1、1 三角函数的应用三角函数的应用 课时分层作业课时分层作业 (建议用时：60 分钟) 合格基础练 一、选择题 1如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式为 s6sin2t6，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( ) A2 s B s C0.5 s D1 s D 依题意是求函数 s6sin2t6的周期，T221，故选 D. 2函数 f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( ) Af(x)xsin x Bf(x)cos xx Cf(x)xcos x Df(x)xx2 x32 C 观察图象知函数为奇函数， 排除 D 项； 又函数在 x0
2、 处有意义， 排除 B 项； 取 x2，f20，A 项不合适，故选 C. 3下表是某市近 30 年来月平均气温()的数据统计表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均温度 5.9 3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 2.4 则适合这组数据的函数模型是( ) 2 Ayacosx6 Byacosx16k(a0，k0) Cyacosx16k(a0，k0) Dyacosx63 C 当 x1 时图象处于最低点，且易知 a5.922.820.故选 C. 4如图，为一半径为 3 m 的水轮，水轮圆心 O 距离水面 2 m，已
3、知水轮自点 A 开始 1 min旋转 4 圈，水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系 yAsin(x)2，则有( ) A215，A3 B152，A3 C215，A5 D152，A5 A 由题目可知最大值为 5，5A12A3. T15，则 215.故选 A. 5如图是函数 ysin x(0 x)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交其图象于另一点 B(A，B 可重合)设线段 AB 的长为 f(x)，则函数 f(x)的图象是( ) A 当 x0，2时，f(x)2x；当 x2， 时，f(x)2x，故选 A. 二、填空题 6某城市一年中 12
4、个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 ya3 Acos6x6 (x1,2,3，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 ，12 月份的月平均气温最低，为 18 ，则 10 月份的平均气温值为_. 20 5 由题意可知 A281825， a2818223.从而 y5cos6x6 23.故 10 月份的平均气温值为 y5cos64 2320.5. 7如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是_ y2sin52t4 由题图可设 yAsin(t)，则 A2， 又 T2(0.50.1)0.8， 所以 20.852， 所以 y
5、2sin52t ， 将点(0.1,2)代入 y2sin52t 中， 得 sin41， 所以 42k2，kZ， 即 2k4，kZ， 令 k0，得 4， 所以 y2sin52t4. 8一种波的波形为函数 ysin2x 的图象，若其在区间0，t上至少有 2 个波峰(图象的最高点)，则正整数 t 的最小值是_ 7 函数 ysin2x 的周期 T4.且 x3 时 y1 取得最大值，因此 t7.所以正整数 t 的最小值是 7. 三、解答题 4 9已知某地一天从 4 时到 16 时的温度变化曲线近似满足函数 y10sin8x5420，x4,16 (1)求该地区这一段时间内温度的最大温差； (2)若有一种细菌
6、在 15 到 25 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 解 (1)由函数易知，当 x14 时函数取最大值，即最高温度为 30 ；当 x6 时函数取最小值，即最低温度为 10 .所以，最大温差为 30 10 20 . (2)令 10sin8x542015， 可得 sin8x5412. 而 x4,16，所以 x263. 令 10sin8x542025， 可得 sin8x5412，而 x4,16， 所以 x343.故该细菌的存活时间为34326383小时 10如图所示，摩天轮的半径为 40 m，O 点距地面的高度为 50 m，摩天轮作匀速转动，每 2 min 转一圈，摩天轮上点
7、P 的起始位置在最高点 (1)试确定在时刻 t min 时 P 点距离地面的高度； (2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间 P 点距离地面超过 70 m. 解 建立如图所示的平面直角坐标系 (1)设 (02)是以 Ox 为始边，OP0为终边的角，OP 在 t min 内转过的角为22t，即 t以 Ox 为始边，OP 为终边的角为(t)，即 P 点纵坐标为40sin(t)， P点距地面的高度为z5040sin(t)， (02)， 5 由题可知，2，z5040sint25040cost. (2)当 5040cost70 时，解之得，2k13t2k13，持续时间为23min. 即在摩天轮转动一圈内，有
8、23minP 点距离地面超过 70 m. 等级过关练 1车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数 F(t)504sint2(0t20)给出，F(t)的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( ) A0,5 B5,10 C10,15 D15,20 C 当 10t15 时，有325t215252，此时 F(t)504sint2是增函数，即车流量在增加故应选 C. 2 如图， 设点 A 是单位圆上的一定点， 动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l，弦 AP 的长为 d，则
9、函数 df(l)的图象大致是( ) A B C D C 令 AP 所对圆心角为 ，由|OA|1，得 l，sin2d2，d2sin22sinl2， 即 df(l)2sinl2(0l2)，它的图象为 C. 3国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：PAsint460(美元)(t(天)，A0，0)，现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当 t150(天)时达到最低油价，则 的最小值为_ 6 1120 因为 Asint46080， sint41， 所以 A20，当 t150(天)时达到最低油价， 即 sin15041， 此时 15042k2，kZ， 因为 0，所以当 k1 时， 取最小值， 所以 15
10、0432，解得 1120. 4已知角 的终边经过点 P(1，1)，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数 f(x)sin(x)(0)图象上的任意两点，若|f(x1)f(x2)|2 时，|x1x2|的最小值为3，则 f2_. 22 由条件|f(x1)f(x2)|2 时，|x1x2|的最小值为3，结合图象(略)可知函数 f(x)的最小正周期为 23， 则由 T223，得 3.又因为角 的终边经过点 P(1，1)，所以不妨取 4，则 f(x)sin3x4，于是 f2sin5422. 5心脏跳动时，血压在增加或减少血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数
11、 120/80 mmHg 为标准值设某人的血压满足函数式 p(t)11525sin 160t，其中 p(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数 p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数 p(t)的草图； (4)求出此人的血压在血压计上的读数 解 (1)由于 160，代入周期公式 T2|，可得 T2160180(min)，所以函数 p(t)的周期为180 min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f1T80(次) 7 (3)列表： t 0 1320 1160 3320 180 p(t) 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右扩展得到函数 p(t)的简图如图所示： (4)由图可知此人的收缩压为 140 mmHg，舒张压为 90 mmHg.