1、高三数学试卷 第 1 页 共 4 页 黄浦区黄浦区 2021 学年度第一学期高三年级期终调研测试数学学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷试卷 一、填空题一、填空题(大题共有大题共有 12 题，题，满分满分 54 分分，第第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分分)考生应在答题考生应在答题卷卷的的相应相应位置位置直接填写结果直接填写结果 1设mR，已知集合1,3, Am，3,4B ，若1,2,3,4AB U，则m 2不等式|1| 1x 的解集为 3若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 4设0a 且1a ，若函数xya的反函数的图像过点(2, 1)，则a 5
2、若线性方程组的增广矩阵为122301cc、解为3,5,xy则12cc 6圆222440 xyxy的圆心到直线3440 xy的距离为 7以双曲线22145xy的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 8若O为三角形ABC内一点，则OA BCOB CAOCABuuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu r 9设无穷等比数列na的公比为q，且211aq，则该数列的各项和的最小值为 10在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 11设bR，若曲线2| | 1yx与直线yxb 有公共点，则b的
3、取值范围是 12 若数列na满足00a ， 且1|3 |kkaa（*kN） ， 则121 92 0|aaaaL的最小值为 二二、选择题、选择题(本大题共本大题共有有 4 题，题，满分满分 20 分分，每题，每题 5 分分)每题每题有且只有一个正确有且只有一个正确选项选项考生应在答题考生应在答题卷卷的的相应相应位置位置，将代表，将代表正确选项正确选项的小方格涂黑的小方格涂黑 13下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)上单调递减的函数为（ ） (A) 2yx (B) 1yx (C) 2yx (D) 13yx 14若1z、2z C，则“1z、2z均为实数”是“12zz是实数”的（ ） (A) 充分
4、非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 15下列不等式中，与不等式28223xxx解集相同的是（ ） 高三数学试卷 第 2 页 共 4 页 (A) 2(8)(23)2xxx (B) 282(23)xxx (C) 212238xxx (D) 223182xxx 16设为正实数，若存在a、b（2ab） ，使得sinsin1ab，则的值可以是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 三、解答题三、解答题(本大题共有本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分分)解答下列各题必须在答题解答下列各题必须在答题卷卷的的相应相应位置位置写出必要的步骤写
5、出必要的步骤 17(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分) 在直三棱柱111ABCABC中，2ABC，1ABBC （1）求异面直线11BC与AC所成角的大小； （2）若1AC与平面ABC所成角为4，求三棱锥1AABC的体积 18(本题满分本题满分 14 分分，第，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分) 已知直线xt（tR）与函数sin2yx、cos 26yx的图像分别交于M、N两点 （1）当4t时，求|MN的值； （2） 求|MN关于t的表达式( )f t， 写出函数( )yf t的最
6、小正周期， 并求其在区间0,2 内的零点 19(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题小题满分满分 6 分，第分，第 2 小题小题满分满分 8 分分) 某地区 2020 年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理预测显示：在以 2020 年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理根据预测，解答下列问题： （1）求 2021 年至 2023 年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？ （结果精确到0.1万吨） （2）该地区在哪一年通
7、过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生的生活垃圾量的50%？ ABC1A1B1C高三数学试卷 第 3 页 共 4 页 20(本题满分本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分分) 设常数0m 且1m ，椭圆：2221xym，点P是上的动点 （1）若点P的坐标为(2,0)，求的焦点坐标； （2）设3m ，若定点A的坐标为(2,0)，求|PA的最大值与最小值； （3）设12m ，若上的另一动点Q满足OPOQ（O为坐标原点） ，求证：O到直线PQ的距离是定值 21(本题满分本题满分 18 分，第分，第
8、1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分分) 设函数( )yf x定义在区间( , )a b上，若对任意的1x、2x、1x、2x( , )a b，当1212xxxx，且1212| |xxxx时，不等式1212()()()()f xf xf xf x成立，就称函数( )yf x具有 M 性质 （1）判断函数( )2xf x ，( 3,3)x 是否具有 M 性质，并说明理由； （2）已知函数( )yf x在区间( , )a b上恒正，且函数lg( )yf x，( , )xa b具有 M 性质，求证：对任意的1x、2x( , )a
9、b，且12xx，有21212( )()2xxf xf xf； （3） 已知函数( )yf x，( , )xa b具有 M 性质，证明：对任意的1x、2x、3x( , )a b，有123123( )()()33xxxf xf xf xf，其中等号当且仅当123xxx时成立； 已知函数( )sinf xx，0,2x具有 M 性质，若A、B、C为三角形ABC的内角，求sinsinsinABC的最大值 （可参考：对于任意给定实数x、y，有|xyxy，且等号当且仅当0 xy时成立 ） 高三数学试卷 第 4 页 共 4 页 参考答案参考答案 一、填空题一、填空题 12 2(0,2) 3 412 516 6
10、3 7212yx 80 92 22 10120 115 5,4 4 126 二、选择题二、选择题 13A 14A 15B 16D 三、 解答题三、 解答题(本大题共有本大题共有 5 题， 满分题， 满分 76 分分)解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤 17解（1）因为11/BCBC，所以ACB为异面直线11BC与AC所成的角（或其补角） （3 分） 由2ABC，1ABBC，得4ACB 因此异面直线11BC与AC所成角的大小为4 （2）因为1AA 平面ABC，所以1ACA为1AC与平面ABC所成角，即14ACA 由2ABC，1ABBC
11、，得2AC ，于是12AA 因此三棱锥1AABC的体积11236ABCVSAA 18解（1）点M的坐标为,14，点N的坐标为1,42 因此13|122MN （2）33|sin2cos 2sin2cos23 sin 26226MNttttt 函数3 sin 26yt的最小正周期为2 令3 sin 206t，可得26tk ，212kt（kZ） 函数( )yf t在区间0,2 内的零点为12、712、1312、1912 19 解 （1） 该地区 2021 年、 2022 年、 2023 年产生的生活垃圾分别为20 1.05、220 1.05、320 1.05；通过环保方式处理的垃圾分别为7.5、9、
12、10.5 （4 分） 高三数学试卷 第 5 页 共 4 页 23(20 1.057.5)(20 1.059)(20 1.0510.5)39.2（万吨） 因此，2021 年至 2023 年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计约39.2万吨 （2）设该地区从 2020 起每年产生的生活垃圾量（单位：万吨）构成数列na，则na是以20为首项，1.05为公比的等比数列，其通项公式为120 1.05nna； 从 2020 起每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 nb，则 nb是以6为首项，1.5为公差的等差数列，其通项公式为4.51.5nbn 由题意，0.5nnba，即14.5 1.50.
13、5 20 1.05nn，得14.5 1.510 1.050nn 令14.5 1.510 1.05nncn，于是111.50.5 1.05nnncc，当1,2,9nL时，可得11.50.5 1.050n，即10921ccccL 当15n 时，14.5 1.510 1.050nn；当610n 时，14.5 1.510 1.050nn 因此，该地区在 2025 年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生的生活垃圾量的50% 20解（1）由题意2m ，椭圆：2214xy 由4 13 ， 得的焦点坐标为(3,0)，( 3,0) （2）当3m 时，椭圆：2219xy 设( , )P x y，于是222|
14、(2)PAxy，将2219xy 代入上式， 得2222891|(2)19942xPAxx （33x ） 因此， 当94x 时，|PA取到最小值， 最小值为22； 当3x 时，|PA取到最大值， 最大值为5 （3）当12m 时，椭圆：2241xy 当直线OP垂直于x轴时，| 1OP ，1|2OQ ，则O到直线PQ的距离为55 当直线OP不垂直于x轴时，设直线OP的方程为ykx，于是直线OQ的方程为1yxk 由22,41,ykxxy得222221,4,4xkkyk所以2221|4kOPk同理可得2221|41kOQk 设O到直线PQ的距离为d，因为22222(| )| |OQOPdOQOP， 高三
15、数学试卷 第 6 页 共 4 页 所以22222111555|1kdOPOQk，即55d 综上，O到直线PQ的距离是定值55 21解（1）令12x ，22x ，11x ，21x ，于是221217( )()224f xf x，11125( )()222f xf x，显然1212( )()( )()f xf xf xf x 因此函数( )2xf x ，( 3,3)x 不具有 M 性质 证明（2）设1x、2x( , )a b，且12xx令12122xxxx， 显然122xx( , )a b，且1212| 0 |xxxx，于是1212lg ( )lg ()2lg2xxf xf xf，即21212lg
16、( )()lg2xxf xf xf 因为函数lgyx在区间(0,)上为增函数，所以21212( )()2xxf xf xf （3）证明 对任意的1x、2x、3x( , )a b，令1233xxxA，显然( , )Aa b 若123xxx，则不等式123123( )()()33xxxf xf xf xf中等号成立 下面考虑1x、2x、3x不全相等，不妨设1x的值最小，3x的值最大，于是13xx，且13xAx 令1xA ，22xx ，313xxxA ，于是1313xxxx，且1313| |()|xxAxxA 31| ()()|xAAx 31313131| ()|xAAxxAAxxxxx ， 故13
17、13( )()( )()f xf xf xf x，从而123123( )()()( )()()f xf xf xf xf xf x 又23213()xxxxxAAA，且23213| |()|0 |xxxxxAAA， 故23()()( )( )f xf xf Af A，因此123( )()()( )( )( )3 ( )f xf xf xf Af Af Af A 综上，123123( )()()33xxxf xf xf xf，其中等号当且仅当123xxx时成立 解 当ABC为锐角三角形时，由，得3 3sinsinsin3sin32ABCABC， 等号当3ABC时成立； 当ABC为直角三角形时，不妨设C为直角，于是sinsinsinsincos1ABCAA 高三数学试卷 第 7 页 共 4 页 3 32sin12142A ； 当ABC为钝角三角形时，不妨设C为钝角，此时02C ，于是sinsinsinABC )sinsinsin()3sin3sin33ABCCABC，由02C ， 得)033C，于是)30sin32C，故)3 303sin32C 综上，sinsinsinABC的最大值为3 32