1、1.11.1 集合的概念集合的概念 教学设计教学设计 由于空间时间维度的不同，同一个事物会有不同的解释，如：在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面。因此明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。为了简洁、准确地表达数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具。作为高中数学的第一节，本节主要通过实例研究研究集合的含义，表示方法及表示方法，比较简单。 课程目标课程目标 1. 了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号 2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题 3
2、. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法； 2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用； 3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算； 4.数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件； 5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 重点：重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法 难点：难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合 教学方法：教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具
3、：教学工具：多媒体。 一、一、 预习课本，引入新课预习课本，引入新课 阅读阅读课本 2-5 页，思考并完成以下问题 1.集合和元素的含义是什么？各用什么字母表示？ 2.集合有什么特性？ 3.元素和集合之间有哪两种关系？有什么符号表示？ 4.常见的数集有哪些？用什么字母表示？ 5.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？ 6.它们各自有什么特点？ 7.它们使用什么符号表示？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 二、知识归纳、梳理二、知识归纳、梳理 1元素与集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素元素常用小写的拉丁字母 a，b，c，表示 (2)集合：把一些
4、元素组成的 总体 叫做集合(简称为集)集合通常用大写的拉丁字母 A，B，C，表示 (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的 (4)元素的特性：确定性 、 无序性 、 互异性 2元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a 是集合 A 中的元素 aA a 属于集合 A 不属于 a 不是集合 A 中的元素 aA a 不属于集合 A 3常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 记法 N Z Q R 4列举法 把集合的元素 一一列举出来出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法 5描述法 (1)定义：用集合所含
5、元素的共同特征表示集合的方法 (2)具体方法： 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 （变化） 范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征 三、典例分析、举一反三三、典例分析、举一反三 题型一题型一 集合的含义集合的含义 例例 1 考查下列每组对象，能构成一个集合的是( ) 某校高一年级成绩优秀的学生； 直角坐标系中横、纵坐标相等的点； 不小于 3 的自然数； 2018 年第 23 届冬季奥运会金牌获得者 A B C D 【答案】B 解题技巧：（判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，
6、就可以组成集合；否则，不能组成集合同时还要注意集合中元素的互异性、无序性 跟踪训练一跟踪训练一 1给出下列说法： 中国的所有直辖市可以构成一个集合； 高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； 正偶数的全体可以构成一个集合； 大于 2 013 且小于 2 018 的所有整数不能构成集合 其中正确的有_(填序号) 【答案】 题型二题型二 元素与集合的关系元素与集合的关系 例例 2 (1)下列关系中，正确的有 ( ) 12R； 2Q；|3|N；| 3|Q. A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (2)集合 A 中的元素 x 满足63xN，xN，则集合 A 中的元素为_ 【答案】 (1) C (2)
7、 0,1,2 解题技巧：判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 跟踪训练二跟踪训练二 2已知集合 A 中有四个元素 0,1,2,3，集合 B 中有三个元素 0,1,2，且元素 aA，aB，则 a 的值为 ( ) A0 B1 C2 D3 【答案】D 【解析】aA，aB，由元素与集合之间的关系知，a3. 3用适当的符号填空： 已知 Ax|x3k2，kZ，Bx|x6m1，mZ，则有：17_A
8、；5_A. 【答案】 【解析】令 3k217 得，k5Z.所以 17A. 令 3k25 得，k73Z.所以5A. 题型三题型三 集合中元素的特性及应用集合中元素的特性及应用 例例 3 已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1A，则实数 a 的值为_ 【答案】-1 【解析】 若 1A，则 a1 或 a21，即 a 1. 当 a1 时，集合 A 有重复元素，不符合元素的互异性，a1； 当 a1 时，集合 A 含有两个元素 1，1，符合元素的互异性a1. 变式变式 1变条件本例若将条件“1A”改为“2A”，其他条件不变，求实数 a 的值 【答案】a2，或 a 2，或 a 2 【解析】若 2A
9、，则 a2 或 a22，即 a2，或 a 2，或 a 2. 变式变式 2变条件本例若去掉条件“1A”，其他条件不变，则实数 a 的取值范围是什么？ 【答案】a0 且 a1 【解析】若 A 中有两个元素 a 和 a2，则由 aa2解得 a0 且 a1. 变式变式 3变条件已知集合 A 含有两个元素 1 和 a2，若“aA”，求实数 a 的值 【答案】a=0 【解析】由 aA 可知， 当 a1 时，此时 a21，与集合元素的互异性矛盾，所以 a1. 当 aa2时，a0 或 1(舍去)综上可知，a0. 解题技巧：（根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的 3 个步骤） 题型四题型四 用列举法表示集
10、合用列举法表示集合 例例 4 用列举法表示下列集合 (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合； (2)方程 x3x 的所有实数解组成的集合； (3)直线 y2x1 与 y 轴的交点所组成的集合 【答案】见解析 【解析】 (1)因为不大于 10 是指小于或等于 10，非负是大于或等于 0 的意思，所以不大于 10 的非负偶数集是0,2,4,6,8,10 (2)方程 x3x 的解是 x0 或 x1 或 x1，所以方程的解组成的集合为0,1，1 (3)将 x0 代入 y2x1，得 y1，即交点是(0,1)， 故两直线的交点组成的集合是(0,1) 解题技巧（用列举法表示集合的三个步骤） 1.求出集合的
11、元素； 2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3.用花括号括起来。 跟踪训练四跟踪训练四 4若集合 A(1,2)，(3,4)，则集合 A 中元素的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】集合 A(1,2)，(3,4)中有两个元素(1,2)和(3,4) 5用列举法表示下列给定的集合： (1)大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A. (2) 方程 x290 的实数根组成的集合 B 方. (3)一次函数 yx3 与 y2x6 的图象的交点组成的集合 D. 【答案】见解析 【解析】(1)因为大于 1 且小于 6 的整数包括 2,3,4,5，所以 A2,3,4,5 (
12、2)方程 x290 的实数根为3,3，所以 B3,3 (3)由 yx3，y2x6得 x1，y4， 所以一次函数 yx3 与 y2x6 的交点为(1,4)，所以 D(1,4) 题型五题型五 用描述法表示集合用描述法表示集合 例例 5 用描述法表示下列集合： (1)被 3 除余 1 的正整数的集合； (2)坐标平面内第一象限的点的集合； (3)大于 4 的所有偶数 【答案】见解析 【解析】(1)根据被除数商 除数余数，可知此集合表示为x|x3n1，nN (2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为(x，y)|x0，y0 (3)偶数可表示为 2n，nZ，又因为大于 4，故 n3，从而用
13、描述法表示此集合为x|x2n，nZ 且n3 解题技巧（描述法表示集合的 2 个步骤） 跟踪训练五跟踪训练五 6用符号“”或“”填空： (1)Ax|x2x0，则 1_A，1_A； (2)(1,2)_(x，y)|yx1 【答案】(1) (2) 【解析】(1)易知 A0,1，故 1A，1A； (2)将 x1，y2 代入 yx1，等式成立 7用适当的方法表示下列集合： (1)已知集合 Px|x2n,0n2 且 nN； (2)抛物线 yx22x 与 x 轴的公共点的集合； (3)直线 yx 上去掉原点的点的集合 【答案】见解析 【解析】(1)列举法：P0,2,4 (2)描述法： x，y yx22xy0.
14、 或列举法：(0,0)，(2,0) (3)描述法：(x，y)|yx，x0 题型六题型六 集合表示法的综合应用集合表示法的综合应用 例例6 (1) 若 集 合A x R|ax2 2x 1 0 ， a R 中 只 有 一 个 元 素 ， 则a ( ) A1 B2 C0 D0 或 1 (2)设12x x2ax520，则集合x x2192xa0中所有元素之积为_ 【答案】 (1) D (2) 92 【解析】 (1)当 a0 时，原方程变为 2x10，此时 x12，符合题意； 当 a0 时，方程 ax22x10 为一元二次方程， 44a0，即 a1，原方程的解为 x1，符合题意 故当 a0 或 a1 时
15、，原方程只有一个解，此时 A 中只有一个元素 (2)因为12x x2ax520，所以12212a520，解得：a92， 当 a92时，方程 x2192x920 的判别式 192 249228940， 所以集合x x2192x920的所有元素的积为方程的两根之积等于92. 解题技巧：(集合表示法中元素与集合的关系) 1.若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； 2.若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 跟踪训练六跟踪训练六 8已知集合 Ax|x2axb0，若 A2,3，求 a，b 的值 【答案】见解析 【解析】由 A2,3知，方程 x2axb0 的两根为
16、 2,3，由根与系数的关系得， 23a，2 3b，因此a5，b6. 9设集合 B xN 62xN.试判断元素 1,2 与集 合 B 的关系；用列举法表示集合 B. 【答案】见解析 【解析】(1)当 x1 时，6212N. 当 x2 时，62232N.所以 1B,2B. (2)62xN，xN，2x 只能取 2,3,6. x 只能取 0,1,4.B0,1,4. 题型七题型七 集合含义的拓展集合含义的拓展 例例 7 用描述法表示抛物线 yx21 上的点构成的集合 【答案】见解析 【解析】 抛物线 yx21 上的点构成的集合可表示为：(x，y)|yx21 变式 1变条件，变设问本题中点的集合若改为“x
17、|yx21”，则集合中的元素是什么？ 【答案】见解析 【解析】集合x|yx21的代表元素是 x，且 xR，所以x|yx21中的元素是全体实数 变式 2变条件，变设问本题中点的集合若改为“y|yx21”，则集合中的元素是什么？ 【答案】见解析 【解析】集合 y| yx21的代表元素是 y，满足条件 yx21 的 y 的取值范围是 y1，所以 y| yx21 y| y1，所以集合中的元素是大于等于 1 的全体实数 解题技巧（认识集合含义的 2 个步骤） 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。 四、课堂小结四、课堂小结 培学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 五、板书设计五、板书设计 本节内容为集合的概念，主要通过研究集合中的元素来确定集合的三个特性，由于元素的种类不同引入数集，点集等等，又由于元素的个数不同，所以元素分为有限集合无限集，从而引入了集合的表示方法：列举法和描述法。 1.1 集合的概念 1.集合与元素的关系 例题 例题 2.几何特性 3.集合表示方法 例题 例题