故选 B. 2下列图象表示的函数具有奇偶性的是( ) 2 A B C D B B 选项的图象关于 y 轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性 3函数 yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则 a 等于( ) A1 B0 C1 D无法确定 C 奇函数的定义域关于原点对称，a10，即 a1. 4若 f(x)为 R 上的偶函数，且 f(2)3，则 f(2)_. 3 f(x)为 R 上的偶函数，f(2)f(2)3. 函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)x3x； (2)f
3、(x)1x2 x21； (3)f(x)2x22xx1； (4)f(x) x1，x0. 解 (1)函数的定义域为 R，关于原点对称 又 f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)， 因此函数 f(x)是奇函数 (2)由 1x20，x210得 x21，即 x 1. 因此函数的定义域为1,1，关于原点对称 又 f(1)f(1)f(1)0，所以 f(x)既是奇函数又是偶函数 3 (3)函数 f(x)的定义域是(，1)(1，)， 不关于原点对称，所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (4)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称 f(x) x1，x0， 即 f(x) x1，x0，0，x0，x1，x0.
4、 于是有 f(x)f(x) 所以 f(x)为奇函数 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法： (2)图象法： 1下列函数中，是偶函数的有_(填序号) f(x)x3；f(x)|x|1；f(x)1x2； f(x)x1x；f(x)x2，x1,2 对于，f(x)x3f(x)，则为奇函数； 对于，f(x)|x|1|x|1，则为偶函数； 4 对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)1x21x2f(x)，则为偶函数； 对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)x1xf(x)，则为奇函数； 对于，定义域为1,2，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数 奇偶函数的图象问题 【例 2】 已知奇函
5、数 f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示 (1)画出在区间5,0上的图象； (2)写出使 f(x)0 的 x 的取值集合 解 (1)因为函数 f(x)是奇函数，所以 yf(x)在5,5上的图象关于原点对称 由 yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示 (2)由图象知，使函数值 y0 的 x 的取值集合为(2，0)(2,5) (变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题 解 (1)如图所示 (2)由(1)可知，使函数值 y0 的 x 的取值集合为(5，2)(2,5) 巧用奇、偶函数的图象求解问题 1依据：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关
6、于 y 轴对称. 2求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题. 5 2如图是函数 f(x)1x21在区间0，)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数 f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据 解 因为f(x)1x21所以f(x)的定义域为R.又对任意xR， 都有f(x)1x211x21f(x)，所以 f(x)为偶函数所以 f(x)的图象关于 y 轴对称，其图象如图所示 , 利用函数的奇偶性求值 探究问题 1 对于定义域内的任意 x， 若 f(x)f(x)0， 则函数 f(x)是否具有奇偶性？若 f(x)f(x)0 呢？ 提示：由 f(x)f(x)0 得 f
7、(x)f(x)， f(x)为奇函数 由 f(x)f(x)0 得 f(x)f(x)，f(x)为偶函数 2若 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则 f(0)的值可求吗？若 f(x)为偶函数呢？ 提示：若 f(x)为奇函数，则 f(0)0；若 f(x)为偶函数，无法求出 f(0)的值 【例 3】 (1)若函数 f(x)ax2bx3ab 是偶函数， 定义域为a1,2a， 则 a_，b_； (2)已知 f(x)x7ax5bx3cx2，若 f(3)3，则 f(3)_. 6 思路点拨 (1) fx是偶函数 定义域关于原点对称求a的值 图象关于y轴对称求b的值 (2) 令gxx7ax5bx3cx 判断gx
8、的奇偶性 计算g3 代入求得f3 (1)13 0 (2)7 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a12a，解得 a13. 又函数 f(x)13x2bxb1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b0. (2)令 g(x)x7ax5bx3cx，则 g(x)是奇函数， f(3)g(3)2g(3)2，又 f(3)3， g(3)5.又 f(3)g(3)2，所以 f(3)527. 利用奇偶性求参数的常见类型及策略 1定义域含参数：奇、偶函数 fx的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用 ab0 求参数. 2解析式含参数：根据 fxfx或 fxfx列式，比较系数即可求解. 3若 f(x)(
9、xa)(x4)为偶函数，则实数 a_. 4 法一：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，两式恒相等，则 a40，即 a4. 法二：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为 0，即 a40，则 a4. 法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)ax2c 的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a4. 1奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数 f(x)定义域内的每一个值 x，都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)，才能说 f(x)是奇函数(或偶函数) 2函数的奇偶性是其相应图象特
10、殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用 7 1思考辨析 (1)函数 f(x)x2，x0，)是偶函数( ) (2)对于函数 yf(x)，若存在 x，使 f(x)f(x)，则函数 yf(x)一定是奇函数( ) (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数( ) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2函数 f(x)|x|1 是( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 B f(x)|x|1|x|1f(x)， f(x)为偶函数 3已知函数 f(x)ax22x 是奇函数，则实数 a_. 0 f(x)为奇函数， f(x)f(x)0， 2ax20 对任意 xR 恒成立，所以 a0. 4 已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数， 且当 x0 时， f(x)x22x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示 (1)请补出完整函数 yf(x)的图象； (2)根据图象写出函数 yf(x)的增区间； (3)根据图象写出使 f(x)0 的 x 的取值集合 解 (1)由题意作出函数图象如图： 8 (2)据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，) (3)据图可知，使 f(x)0 的 x 的取值集合为(2,0)(0,2)