1、1 第第 2 课时课时 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握不等式的性质(重点) 2能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明(难点) 3通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异. 1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力 2借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养. 1等式的性质 (1) 性质 1 如果 ab，那么 ba； (2) 性质 2 如果 ab，bc，那么 ac； (3) 性质 3 如果 ab，那么 a cb c； (4) 性质 4 如果 ab，那么 acbc； (5) 性质 5 如果 ab，c0，那么ac
2、bc. 2不等式的基本性质 (1)对称性：abba. (2)传递性：ab，bcac. (3)可加性：abacbc. (4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc. (5)加法法则：ab，cdacbd. (6)乘法法则：ab0，cd0acbd. (7)乘方法则：ab0anbn0(nN，n2) 1若 ab，cd，则下列不等关系中不一定成立的是( ) Aabdc Badbc Cacbc Dacad 2 B 根据不等式的性质 2与 ab 等价的不等式是( ) A|a|b| Ba2b2 C.ab1 Da3b3 D 可利用赋值法令 a5，b0，则 A、B 正确而不满足 ab.再令 a3，b1，则
3、C 正确而不满足 ab，故选 D. 3设 xa0，则下列不等式一定成立的是( ) Ax2axaxa2 Cx2a2a2ax B xaa2.x2axx(xa)0，x2ax.又 axa2a(xa)0，axa2.x2axa2. 利用不等式性质判断命题真假 【例 1】 对于实数 a，b，c 下列命题中的真命题是( ) A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab0，则1a1b C若 ab0，则baab D若 ab，1a1b，则 a0，b0 思路点拨 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断 D 法一：c20，c0 时， 有 ac2bc2，故 A 为假命题； 由 ab0，有 ab0a
4、abbab1b1a， 故 B 为假命题； 3 ab0ab01b1a0ab0ab0abba， 故 C 为假命题； abba01a1b1a1b0baab0ab0. ab，a0 且 b0，故 D 为真命题 法二：特殊值排除法 取 c0，则 ac2bc2，故 A 错 取 a2，b1，则1a12，1b1. 有1a1b，故 B 错取 a2，b1， 则ba12，ab2，有baab，故 C 错 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
5、 1下列命题正确的是( ) A若 a2b2，则 ab B若1a1b，则 ab C若 acbc，则 ab D若 a b，则 ab D A 错，例如(3)222；B 错，例如1213；C 错，例如当 c2，a3，b2 时，有 acbc，但 ab. 利用不等式性质证明简单不等式 4 【例 2】 若 ab0，cd0，e0，求证：eac2ebd2. 思路点拨 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果 证明 cd0，cd0. 又ab0，acbd0. (ac)2(bd)20. 两边同乘以1ac2bd2， 得1ac21bd2. 又 e0，eac2ebd2. 本例条件不变的情况下，求
6、证：eacebd. 证明 cd0，cd0. ab0，acbd0， 01ac1bd， 又e0，eacebd. 利用不等式的性质证明不等式注意事项 1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 2已知 ab，ef，c0，求证：facb，c0，acbc. 又ef，eacfbc， 5 ebcfac，facebc. 不等式性质的应用 探究问题 1小明同学做题时进行如下变形： 2b3， 131b12
7、， 又6a8， 2ab4. 你认为正确吗？为什么？ 提示： 不正确 因为不等式两边同乘以一个正数， 不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道6a8.不明确 a 值的正负故不能将131b12与6a8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘 2由6a8，4b2，两边分别相减得2ab6，你认为正确吗？ 提示：不正确因为同向不等式具有可加性但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质 3你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ 2ab4， 4ba2. 又2ab2， 0a3，3b0， 3ab3. 这怎么与2ab2 矛盾了呢？
8、 提示： 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意： 同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形本题中将 2ab4 与2ab2 两边相加得 0a3，又将4ba2 与2ab2 两边相加得出3b0，又将该式与 0a3 两边相加得出3abb，则 acbc 一定成立( ) (2)若 acbd，则 ab，cd.( ) 提示 (1)错误由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若 ab，则 acbc 不一定成立 (2)错误取 a4，c5，b6，d2.满足 acbd，但不满足 ab. 答案 (1) (2) 2如果 ab0，cd0，则下列不等式中不正确的是( ) Aadbc Badbc Cadbc Dacbd C 由已知及不等式的性质可得 acbd， 即 adbc，所以 A 正确； 由 cd0，得1d1c0. 又 ab0，所以adbc，adbc即 B 正确； 显然 D 正确，因此不正确的选项是 C. 3若11，则下列各式中恒成立的是( ) A20 B21 C10 D11 A 由11，11， 得11. 22，但 . 故知20. 4若 bcad0，bd0.求证：abbcdd. 8 证明 因为 bcad0，所以 adbc， 因为 bd0，所以abcd，所以ab1cd1，所以abbcdd.