1、2.12.1 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 （第（第 1 1 课时）课时） 本节内容是普通高中课程标准实验教科书 （人民教育出版社 A 版教材）高中数学必修 5 第三章第一节不等关系与不等式第 2 课时的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用； 现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。不等式的性质是解决不等式问题的基本依据， 凡是不等式的变形、 运算都要严格按照不等式的性质进行。因此，不等式的性质是学习本章后续内容和选修 4-5 不等式选讲的重要保障； 本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体
2、会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。 在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点 课程目标 学科素养 A.通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤； B.能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力； C. 培养学生观察、类比、辨析、运用的 综合思维能力，体会化归与转化、类比 等数学思想，提高学生数学运算和逻辑 推理能力； 1.数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关
3、系； 2.逻辑推理：作差法的原理； 3.数学运算：用作差法比较大小； 4.直观想象：在几何图形中发现不等式； 5.数学建模： 能够在实际问题中构建不等关系，解决问题； 1.教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小； 2.教学难点： 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小； 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、情景引入，温故知新 （一） 、（一） 、情境情境导学导学 1.购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过 1.1 m(含 1.1 m)而不超过 1.5 m 的儿童， 享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超 1.5 m 时应买全价票每
4、一成人旅客可免费携带一名身高不足 1.1 米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？ 2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为 18，白天最高温度为30。 师：明天白天广州的温度 t满足怎样的不等关系？ 生：t 大于或等于 18 小于或等于 30 老师引出课题板书：不等关系与不等式不等关系与不等式 师：常见的不等号有？ 生：大于（） ，小于（） ，大于或等于（） ，小于或等于（） ，不等于（） 。 老师总结板书：不等式的定义：不等式的定义：用不等号用不等号(,)表示表示不等关系的不等关系的式子式子叫做不等式叫做不等式。 1.师：你能用数学表
5、达式表示情景中的不等关系吗？ 2.师：两个指示标志分别表示什么意思？ 生：速度大于或等于 80，高度小于或等于 4.5 3.师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。 师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？ 生： 师：不等关系用什么表示？ 生：不等式 （二二） 、探索新知、探索新知 探究一探究一 用不等式表示不等关系用不等式表示不等关系 例 1.某钢铁厂要把长度为 4 000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的3 倍试写出满足上述所有不等关系的不等式 教师引导学生共同：分析 应先设出相应
6、变量，找出其中的不等关系，即两种钢管的总长度不能超过 4 000 mm；截得 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管数量的 3 倍；两种钢管的数量都不能 通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养； 由典型问题的分析解决，体会建立不等式（组）的一般方法和难点所在；培养和提升学生运用数学眼光分析表达问题的能力，发展数学抽象和数学建模的核心素养 为负于是可列不等式组表示上述不等关系 解析 设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的钢管 y 根， 依题意，可得不等式组：500 x600y4 0003xyx
7、0y0，即5x6y403xyx0y0. 归纳总结;用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： 审题通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量找出体现不等关系的关键词： “至少” “至多” “不少于” “不多于” “超过” “不超过”等列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示 跟踪训练： 1.某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售， 可以售出 8 万本 根据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2 000 本，若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元？ 2某工厂在招标会上，购得甲材料 x t，
8、乙材料 y t，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120 t，则 x、y 应满足的不等关系是( ) Axy120 BxyN BMN CM0，MN，故选 A 2.比较 x2y21 与 2(xy1)的大小； 3.设 aR 且 a0，比较 a 与1a的大小 解析 2. x2y212(xy1)x22x1y22y2 (x1)2(y1)210， x2y212(xy1) 3.由 a1aa1a1a 当 a 1 时，a1a； 当1a0 或 a1 时，a1a；当 a1 或 0a1 时，a1a. 通过练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度。 三、达标检测 1.完成一项装修
9、工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人 食 物 甲 乙 维生素 A/(单位/kg) 600 700 维生素 B/(单位/kg) 800 400 400 元,现有工人工资预算 20 000 元,设木工 x(x0)人,瓦工 y(y0)人,则关于工资 x,y 满足的不等关系是( ) A.5x+4yB B.A0, 所以 AB,故选 A. 【答案】 A 3.已知甲、乙两种食物的维生素 A,B 含量如下表: 设用 x kg 的甲种食物与 y kg 的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有 56 000 单位的维生素 A 和 63 000 单位的维生素 B.试用不等式组表示 x,y 所满
10、足的不等关系. 【解析】由题意知 x kg 的甲种食物中含有维生素 A 600 x 单位,含有维生素 B 800 x 单位,y kg 的乙种食物中含有维生素 A 700y 单位,含有维生素 B 400y 单位,则 x kg 的甲种食物与 y kg 的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素 A(600 x+700y)单位,含有维生素 B (800 x+400y)单位, 则有600 + 700 56 000,800 + 400 63 000, 0, 0,即6 + 7 560,4 + 2 315, 0, 0. 4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式
11、(组)表示 x 应满足的不等关系. 【解析】各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2 0,(5-) + (12-) 13-,(5-)2+ (12-)20, 所以 2x2+3x+2. (2)(a+2)-31-=(+2)(1-)-31-=-2-11-=2+1-1. 由于 a2+a+1=( +12)2+34340, 所以当 a1 时,2+1-10,即 a+231-; 当 a1 时,2+1-10,即 a+
12、21 时,a+231-; 当 a1 时,a+2,b，那么 ab 是 ； 如果 ab_ abbb,a-b0. 由正数的相反数是负数,得-(a-b)0. 即 b-a0,ba. 同理可证,如果 bb. 跟踪训练.1.与 m(n-2)2等价的是( ). A.m(n-2)2 B.(n-2)2m C.(n-2)2m D.(n-2)2b,bcac 变形 ab,bcac; ab,bcaba+cb+c 变形 aba+c0,a+cb+c. (4)乘法法则 文 字语言 不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变; 都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变. 符 号语言 ab,c0acbc ab,c0ac0acb
13、c；ab,c0acbc a0acbc；ab,cbc ab,c0acbc；ab,cb,a-b0.根据同号相乘得正,异号相乘得负, 得当 c0 时,(a-b)c0,即 acbc;当 c0 时,(a-b)c0,即 acbc ab. 2.acbcab,c0 或 ab,cb,cda+cb+d 变形 ab,cda+c + + + + a+cb+d. 归纳总结：归纳总结： 1 .此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向. 2.两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时分别相减. 3.该性质不能逆推,如 a+cb+d ab,
14、cd. (6)乘法单调性 文字语言 两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的 不等式与原不等式同向. 符号语言 ab0,cd0acbd 作用 两个不等式相乘的变形 证明:ab0,c0,acbc. cd0,b0,bcbd.acbd. 归纳总结：归纳总结：1. 这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向. 2.ab0,cd0acbd; ab0,cdbd. 3.该性质不能逆推,如 acbd ab,cd. 证明不等式的基本方法；培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养 及时归纳总结，引导学生准确理
15、解和运用不等式的性质，培养思维的严谨性； (7)正值不等式可乘方 文字语言 当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时 乘方所得的不等式与原不等式同向. 符号语言 ab0anbn(nN,且 n1) 作用 不等式两边的乘方变形 性质(7)可看作性质(6)的推广: 当 n 是正奇数时,由 ab 可得 anbn. 跟踪训练：1. 给出下列结论： 若 acbc，则 ab；若 ab，则 ac2bc2； 若1a1bb；若 ab，cd，则 acbd； 若 ab，cd，则 acbd. 其中正确结论的序号是_. 解析 当 c0 时，由 acbcab，当 cbcab，故错当 c0 时，由 abac2bc2，当 c0
16、 时，由 ab / ac2bc2，故错1a1b0，a0，b0，1a ab1b ab，即 bb，故正确 cd，cb，两不等式不等号的方向不同，不能相加，acbd 错误 ab0cd0acbd， 0ab0cdacb00cd / acbd， 0abcd0 / acbd. 反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法: (1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质. (2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件; 二是取值要简单,便于验证计算. 典例解析：用不等式的性质证明不等式 例 1 已知 ab0，cd0，eebd. 解析 cdd0， 又a
17、b0，a(c)b(d)0， 即 acbd0，01ac1bd， 又eebd. 跟踪训练：1若 bcad0，bd0，求证：abbcdd. 解析：bcad0，adbc， adbdbcbd， 通过练习巩固不等式的性质，发展学生逻辑推理，提高思维的灵活性和速度。 通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生明确问题模型，bd0，1bd0，adbdbdbcbdbd， abbcdd. 归纳总结归纳总结：利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上， 记准、 记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用 (2)应用不等式的性质进行推导时，应注
18、意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 典例解析：利用不等式的性质求取值范围 例 2 已知22，求2，2的范围 解析 22，424，424.两式相加， 得222.424， 424，222. 又，20.220. 规规律总结律总结：求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小 跟踪训练 1.已知 1a2,3b4，求下列各式的取值范围： (1)2ab；(2)ab；(3)ab. 解析 (1)1a2，22a4，3b4，52ab8； (2)3b4，4b3，又1a2， 3ab1； (3)3b4，141b13，又 1a2，14ab23. 发
19、展数学建模核心素养。 三、达标检测 1已知 ab0，cd0，那么下列判断中正确的是( ) Aacbd C.adbc 解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B 正确 答案：B 2若 a、b、cR，且 ab，则下列不等式中一定成立的是( ) Aabbc Bacbc C.c2ab0 D(ab)c20 解析：ab，ab0.选项 A 中，当 c0 时，(ab)(bc)ac，由于 aR，则选项 A 不成立；选项 B 中，acbcc(ab)，由于 cR， 则选项 B 不成立； 选项 C 中， 由于 cR， 则 c20， c2ab0，则选项 C 不成立；选项 D 中，ab0，c20，(ab)c20，则选项 D
20、 成立 答案：D 3设 2a3，-2b-1，则 2a-b 的范围是_ 解析：42a6，-2b-1， 1-b2，由同向不等式相加得到 52a -b8 答案：52a -bb0，cd0.求证：3ad3bc. 解析 cdd0.01cb0，adbc0. 3ad3bc，即3ad3bc. 两边同乘以1，得3adb_ 2 传递性 ab，bc_ 3 可加性 abac bc 可逆 4 可乘性 abc0ac bc c 的 符号 abcbcdac bd 同向 6 同向同正 可乘性 ab0cd0ac bd 同向 同正 7 可乘方性 ab0anbn (nN*，n2) 生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 8 可开方性 ab0nanb (nN*，n2) 五、作业 1. 习题 2.1 5,6,7,9,10 题 2. 预习下节课内容