1、高一期末复习专题之“三个二次”综合考点、题型、知识与技巧点拨总结:1、 一元二次型，涉及到开口，判别式，韦达定理的综合勇总。如第1题第2题。2、 使用韦达定理时在判别式前提下，否则就容易扩大参数的范围。如第3题。3、 在根与系数关系中，是常见的一个恒等式。如第10题。4、 一元二次型常常出现在考试大题中，并且综合大题较多。典型例题：1已知关于x的不等式，下列结论正确的是（ ）A当时，不等式的解集为B当时，不等式的解集可以为的形式C不等式的解集恰好为，那么D不等式的解集恰好为，那么【答案】A【分析】A.由x23x4b得3x212x164b0，根据b1，利用判别式判断；B.在同一平面直角坐标系中作
2、出函数yx23x4(x2)21的图象及直线ya和yb判断；CD根据ax23x4b的解集为x|axb，则aymin，xa，xb时函数值都是b然后分别由b23b4b，a23a4b求解判断【详解】对于A，由得，又b1，所以所以不等式ax23x4b的解集为，故A正确；对于B，在同一平面直角坐标系中作出函数yx23x4(x2)21的图象及直线ya和yb，如图所示由图知，当a2时，不等式的解集为的形式，故B错误；对于CD，由的解集为，知aymin，即a1，因此当xa，xb时函数值都是b由当xb时函数值是b，得b23b4b，解得b或b4当b时，由a23a4b，解得a或a，不满足a1，不符合题意，故CD错误故
3、选：A.【点睛】本题主要考查一元二次不等式与二次函数，二次方程的关系及应用，属于中档题.2设，二次函数的图象可能是A B C D【答案】D【详解】因为,二次函数，那么可知，在A中，a0,b0,c0，不合题意；B中，a0,c0，不合题意； C中，a0,c0,不合题意，故选D.3已知关于x的一元二次方程的解集为，且实数，满足，则实数m的取值范围是( )ABCD【答案】C【分析】根据已知条件，利用判别式大于零和韦达定理求解分式型不等式即可.【详解】由题意可知，为一元二次方程的两个不同的根，故，解得或，由韦达定理可知，从而解分式不等式可得，或，又因为或，所以实数m的取值范围为.故选：C.4若不等式的解
4、集为，则不等式的解集为（ ）A或BCD或【答案】D【分析】由题知，进而将所解不等式转化为，再求解即可得答案.【详解】解：因为不等式的解集为，所以是方程且，所以，即，所以等价于，由于，所以等价于，解得或.所以的解集为或.故选：D5关于的不等式的解集为或，则关于的不等式，以下结论正确的是（ ）A当时，解集为B当时，解集为C当时，解集为或D以上都不正确【答案】C【分析】由题意，为方程的两个根，可得，再代入不等式可得，分，三种情况讨论，即可判断【详解】由题意，为方程的两个根。代入方程解得：，。于是关于的不等式，即为令，对应的二次函数开口向上当时，解集为或当时，解集为当时，解集为或故选：C6设函数，若关
5、于的不等式的解集为，则_【答案】9【分析】根据不等式的解集可得2,3,6应为不等式对应方程的根，故分析两个不等式对应方程的根，即可求解.【详解】由满足不等式知，即，所以，所以，所以的两根为，而可化为，即，所以方程的两根为6，且，不等式的解集为，可知，解得，所以，所以，故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式与方程的关系，不等式解集的端点为对应方程的根，本题在理解分别是与的根，而方程含有公共根6，所以必然2,3两根分别是，即可求解,本题属于难题.7已知函数，若在上恒成立，则的取值范围_.【答案】【分析】由题意得，在上恒成立，再利用基本不等式可得在上恒成立；从而得出的取值范围【详解】解：
6、，可化为，由于在上恒成立，即在上恒成立，又，（当且仅当，即时，等号成立）；在上恒成立，解得：或，则的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查函数的恒成立问题求参数范围，以及利用基本不等式求最值，属于中档题8设函数，对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【分析】把不等式恒成立，转化为在恒成立，利用基本不等式求得的最小值，进而得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数，因为对于，不等式恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又由，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，即，解得或，即实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，一元二次不等式的解法，以
7、及基本不等式求最值的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.9已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合.如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】设函数，讨论，三种情况，分别计算得到答案.【详解】函数的定义域满足：.设函数，.当时，对应的，解得.当时，或，验证时，满足；当时，不成立；故.当时，需满足分式上下方程同解，故，.解得.综上所述：或.故答案为：.【点睛】本题考查了根据函数的函数值求参数，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.10命题A:、是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题B：不等式（）有解.若A且B为真，求：m
8、的取值范围.【答案】【分析】由韦达定理求出，然后求得，进而求出的取值范围，由已知条件可得，进而求出命题A:对应的m的取值范围。构造函数（），讨论去掉绝对值号求出函数的最大值2m，由不等式（）有解得2m1,进而求出命题B对应的m的取值范围。由A且B为真，可知A、B都为真命题，即可求得结果。【详解】因为、是方程的两个实根，所以，所以， ，因为，所以，因为不等式对任意实数恒成立，所以，所以或，即或，解得或或。所以，命题A: 或或。 令（），则，结合该函数的性质可知，该函数的最大值为2m，由不等式（）有解，可得2m1,解得 。所以命题B： 。 因为A且B为真，所以 ，所以 或 。 所以，m的取值范围为
9、。【点睛】本题考查不等式的恒成立和有解问题，解决此类问题，都是转化为求函数的最值问题。如不等式 恒成立，则；不等式 有解，则。11已知，函数. （1）讨论的单调性；（2）设，若的最大值为，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）当时,;当时,.【分析】（1）根据函数解析式,先讨论当与两种情况.当时易判断单调递减,当时,讨论对称轴与区间的关系,即可判断单调性.（2）根据（1）中所得在不同范围内的单调情况分类讨论. 当,在递减结合二次函数与绝对值函数的性质,并由的最大值即可求得的值,进而得的取值范围;当时,在递增,在递减,同理解绝对值不等式可求得的取值范围,进而得的取值范围.【详解】（1）当时,在
10、单调递减当时,即时,在单调递减当时,即时,在递增,在递减当时,不成立,所以无解.综上所述,当时,在单调递减；当时,在递增,在递减（2）当时,在递减,. 得. 当时,在递增,在递减,又,同时,。又,又,且可得在递增,所以. 综上所述, 当时,;当时,.【点睛】本题考查了分类讨论二次函数的单调性问题,不等式与二次函数的综合应用,由最值确定参数的取值范围,对理解能力要求较高,属于难题.12已知函数（1）当时，解关于的不等式（2）对于给定的正数,有一个最大的正数,使得在整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式（3）函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1
11、）解两个一元二次不等式，然后求交集；（2）在上递减，在上递增，因此由和分类讨论（3）由，因此可分和分类讨论，结合二次函数性质可得【详解】（1）不等式为，即，或，原不等式解集为；（2），即，易知在上递减，在上递增，当，即时，且，解得，当时，因此，且，解得，（3）由于，由题意或，这时，若，则，；若，即，综上或【点睛】本题考查二次函数的单调性与最值，解题时必须进行分类讨论，难度较大13我们知道，一元二次方程的根与一元二次不等式的解集有着密切的关系已知，且关于的一元二次方程的两根为，请你研究下列问题：（1）讨论关于的一元二次不等式的解集；（2）讨论关于的不等式的解集；（3）若，讨论关于的函数的最小值【
12、答案】（1）a0时，解集为：，a0和x0，则不等式的解集为：，若a0，b0，c0时， ，则不等式解集为：x|或x0，b0，c0时，则不等式的解集为：x|或；a0，c0或；a0，b0时， ，则不等式的解集为：x|或.（3）由可知，a0，若a0， c0， 则，易有，所以，当且仅当时取“=”，即函数最小值为：；若a0， c0，b0，c0且x趋近于0时，函数值趋近于负无穷小，此时函数没有最小值.14设函数.（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；（3）解关于的不等式：.【答案】(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析.【分析】(1)将给定的不
13、等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；(2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；(3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则，当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，所以实数的取值范围是；(2)不等式对于实数时恒成立，即，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；(3) 不等式，当时，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，当，即时，或，当，即时，或
14、，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.15已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集；（2）先令，由，则可得，再将有四个不同的实根，转化为有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出的取值范围【详解】（1）由题意，即，解方程得，.当时，即当时，解不等式，得或，此时的解集为；当时，即时，解不等式，得，此时的解集为；当时，即当时，解不等式，得或，此时的解集为；综上，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；（2）当时，令，当且仅当时，等号成立；则关于的方程可化为，关于的方程有四个不等实根，即有两个不同正根，则，由式可得，由知：存在使不等式成立，故，即，解得或.故实数的取值范围是【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解