1、1 第第 2 课时课时 基本不等式的应用基本不等式的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点) 2会用基本不等式求解实际应用题(难点) 1.通过基本不等式求最值， 提升数学运算素养 2借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养. 已知 x、y 都是正数， (1)若 xyS(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最大值S24. (2)若 xyp(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最小值 2 p. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大 1已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是( ) A.72 B4 C.92 D5
2、 C ab2，ab21. 1a4b1a4bab2 522abb2a5222abb2a92 当且仅当2abb2a，即b2a时，等号成立 . 故 y1a4b的最小值为92. 2若 x0，则 x2x的最小值是_ 2 2 x2x2x2x2 2，当且仅当 x 2时，等号成立 3设 x，yN*满足 xy20，则 xy 的最大值为_ 2 100 x，yN*，20 xy2 xy， xy100. 利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x54，求 y4x214x5的最大值； (2)已知 0 x12，求 y12x(12x)的最大值 思路点拨 (1)看到求 y4x214x5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(
3、2)要求 y12x(12x)的最值，需要出现和为定值 解 (1)x0， y4x214x554x154x3231， 当且仅当 54x154x，即 x1 时，上式等号成立， 故当 x1 时，ymax1. (2)0 x0， y142x(12x)142x12x221414116. 当且仅当 2x12x0 x0，求函数 yx25x4x的最小值； (2)已知 0 x0)的最小值为 9. (2)法一：0 x0. yx(13x)13 3x(13x) 133x13x22112. 当且仅当 3x13x，即 x16时，等号成立 当 x16时，函数取得最大值112. 法二：0 x0. yx(13x)3 x13x 3x
4、13x22 112， 当且仅当 x13x，即 x16时，等号成立 当 x16时，函数取得最大值112. 利用基本不等式求条件最值 【例 2】 已知 x0，y0，且满足8x1y1.求 x2y 的最小值 4 解 x0，y0，8x1y1， x2y8x1y(x2y)10 xy16yx 102xy16yx18， 当且仅当 8x1y1，xy16yx， 即 x12，y3时，等号成立， 故当 x12，y3 时，(x2y)min18. 若把“8x1y1”改为“x2y1”，其他条件不变，求8x1y的最小值 解 x，yR， 8x1y(x2y)8x1y 816yxxy21016yxxy102 1618. 当且仅当16
5、yxxy时取等号， 结合 x2y1，得 x23，y16， 当 x23，y16时，8x1y取到最小值 18. 1本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形 2常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项常见形式有 f(x)axbx型和f(x)ax(bax)型 5 2已知 a0，b0，a2b1，求1a1b的最小值 解 法一：1a1b1a1b 1 1a1b (a2b) 12baab232baab322baab 32 2， 当且仅当 2baab，a2b1，即 a 21，b122时等号成立 1a1b的最小值
6、为 32 2. 法二：1a1ba2baa2bb12baab2 32baab32 2， 当且仅当 2baab，a2b1，即 a 21，b122时，等号成立， 1a1b的最小值为 32 2. 利用基本不等式解决实际问题 【例 3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 解 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x6y36，即 2x3y18. 设每间虎笼面积为 S，则 Sxy. 6 法一：由于 2x3y2 2x 3y2 6xy， 所以 2 6xy18，得
7、 xy272， 即 Smax272，当且仅当 2x3y 时，等号成立 由 2x3y18，2x3y，解得 x4.5，y3. 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大 法二：由 2x3y18，得 x932y. x0，0y6，Sxyy932y 32y(6y) 0y0. S326yy22272. 当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5. 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大 1在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象
8、成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案 2对于函数 yxkx(k0)，可以证明 0 x k及 kx0 上均为减函数，在 x k及x k上都是增函数求此函数的最值时，若所给的范围含 k时，可用基本不等式，不包含 k时，可用函数的单调性求解(后面第三章 3.2 函数的基本性质中学习) 3某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层，每层 2 000平方米的楼房 经测算， 如果将楼房建为x(x10)层， 则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注
9、：平均综合费7 用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用购地总费用建筑总面积 解 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为2 1601042 000 x10 800 x. 每平方米的平均综合费用 y56048x10 800 x56048x225x. 当 x225x取最小值时，y 有最小值 x0，x225x2x225x30. 当且仅当 x225x，即 x15 时，上式等号成立 当 x15 时，y 有最小值 2 000 元 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少 1 利用基本不等式求最值， 要注意使用的条件“一正二定三相等”， 三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本
10、不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境 2不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到. 1思考辨析 (1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值( ) (2)若 a0，b0 且 ab4，则 ab4.( ) (3)当 x1 时，函数 yx1x12xx1，所以函数 y 的最小值是 2xx1.( ) 提示 (1)由 ab2 ab可知正确 (2)由 abab224 可知正确 (3)xx1不是常数，故错误 8 答案 (1) (2) (3) 2若实数 a、b 满足 ab2，则 ab 的最大值为( ) A1 B2 2 C2 D4 A 由基本不等式得，abab221. 3已知 0 x1，则 x(33x)取最大值时 x 的值为( ) A.12 B.34 C.23 D.25 A 0 x0， 则 x(33x)3x(1x)3x1x2234， 当且仅当 x1x，即 x12时取等号 4已知 x0，求 y2xx21的最大值 解 y2xx212x1x. x0，x1x2x1x2， y221，当且仅当 x1x，即 x1 时等号成立