1、 高三数学 第 1 页 共 9 页 2021 学年第学年第一一学期学期质量监控质量监控高高三三数学数学试卷试卷 (满分：满分：150 分，完卷时间：分，完卷时间：120 分钟分钟) （答题请写在答题纸上）（答题请写在答题纸上） 一、一、填空题填空题（本大题共有（本大题共有12 题题，满分满分54 分分，第第16 题每题每题题4 分，第分，第712 题每题每题题5 分分）考生应在答题纸考生应在答题纸的的相应相应位置位置直接填写结果直接填写结果 1已知集合 |2Ax x， |3Bx x，则AB I 2函数2log (1)yx的定义域是 3若复数z满足i3iz (i为虚数单位)，则| | z 46(
2、2)x的展开式中3x的系数为 (结果用数值表示) 5已知1cos3，则行列式1sinsin1的值为 6某小区共有住户 2000 人，其中老年人 600 人，中年人 1000 人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 400 的样本，则样本中中年人的人数为 7设P为直线2yx上的一点，且位于第一象限，若点P到双曲线2214xy的两条渐近线的距离之积为27，则点P的坐标为 8已知0 x，0y ，且411xy，则4xy的最小值为 9有身高全不相同的 6 位同学一起拍毕业照，若 6 人随机排成两排，每排 3 人，则后排每人都比前排任意一位同学高的
3、概率是 (结果用最简分数表示) 10已知1P、2P、3P、10P是抛物线28yx上不同的点，点(2,0)F，若121 00FPFPFPu u u ru u u ru u u u rrL，则1210|FPFPFPuuu ruuu ruuuu rL 11若数列 na满足21nnnaaa0kna（*nN，*kN） ，则称数列 na为“k阶相消数列” 已知 “2 阶相消数列” nb的通项公式为2nbcosn， 记21bbTnnb，12021n ，*nN，则当n=_时，nT取得最小值 高三数学 第 2 页 共 9 页 12已知点0,0O、02,3A和05,6B，记线段00A B的中点为1P，取线段01A
4、 P和线段10PB中的一条，记其端点为1A、1B，使之满足11(| 5)(| 5)0OAOB；记线段11AB的中点为2P，取线段12AP和线段21P B中的一条，记其端点为2A、2B，使之满足22(| 5)(| 5)0OAOB；依次下去，得到点1P、2P、nP、，则0limnnA P 二、二、选择题（本大题共有选择题（本大题共有 4 题题，满分满分 20 分分，每题，每题 5 分）每题分）每题有且有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应相应位置位置，将代表，将代表正确选项正确选项的小方格涂黑的小方格涂黑 13已知abR、，则“1ba”是“ba”的 ( ) (
5、A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 14下列函数中，以2为周期且在区间,42上单调递增的是 ( ) (A) ( ) |cos2 |f xx (B) ( ) |sin2 |f xx (C) ( )sin4f xx (D) ( )cos2f xx 15如图，在棱长为 1 的正方体1111BABCDAC D中，P、Q、R分别是棱AB、BC、1BB的中点，以PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体1111BABCDAC D的表面上，则这个直三棱柱的体积为 ( ) (A) 38 (B) 38 (C) 316 (D) 316
6、 16 已知向量ar与br的夹角为120， 且2a b r r， 向量cr满足(1)cabrrr(01)，且a cb c r rr r. .记向量cr在向量ar与br方向上的投影分别为x、y.现有两个结论： 若13，则| 2|abrr； 22xyxy的最大值为34，则正确的判断是 ( ) (A) 成立，成立 (B) 成立，不成立 (C) 不成立，成立 (D) 不成立，不成立 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 高三数学 第 3 页 共 9 页
7、的步骤的步骤 17 （本题满分 （本题满分 14 分分，第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 如图，已知圆锥的底面半径2r ，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点. . （1）求此圆锥的表面积； （2）求异面直线PQ与SO所成角的大小 18 （本题满分 （本题满分 14 分分，第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 已知函数( )3xf x . （1）设 1yfx是 yf x的反函数，若112()1fx x，求131312()()fxfx的值； （2）是否存在常
8、数mR，使得函数( )1( ) 1mg xf x 为奇函数若存在，求m的值，并证明此时( )g x在, 上单调递增；若不存在，请说明理由. . 19 （本题满分 （本题满分 14 分分，第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 落户上海的某休闲度假园区预计于 2022 年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，2ACB，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处.游客可从入口沿着观景通道A CB到达出口，其中300AC 米，=200BC米,也可以沿便捷通道APB到达出口（P为ABCV内一点）. （1）若PBCV是以P为直角顶点的等
9、腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟 50 米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到 1 分钟） （2）园区计划将PBCV区域修建成室外游乐场，若23BPC，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由. 20.（本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分） 高三数学 第 4 页 共 9 页 已知(0,1)P为椭圆22:143xyC内一定点，Q为直线:3l y 上一动点，直线PQ与椭圆C交于A、B两点(点B位于P、Q两点之间)，O为坐标原点. .
10、 （1）当直线PQ的倾斜角为4时，求直线OQ的斜率； （2）当AOB的面积为32时，求点Q的横坐标； （3）设APPBuuu ruuu r，ABBQuuu ruuu r，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. . 21.（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分） 已知有穷数列na的各项均不相等，将na的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列np，称np为na的“序数列”. 例如：数列123,a a a满足132aaa，则其“序数列”np为 1，3，2. 若两个不
11、同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”. （1）若数列3 2x，56x，2x的“序数列”为 2，3，1，求实数x的取值范围； （2） 若项数均为 2021 的数列nx、ny互为 “保序数列” ， 其通项公式分别为1223nnxn ，tnnyn2（t为常数） ，求实数t的取值范围； （3）设1nnaqp，其中p、q是实常数，且1q ，记数列na的前n项和为nS. 若当正整数3k时，数列na的前k项与数列nS的前k项(都按原来的顺序)总是互为“保序数列” ，求p、q满足的条件. . 高三数学 第 5 页 共 9 页 高高三三数学数学试卷试卷评分标准评分标准 一、填空题（本大题共有一
12、、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分分，第，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分分）考生应在答题）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果纸的相应位置直接填写结果 1 |23xx ； 21+（， ）； 3 2 ； 4 160 ； 5. 19 ； 6200 ； 7 ( 3, 6 ) ； 825 ； 9120 ； 1040 ; 112020 ; 12 2 . 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，
13、将代表正确选项的小方格涂黑相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13.D 14.A 15.C 16.C 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17 （本题满分 （本题满分 14 分分，第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解：(1) 由4SAAB，得2 48rlS 侧 3 分 又24rS底， 故1 = 2SSS侧全底 6 分 即此圆锥的表面积为12 (2) 取OA的中点M，连接PM因点P为母线SA的中点，故/P
14、MOS所以MPQ为异面直线PQ与SO所成的角 9 分 在RtSOA中，tan602 3SOOA ，故132PMSO由点Q为半圆弧AB的中点，知OQAB，在RtMOQ中，225QMOQOM 12 分 由SO底面QAB，知PM 底面QAB，在RtMPQ中，515tan33QMMPQPM，故arcta3n15MPQ， 即异面直线PQ与SO所成角的大小为arctan153 14 分 18 （本题满分 （本题满分 14 分分，第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）因为函数 3xf x ，所以 13logfxx，0,x 2 分 高三数学 第 6 页
15、共 9 页 131333123132312loglog3log3fxfxxxx x 6 分 （2）由题意得： 131xmg x 解法一：因为 g x为奇函数，所以 gxg x，即113131xxmm ，8 分 整理得：2310 xm， 故2m 12 分 解法二：因为 g x是定义域为R的奇函数，故 00g，即102m，解得2m 8 分 此时 23113131xxxg x ，定义域为R关于原点对称，且 311 3311 3xxxxgxg x 故当2m时， g x为奇函数 12 分 任取12xx，则 12211222221131313131xxxxg xg x 12122 3331 31xxxx
16、因为12xx，所以12330 xx且1231 310 xx， 故 120g xg x，即函数( )g x在（- ,+ )上单调递增 14 分 19 （本题满分 （本题满分 14 分分，第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）若游客走观景通道A CB，则所需时间为3002001050分钟； 2 分 由PBCV是以P为直角顶点的等腰直角三角形，可得100 2CPPB且4ACP 在PACV中，由余弦定理可得：2222cosPAACPCAC PCACP， 100 5PA 4 分 故游客若走便捷通道APB，所需时间为100 5100 27.350分钟
17、； 5 分 因此，游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快大约 3 分钟 6 分 （2）解法一：13sin24PBCSPC PBBPCPC PBV 8 分 高三数学 第 7 页 共 9 页 在PBCV中，由余弦定理可得：2222cosBCPCPBPC PBBPC， 即22400003PCPBPC PBPC PB， 10 分 当且仅当200 33PBPC时，等号成立 12 分 所以当PBPC时，可使室外游乐场的面积最大 14 分 解法二：可设PCB， 在PBCV中， sinsinPCBCPBCBPC，即400sin33PC 8 分 故11 400sinsin200 sin2233PBC
18、SPC BCPCBV 10 分 2400003120000cossinsin3sincossin2233 2000031 cos2200001sin2sin 2226233 12 分 所以当6，即PBPC时，可使室外游乐场的面积最大 14 分 20.（本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分） 解：解：(1) 当直线PQ的倾斜角为4时，其斜率1k ，直线PQ的方程为1yx. . 2 分 联立31yyx，解得23xy，即(2,3)Q. .从而32OQk，即直线OQ的斜率为32. .4
19、分 (2) 由题意，可设直线PQ的方程为1(0)ykxk. . 联立221143ykxxy，消去y，整理得22(43)880kxkx . . 设11( ,)A x y、22(,)B x y，则1221228,438.43kxxkx xk 5 分 高三数学 第 8 页 共 9 页 从而222121212222884 126|()44.434343kkxxxxx xkkk 由1213| |22AOBSOPxx，得224 126343kk 解得214k ，12k . .8 分 故直线PQ的方程为112yx . .令3y ，得点Q的横坐标为4. . 10 分 (3) 当直线PQ与y轴重合时，|23|A
20、PPBuuu ruuu r，|13|ABBQ uuu ruuu r，故1. . 12 分 当直线PQ不与y轴重合时，设直线PQ的方程为1(0)ykxk. . 设11( ,)A x y、22(,)B x y，由(2)知1221228,438.43kxxkx xk 从而 11212121122222222()211222xxxx xxxxxkkxxxxxxkkk 14 分 22222882434302kkkkxxk , ,即1. . 16 分 综上，为定值1. . 21.（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小
21、题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）由题意得231aaa，即225632xxxx， 2 分 解得16x 4 分 （2）113212322232363nnnnnnxxnn 5 分 当1n 时，210 xx即21xx，当2n时，10nnxx即1nnxx， 7 分 高三数学 第 9 页 共 9 页 故212342021,xx xxxxL，又11x ，32827x ，489x ，因此 nx的序数列为2,3,1,4,5，2021 8 分 又因nx、ny互为“保序数列” ，故231452021yyyyyyL， 只需满足5222t，解得：45t 10 分 (3) 解： 当1q 或0q 时，数列na中有
22、相等的项，不满足题意. 11 分 当1q 时，数列na单调递增，故nS也应单调递增，从而110nnnnSSaqp对*nN且nk恒成立.又数列nqp单调递增，故0pq. 13 分 当01q时， 数列na单调递减， 故nS也应单调递减， 从而110nnnnSSaqp对*nN且nk恒成立.又数列nqp单调递减，故0pq. 15 分 当10q 时，数列21na单调递减，且21nap；2na单调递增，且2nap， 于 是212212122120nnnnnnSSaaqqp对*nN且12nk 恒 成 立 ， 即212()(1)npqq ，从而20p . 另 一 方 面 ，221222212220nnnnnnSSaaqqp对*nN且22nk 恒 成 立 ， 即22(1)npqq ，从而20p . 综上，20p ，即0p . 此时2121211111111nnnqqSqqqq，2221111111nnnqqSqqqq，满足题意.18 分 综上，当1q 时，p、q满足的条件是0pq； 当01q时，p、q满足的条件是0pq； 当10q 时，p、q满足的条件是0p .