1、1 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 课时分层作业课时分层作业 (建议用时：60 分钟) 合格基础练 一、选择题 1下面关于二分法的叙述中，正确的是( ) A用二分法可求所有函数零点的近似值 B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D只能用二分法求函数的零点 B 用二分法求函数零点的近似值， 需要有端点函数值符号相反的区间， 故选项 A 错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项 C 错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故 D 错误，故选 B. 2函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求
2、方程 f(x)0 在(1,2)内近似解的过程可得 f(1)0，f(1.25)0，则方程的解所在区间为( ) A(1.25,1.5) B(1,1.25) C(1.5,2) D不能确定 A 由于 f(1.25) f(1.5)0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5) 3若函数 f(x)x3x22x2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1)2 f(1.5)0.625 f(1.25)0.984 f(1.375)0.260 f(1.437 5)0.162 f(1.406 25)0.054 那么方程 x3x22x20 的一个近似根(精确度为 0.05)可以是( ) A1.25
3、 B1.375 C1.42 D1.5 C 由表格可得，函数 f(x)x3x22x2 的零点在(1.406 25,1.437 5)之间结合选项可知，方程 x3x22x20 的一个近似根(精确度为 0.05)可以是 1.42.故选 C. 4用二分法求函数 f(x)2x3x7 在区间0,4上的零点近似值，取区间中点 2，则下一2 个存在零点的区间为( ) A(0,1) B(0,2) C(2,3) D(2,4) B 因为 f(0)200760， f(2)22670，所以 f(0) f(2)0，所以零点在区间(0,2)内 5在用“二分法”求函数 f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是2,4，则第三次所
4、取的区间可能是( ) A1,4 B2,1 C.2，52 D.12，1 D 第一次所取的区间是2,4，第二次所取的区间可能为2,1，1,4，第三次所取的区间可能为2，12，12，1 ，1，52，52，4 . 二、填空题 6已知函数 f(x)x32x2，f(1) f(2)0，用二分法逐次计算时，若 x0是1,2的中点，则f(x0)_. 1.625 由题意，x01.5，f(x0)f(1.5)1.625. 7 在用二分法求方程 f(x)0 在0,1上的近似解时， 经计算， f(0.625)0， f(0.687 5)0，即得出方程的一个近似解为_(精确度为 0.1) 0687 5(答案不唯一) f(0.
5、625)0，f(0.687 5)0， 方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.750.687 5|0.1， 方程的一个近似解为 0.687 5. 8如图，一块电路板的线路 AB 之间有 64 个串联的焊接点(不含端点 A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测_次 6 第 1 次取中点把焊点数减半为64232，第 2 次取中点把焊点数减半为32216，第 3 次取中点把焊点数减半为1628，第 4 次取中点把焊点数减半为824，第 5 次取中点把焊点数减半为422，第 6 次取中点把焊点数减半为221，所以至多需要检测的次数是 6. 3
6、 三、解答题 9已知方程 2x2x5. (1)判断该方程解的个数以及所在区间； (2)用二分法求出方程的近似解(精确度 0.1) 参考数值： x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5 2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83 解 (1)令 f(x)2x2x5. 因为函数 f(x)2x2x5 在 R 上是增函数， 所以函数 f(x)2x2x5 至多有一个零点 因为 f(1)2121510， 所以函数 f(x)2x2x5 的零点在(1,2)内 (2)用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点的值 中点函数值符号 (1,2) 1.5
7、 f(1.5)0 (1,1.5) 1.25 f(1.25)0 (1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)0 (1.25,1.312 5) 因为|1.3751.25|0.1250.1，且|1.312 51.25|0.062 50.1， 所以函数的零点近似值为 1.312 5， 即方程 2x2x5 的近似解可取为 1.312 5. 10用二分法求方程 x250 的一个近似正解(精确度为 0.1) 解 令 f(x)x25，因为 f(2.2)0.160，所以 f(2.2) f(2.4)0， 即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点 x0， 取区间(2.2,2.4)的中点 x12.
8、3，f(2.3)0.29，因为 f(2.2) f(2.3)0，所以 x0(2.2,2.3)， 再取区间(2.2,2.3)的中点 x22.25，f(2.25)0.062 5，因为 f(2.2) f(2.25)0， 所以 x0(2.2,2.25)，由于|2.252.2|0.050 时， f(x)0；当 x0，所以 f(x)|x|的函数值非负，即函数 f(x)|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值 2在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精确到 0.1 的正实数零点的近似值为( ) A0.6
9、8 B0.72 C0.7 D0.6 C 已知f(0.64)0， f(0.72)0， 则函数f(x)的零点的初始区间为0.64,0.72， 又0.6812(0.640.72)，且 f(0.68)0，所以零点在区间0.68,0.72，且该区间的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 0.7，因此，0.7 就是所求函数的一个正实数零点的近似值 3用二分法求函数 f(x)3xx4 的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)0.200 f(1.587 5)0.133 f(1.575 0)0.067 f(1.562 5)0.003 f(1.556 2)0.029 f(1.550 0)0.060
10、 据此数据，可得方程 3xx40 的一个近似解(精确度为 0.01)可取_ 1562 5 f(1.562 5)0.0030，f(1.556 2)0.0290，方程 3xx40 的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为 0.01，所以所求近似解可取为 1.562 5. 4某同学在借助计算器求“方程 lg x2x 的近似解(精确度为 0.1)”时，设 f(x)lg xx2，算得 f(1)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了 4 个 x 的值，计算了其函数值的正负， 并得出判断： 方程的近似解是 x1.8， 那么他再取的 x 的 4 个值依次是_ 15,1.75,1.87
11、5,1.812 5 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5) 5已知函数 f(x)3ax22bxc，abc0，f(0)0，f(1)0，证明 a0，并利用二分法证明方程 f(x)0 在区间0,1内有两个实根 证明 f(1)0，3a2bc0， 即 3(abc)b2c0. abc0，b2c0，则bcc，即 ac. 5 f(0)0，c0，则 a0. 在区间0,1内选取二等分点12， 则 f1234abc34a(a)14a0，f(1)0， 函数 f(x)在区间0，12和12，1 上各有一个零点 又 f(x)最多有两个零点，从而 f(x)0 在0,1内有两个实根