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山东省临沂市罗庄区2020-2021学年高二上期末数学试题(含答案解析)

1、高二年级上学期期末质量检测数学试题第I卷(选择题共60分)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设为等差数列的前项和,若,则的值为( )A. 14B. 28C. 36D. 482. 已知抛物线上一点 到其焦点距离为,则实数的值是( )A. -4B. 2C. 4D. 83. 已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则( )A B. C. D. 4. 已知空间向量,则向量在向量上的投影向量是( )A. B. C. D. 5. 已知矩形,为平面外一点,且平面,分别为,上的点,且,则( )A. B. C. 1D. 6. 中国古代

2、数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得至其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里7. 已知椭圆与双曲线的焦点重合,、分别为、的离心率,则( )A. 且B. 且C. 且D. 且8. 已知函数是定义在上的奇函数,是的导函数,且,当时,则使得成立的的取值范围是( )A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项

3、符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有错选的得0分.9. 已知是等比数列的前项和,下列结论一定成立的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则10. 已知双曲线过点且渐近线为,点在双曲线的一条渐近线上,为坐标原点,为双曲线的右焦点,则下列结论正确的是( )A. 双曲线的离心率为2B. 双曲线的方程是C. 的最小值为2D. 直线与有两个公共点11. 已知是各条棱长均等于1正三棱柱, 是侧棱的中点,下列结论正确的是( )A. 与平面所成的角的正弦值为B. 平面与平面所成的角是C. D. 平面平面12. 函数,其图象在坐标原点处与相切,则( )A. B. 函数没有最小值C.

4、函数存在两个极值D. 函数存在两个零点第II卷(非选择题 共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 直线l1:(3m)x4y53m,l2:2x(5m)y8,若l1l2,则m_.14. 设 分别为直线 和圆 上的点,则的最小值为_.15. 数列满足,对任意的 都有,则_ 16. 已知过点的直线与曲线和都相切,则_;若直线与这两条曲线都相交,交点分别为,则的最小值为_四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程17. 在对任意,满足,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中问题:已知数列的前项和为,_,若数列是等差数列,求数列的通项公式;若数列不一定是

5、等差数列,说明理由18. 已知函数(1)当时,求曲线在处的切线方程(2) 时,若,求的定义域,并分析其单调性19. 已知直线与圆相交于,两点(1)若,求;(2)在轴上是否存在点,使得当变化时,总有直线、斜率之和为0,若存在,求出点的坐标:若不存在,说明理由20. 如图,已知三棱锥中,为的中点,点在边上,且(1)证明:平面; (2)求二面角的正弦值21. 知椭圆的焦点在轴上,并且经过点,离心率为(1)求椭圆的标准方程;(2)动直线与圆相切于点,与椭圆相交于,两点,线段的中点为,求面积的最大值,并求此时点的坐标22. 已知函数,(1)若,求的取值范围;(2)若时,方程()在上恰有两个不等的实数根,

6、求实数的取值范围参考答案第I卷(选择题共60分)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设为等差数列的前项和,若,则的值为( )A. 14B. 28C. 36D. 48【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.【详解】因为为等差数列的前项和,所以故选:D【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用,属于较易题.2. 已知抛物线上一点 到其焦点的距离为,则实数的值是( )A. -4B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】首先利用抛物线的定义,将抛物线上点到

7、焦点的距离转化为到准线的距离解出p,再将点M的坐标代入抛物线方程即可解得.【详解】抛物线的准线方程为:,因为M到焦点距离为5,所以M到准线的距离,即p=8,则抛物线方程为.将(1,m)代入得:,因为所以.故选:C.3. 已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上,然后求出过点的圆的切线方程,最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知,圆的圆心,半径.因为,所以点在圆上,所以过点的圆的切线与直线垂直,设切线的斜率,则有,即,解得.因为直线与切线垂直,所以,解得.故选:B.4. 已知空间向量

8、,则向量在向量上的投影向量是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量在向量上的投影向量为,计算即可求出答案【详解】解:向量,则,所以向量在向量上投影向量为故选:5. 已知矩形,为平面外一点,且平面,分别为,上的点,且,则( )A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】由,得,然后利用向量的加减法法则把向量用向量表示出来,可求出的值,从而可得答案【详解】解:因为,所以所以,因为,所以,所以,故选:B6. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得至其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是有一个人走3

9、78里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.7. 已知椭圆与双曲线的焦点重合,、分别为、的离心率,则( )A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】A【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的焦点重合得出,

10、可得出、的大小,再由离心率公式可得出与的大小关系,进而可得出结论.【详解】由于椭圆和双曲线的焦点重合,则,则,.,故选:A.【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系,同时也考查了两曲线的离心率之积的问题,考查计算能力,属于中等题.8. 已知函数是定义在上的奇函数,是的导函数,且,当时,则使得成立的的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数,根据题意可得的奇偶性与单调性,结合的图象即可求解【详解】解:由题意可知,函数是奇函数,令函数,则函数为偶函数,又当时,所以函数在上单调递减,根据对称性可知,函数在上单调递增,又,所以,所以,函数的大致图象如图所

11、示:数形结合可知,使得成立的的取值范围是,故选:B【点睛】本题考查函数的性质、导数的应用,考查构造函数法,转化思想和数形结合思想,属于中档题二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有错选的得0分.9. 已知是等比数列的前项和,下列结论一定成立的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】AC【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及其前项和公式即可判断出正误即可【详解】解:A、若,则,所以,故本选项正确;、,则无法判定的正负,所以的正负也无法判定,故本选项错误;、,则,若时,;若,故本选项

12、正确;、若,若,时,;若,当时,则,所以,故本选项错误.故选:AC.10. 已知双曲线过点且渐近线为,点在双曲线的一条渐近线上,为坐标原点,为双曲线的右焦点,则下列结论正确的是( )A. 双曲线的离心率为2B. 双曲线的方程是C. 的最小值为2D. 直线与有两个公共点【答案】AB【解析】【分析】设双曲线的方程为,由双曲线过点求出,判断B;再由离心率公式判断A;联立直线和双曲线方程判断D.【详解】设双曲线的方程为,由双曲线过点可得,即双曲线的方程是,故B正确;可化为,则,故A正确;由题意可得,当直线与渐近线垂直时,取最小值,且最小值,故C错误;由,解得,即直线与只有一个交点,故D错误;故选:AB

13、11. 已知是各条棱长均等于1的正三棱柱, 是侧棱的中点,下列结论正确的是( )A. 与平面所成的角的正弦值为B. 平面与平面所成的角是C. D. 平面平面【答案】ACD【解析】【分析】根据正三棱柱的性质,结合空间线面的关系,逐项分析判断即可得解.【详解】对A,设点到平面的距离为,易知到平面为底面的高为,由,可得,由,,所以,由,解得,与平面所成的角的正弦值为,故A正确;如图,延长交于点,连接,由知为中点,由为等边三角形,所以,所以为二面角的平面角,易知,故B错误;对C,由,根据正三棱柱的性质可得平面,所以,又,所以平面,所以,故C正确;对D,由C答案的分析可知,平面,平面,而平面,所以平面平

14、面,故D正确.故选:ACD12. 函数,其图象坐标原点处与相切,则( )A. B. 函数没有最小值C. 函数存在两个极值D. 函数存在两个零点【答案】AD【解析】【分析】求出函数的导数,通过图象在坐标原点处与相切,求解,然后求解函数的解析式以及函数的导数,求出极值点,判断函数的最值以及函数的零点即可判断选项【详解】由题意可得,且,所以, 所以,令,则,设,两个函数只有一个交点,设交点的横坐标为:,则,当时,函数是减函数,当时,函数是增函数,所以是函数极小值点,是函数最小值,因为函数过,所以函数存在两个零点,故选:AD第II卷(非选择题 共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

15、 13. 直线l1:(3m)x4y53m,l2:2x(5m)y8,若l1l2,则m_.【答案】【解析】【分析】根据两直线平行的条件求的值.【详解】把直线l1:(3m)x4y53m,l2:2x(5m)y8化为直线方程的一般式为:直线l1:,l2:,因为l1l2,所以 ,解得.故答案为:.14. 设 分别为直线 和圆 上的点,则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】易知的最小值为圆心到直线的距离减去半径.【详解】圆心到直线的距离为,所以的最小值为.故答案为:.15. 数列满足,对任意的 都有,则_ 【答案】【解析】【分析】根据题意可得,利用累加法可得,解得,再裂项相消即可得解.【详解】由可得,所以

16、:,由解得,所以,所以.故答案为:.16. 已知过点的直线与曲线和都相切,则_;若直线与这两条曲线都相交,交点分别为,则的最小值为_【答案】 . . 【解析】【分析】首先分别设出直线与曲线相切的切点,分别利用导数的几何意义,求切点坐标和参数;将的最小值转化为求函数的最小值,利用导数求函数的最值.【详解】设直线与曲线和相切的切点分别为,则,因为,则直线的斜率,解得:,则,因为,所以,解得:,令,则,当时,单调递减,当时,单调递增,所以,即的最小值为.故答案为:;四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程17. 在对任意,满足,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中问题:已

17、知数列的前项和为,_,若数列是等差数列,求数列的通项公式;若数列不一定是等差数列,说明理由【答案】选择条件,数列不一定是等差数列,理由见解析;选择条件,数列的通项公式为;选择条件,【解析】【分析】若选择条件,可得,即,由于无法确定的值,即可判断;若选择条件:可得,再根据等差数列通项公式计算得解;若选择条件:利用,可得,再根据等差数列的通项公式计算得解;【详解】解:选择条件: 因为对任意,满足,所以,所以因为无法确定的值,所以不一定等于2所以数列不一定是等差数列选择条件:由,得,即,又因为,所以所以数列是等差数列,其公差为2因此,数列的通项公式为选择条件:因为,所以,两式相减得,即又,即,所以,

18、又,所以,所以数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算,根据求通项公式,属于基础题.18. 已知函数(1)当时,求曲线在处的切线方程(2) 时,若,求的定义域,并分析其单调性【答案】(1);(2)定义域为,单调性见解析.【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义,可得切线斜率为,再由根据点斜式即可得解;(2)由可得,再通过导数研究函数单调性即可.【详解】(1) 当 时,所以 又,所以曲线 在 处的切线方程为 (2)当时, ,函数 的定义域为 , 当时,当时, 在上单调递增,在上单调递减,在 上单调递减.19. 已知直线与圆相交于,两点(1)若,求;(2)

19、在轴上是否存在点,使得当变化时,总有直线、的斜率之和为0,若存在,求出点的坐标:若不存在,说明理由【答案】(1);(2)存在.【解析】【分析】(1)由题得到的距离为,即得,解方程即得解;(2)设,存在点满足题意,即,把韦达定理代入方程化简即得解.【详解】(1)因为圆,所以圆心坐标为,半径为2, 因为,所以到的距离为, 由点到直线距离公式可得:, 解得 (2)设,则得,因为,所以, 设存在点满足题意,即, 所以,因为,所以, 所以,解得所以存在点符合题意【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆的探究性问题的解答,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于中档题.20.

20、如图,已知三棱锥中,为的中点,点在边上,且(1)证明:平面; (2)求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)先在等腰三角形中证,然后在中根据勾股定理证,从而结论得证;(2)用向量法求两个面的法向量,根据向量的夹角公式来求二面角的余弦值.【详解】(1)连接,在中,因为,为的中点,所以,且;在中,因为,为的中点,所以,且; 在中,因为,所以,所以, 又,平面,所以平面 (2)因为, 两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为,所以,由,得,则,设平面的法向量为,则 ,令,得, 因为平面,所以为平面的一个法向量,设二面角为,则,因为,所以二面角正弦值2

21、1. 知椭圆的焦点在轴上,并且经过点,离心率为(1)求椭圆的标准方程;(2)动直线与圆相切于点,与椭圆相交于,两点,线段的中点为,求面积的最大值,并求此时点的坐标【答案】(1);(2)的面积最大值为,此时点的坐标为或或或【解析】【分析】(1)先设椭圆的标准方程,再根据题意建立方程,最后求椭圆的标准方程即可;(2)先得到方程和,再用表示出、,最后求最大时点的坐标即可.【详解】解:(1)设椭圆的标准方程为,由题意得,因为,所以,所以椭圆的标准方程为(2)设动直线的方程为由直线与圆相切得,即由,得,其中设,则,从而,所以因为,所以当时,上式等号成立,此时故的面积最大值为,此时点的坐标为或或或【点睛】

22、本题考查求椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系、椭圆内三角形的面积问题,是偏难题.22. 已知函数,(1)若,求的取值范围;(2)若时,方程()在上恰有两个不等的实数根,求实数的取值范围【答案】(1);(2) 【解析】【分析】(1)由给定成立的不等式分离参数,再构造新函数并探讨其最大值即可得解;(2)构造函数,探求其单调性并确定函数值的取值情况即可作答.【详解】(1)函数的定义域为,设函数,则,由得,由得,即函数在递增,在递减,从而得时,函数取最大值, 所以实数的取值范围是;(2)由题意:在上恰有2个不相等的实数根,设函数,则, 由得, 由得,则在上递减,在上递增,而()在上恰有2个不相等的实数根,则有,解得,所以实数的取值范围.