1、1 3.1.2 函数的表示法函数的表示法 第第 1 课时课时 函数的表示法函数的表示法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法(重点) 2会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数(难点) 1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养 2通过函数解析式的求法培养运算素养. 函数的表示法 思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？ 提示：不一定 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如 D(x) 0，xQ，1，xRQ.列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个
2、概况或片段 1已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)等于( ) x 1x2 2 2x4 f(x) 1 2 3 A.1 B2 C3 D不存在 C 当 2x4 时，f(x)3，f(3)3. 2二次函数的图象的顶点为(0，1)，对称轴为 y 轴，则二次函数的解析式可以为( ) 2 Ay14x21 By14x21 Cy4x216 Dy4x216 B 把点(0，1)代入四个选项可知，只有 B 正确 3已知函数 yf(x)的图象如图所示，则其定义域是_ 2,3 由图象可知 f(x)的定义域为2,3 函数的三种表示方法 【例 1】 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台数 x
3、与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来 解 列表法如下： x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 图象法：如图所示 解析法：y3 000 x，x1,2,3，10 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系， 同一个函数可以用不同的方法表示 在用三种方法表示函数时要注意： 解析法必须注明函数的定义域；3 列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法中要注
4、意是否连线 1(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( ) A B C D (2)由下表给出函数 yf(x)，则 f(f(1)等于( ) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A.1 B2 C4 D5 (1)D (2)B (1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到 0，故选 D. (2)由题意可知，f(1)4，f(4)2，f(f(1)f(4)2，故选 B. 图象的画法及应用 【例 2】 作出下列函数的图象并求出其值域 (1)yx，x0,1，2,3；(2)y2x，x2，)
5、；(3)yx22x，x2,2) 解 (1)列表 x 0 1 2 3 y 0 1 2 3 函数图象只是四个点(0,0)，(1，1)，(2,2)，(3，3)，其值域为0，1,2，3 (2)列表 4 x 2 3 4 5 y 1 23 12 25 当 x2，)时，图象是反比例函数 y2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1 (3)列表 x 2 1 0 1 2 y 0 1 0 3 8 画图象，图象是抛物线 yx22x 在2x1，或 x1， 或 x1)是抛物线 yx22x 去掉1x1 之间的部分后剩余曲线如图. 函数解析式的求法 探究问题 已知 f(x)的解析式，我们可以用代入法求 f(g(x)，反之，
6、若已知 f(g(x)，如何求 f(x) 提示：若已知 f(g(x)的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x) 【例 3】 (1)已知 f( x1)x2 x，则 f(x)_； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x)4x8，则 f(x)_； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)2f(x)12x，则 f(x)_. 思路点拨 (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解 (1)x24x3(x1) (2)2x83或2x8 (3)23x1 (1)法一(换元法)：令 t x1，则t1，x(t1)2，代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t24
7、t3，f(x)x24x3(x1) 法二(配凑法)：f( x1)x2 x14 x43( x1)24( x1)3， 因为 x11， 所以 f(x)x24x3(x1) (2)设 f(x)axb(a0)， 则 f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb. 又 f(f(x)4x8， 所以 a2xabb4x8， 即 a24，abb8，解得 a2，b83或 a2，b8. 6 所以 f(x)2x83或 f(x)2x8. (3)由题意，在 f(x)2f(x)12x 中，以x 代 x 可得 f(x)2f(x)12x，联立可得 fx2fx12x，fx2fx12x，消去 f(x)可得 f(x)23x1. 1(
8、变条件)把本例(2)的题干改为“已知函数 f(x)是二次函数，且 f(0)1，f(x1)f(x)2x.”求 f(x)的解析式 解 设 f(x)ax2bxc，由 f(0)1 得 c1. 又 f(x1)a(x1)2b(x1)1， f(x1)f(x)2axab. 由 2axab2x，得 2a2，ab0， 解得 a1，b1. f(x)x2x1. 2(变条件)把本例(3)的题干改为“2f1xf(x)x(x0)”，求 f(x)的解析式 解 f(x)2f1xx，令 x1x， 得 f1x2f(x)1x. 于是得关于 f(x)与 f1x的方程组 fx2f1xx，f1x2fx1x. 解得 f(x)23xx3(x0
9、) 求函数解析式的四种常用方法 1待定系数法：若已知 fx的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可. 7 2换元法：设 tgx，解出 x，代入 fgx，求 ft的解析式即可. 3配凑法：对 fgx的解析式进行配凑变形，使它能用 gx表示出来，再用 x 代替两边所有的“gx”即可. 4方程组法或消元法： 当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解. 提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性. 1函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数 2作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与 x 轴、
10、y 轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点 3求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域. 1思考辨析 (1)任何一个函数都可以用解析法表示( ) (2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线( ) 答案 (1) (2) 2已知函数 f(x1)3x2，则 f(x)的解析式是( ) Af(x)3x1 Bf(x)3x1 Cf(x)3x2 Df(x)3x4 A 令 x1t，则 xt1，f(t)3(t1)23t1.f(x)3x1. 3已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出 x 4 5 6 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 4 5 4 则 g(f(5)_；f(g(2)_. 4 3 由题表可知 f(5)3，g(3)4，g(f(5)g(3)4. 8 又 g(2)5，f(5)3， f(g(2)f(5)3. 4已知函数 f(x)x22x(1x2) (1)画出 f(x)图象的简图； (2)根据图象写出 f(x)的值域 解 (1)f(x)图象的简图如图所示 (2)观察f(x)的图象可知， f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是1,3， 即f(x)的值域是1,3