1、1 2.2 基本不等式基本不等式 第第 1 课时课时 基本不等式基本不等式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解基本不等式的证明过程(重点) 2能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小. 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养 2借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养. 1重要不等式 a，bR，有 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立 2基本不等式 (1)有关概念：当 a，b 均为正数时，把ab2叫做正数 a，b 的算术平均数，把 ab叫做正数a，b 的几何平均数 (2)不等式： 当 a， b 是任意正实数时， a， b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，
2、 即 abab2，当且仅当 ab 时，等号成立 1不等式 a212a 中等号成立的条件是( ) Aa 1 Ba1 Ca1 Da0 B 当 a212a，即(a1)20 即 a1 时，“”成立 2已知 a，b(0,1)，且 ab，下列各式中最大的是( ) Aa2b2 B2 ab C2ab Dab D a，b(0,1)，a2a，b2b， a2b2ab，又 a2b22ab(ab)， 2 2aba2b2ab. 又ab2 ab(ab)，ab 最大 3已知 ab1，a0，b0，则 ab 的最小值为( ) A1 B2 C4 D8 B a0，b0，ab2 ab2，当且仅当 ab1 时取等号，故 ab 的最小值为
3、2. 4当 a，bR 时，下列不等关系成立的是_ ab2 ab；ab2 ab；a2b22ab；a2b22ab. 根据x2y22xy，ab2 ab成立的条件判断，知错，只有正确 对基本不等式的理解 【例 1】 给出下面四个推导过程： a、b 为正实数，baab2baab2； aR，a0，4aa24a a4； x、yR，xy0，xyyxxyyx2xy yx2. 其中正确的推导为( ) A B C D B a、b 为正实数，ba、ab为正实数，符合基本不等式的条件，故的推导正确 aR，a0，不符合基本不等式的条件， 4aa24a a4 是错误的 由 xy0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体
4、xyyx提出负号后，xy、yx均变为正数，符合均值不等式的条件，故正确 3 1基本不等式 abab2 (a0，b0)反映了两个正数的和与积之间的关系 2对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是 a、b 都是正数(2)“当且仅当”的含义：当 ab 时， abab2的等号成立，即 abab2 ab；仅当 ab 时，ab2 ab的等号成立，即ab2 abab. 1下列不等式的推导过程正确的是_ 若 x1，则 x1x2x1x2. 若 x0，则 x4xx4x 2x4x4. 若 a，bR，则baab2baab2. 中忽视了基本不等式等号成立的条件，当 x1x时即 x1 时，x1x2
5、 等号成立，因为 x1，所以 x1x2，中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件 利用基本不等式比较大小 【例 2】 (1)已知 a，bR，则下列各式中不一定成立的是( ) Aab2 ab B.baab2 C.a2b2ab2 ab D.2abab ab (2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 pa2b2c2与 qabbcca 的大小关系是_ (1)D (2)a2b2c2abbcac (1)由ab2 ab得 ab2 ab， A 成立； 4 baab2baab2，B 成立； a2b2ab2abab2 ab，C 成立； 2abab2ab2 ab ab，D 不一定成立 (2)a、b、c
6、互不相等， a2b22ab，b2c22ac，a2c22ac. 2(a2b2c2)2(abbcac) 即 a2b2c2abbcac. 1在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件 2 运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件， 即ab2 ab成立的条件是a0， b0，等号成立的条件是 ab；a2b22ab 成立的条件是 a，bR，等号成立的条件是 ab. 2如果 0ab1，Pab2，Q ab，Mab，那么 P，Q，M 的大小顺序是( ) APQM BMPQ CQMP DMQP B 显然ab2 ab，又因为ab2 ab，(由 abab24也就是ab41 可得)，所以 abab2 ab
7、.故 MPQ. 利用基本不等式证明不等式 【例 3】 已知 a，b，c 是互不相等的正数，且 abc1，求证：1a1b1c9. 思路点拨 看到1a1b1c9，想到将“1”换成“abc”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明 证明 a，b，cR，且 abc1， 5 1a1b1cabcaabcbabcc 3bacaabcbacbc 3baabcaaccbbc 32baab2caac2cbbc 3222 9. 当且仅当 abc 时取等号， 1a1b1c9. 本例条件不变，求证：1a11b11c1 8. 证明 a，b，cR， 且 abc1， 1a1bca0，1b1acb0，1c1abc0， 1a
8、11b11c1 bcaacbabc 2 bc 2 ac 2 ababc8， 当且仅当 abc 时取等号， 1a11b11c1 8. 1条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系 2先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待6 证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法 3已知 a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 证明 由基本不等式可得 a4b4(a2)2(b2)
9、22a2b2， 同理，b4c42b2c2， c4a42a2c2， (a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2， 从而 a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 4已知 a1，b0，1a3b1，求证：a2b2 67. 证明 由1a3b1，得 b3aa1(a1)， 则 a2ba6aa1a6a16a1 a6a16(a1)6a17 2 67， 当 a16a1时，即 a1 6时，取等号 1应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当 a0，b0 时，才会有 abab2.对于“当且仅当时， 成立”这句话要从两个方面理解： 一方面， 当 ab 时，ab2 ab；另一方面：当ab2 a
10、b时，也有 ab. 2应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构. 1思考辨析 7 (1)对任意 a，bR，a2b22ab，ab2 ab均成立( ) (2)若 a0，则 a1a2a1a2.( ) (3)若 a0，b0，则 abab22.( ) 提示 (1)任意 a，bR，有 a2b22ab 成立，当 a，b 都为正数时，不等式 ab2 ab成立 (2)只有当 a0 时，根据基本不等式，才有不等式 a1a2a1a2 成立 (3)因为 abab2，所以 abab22. 答案 (1) (2) (3) 2设 ab0，则下列不等式中一定成立的是( ) Aab0 B0ab1 C. abab C ab0，由基本不等式知 ab0，b0，证明：b2aa2bab. 证明 a0，b0， b2aa2b，a2bb2a， b2aa2bab.