1、1 1.2 .2 集合间的基本关系集合间的基本关系 教学设计教学设计 第一节通过研究集合中元素的特点研究了元素与集合之间的关系及集合的表示方法，而本节重点通过研究元素得到两个集合之间的关系，尤其学生学完两个集合之间的关系后，一定让学生明确元素与集合、集合与集合之间的区别。 课程目标课程目标 1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 2. 理解子集.真子集的概念 3. 能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：子集和空集含义的理解； 2.逻辑推理：子集、真子集、空集之间的联系与区别； 3.数学运算：由集合间的关系
2、求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组； 4.数据分析：通过集合关系列不等式组， 此过程中重点关注端点是否含“=”及问题； 5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 重点：重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念 难点：难点：难点是属于关系与包含关系的区别 教学方法教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具教学工具：多媒体。 一、一、 问题导入：问题导入： 实数有相等、大小关系，如 5=5，57，53 等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、
3、二、 预习课本，引入新课预习课本，引入新课 阅读课本 7-8 页，思考并完成以下问题 1. 集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间的这些关系？ 2. 集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？ 3. 空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知三、新知探究探究 （一）知识整理 1集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为 B 的子集. 记作：()ABBA或 读作：A 包含于 B(或 B 包含
4、A). 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（ABBA且） ，那么我们称这两个集合相等. 记作：A = B 读作：A 等于 B. 图示： 2. 真子集 若集合BA ，存在元素AxBx 且，则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作：A B（或 B A） 读作：A 真包含于 B（或 B 真包含 A） 3空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：. 规定：空集是任何集合的子集。 （二）知识扩展 1. 能否说任何一集合是它本身的子集，即AA? 2. 集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别? 3. 空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗? 4. 集
5、合的子集和真子集个数与集合元素有什么关系？结合实例探究。 5. 0，0与三者之间有什么关系? 6. aA与属于关系aA有什么区别?试结合实例做出解释. 7. 对于集合 A，B，C，如果 AB，BC，那么集合 A 与 C 有什么关系? 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。 结论：结论： （1）.AA（类比aa ） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （3）若,AB BC则CA （类比ba ，cb 则ca ） （4）一般地，一个集合元素若为 n 个，则其子集数为 2n个，其真子集数为 2n-1 个，
6、特别地，空集的子集个数为 1，真子集个数为 0。 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 写出给定集合的子集写出给定集合的子集 例例 1 1 (1)写出集合0,1,2的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集; (2)填写下表,并回答问题: 由此猜想:含 n 个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【答案】见解析 【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出. 集合 集合的子集 子集的个数 a a,b a,b,c 集合 集合
7、的子集 子集的个数 1 a ,a 2 a,b ,a,b,a,b 4 a,b,c ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c 8 解:(1)不含任何元素的子集为;含有一个元素的子集为0,1,2; 含有两个元素的子集为0,1,0,2,1,2;含有三个元素的子集为0,1,2. 故集合0,1,2的所有子集为,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2. 其中除去集合0,1,2,剩下的都是0,1,2的真子集. (2) 由此猜想:含 n 个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是 2n,真子集的个数是 2n-1,非空真子集的个数是 2n-2. 解题技巧：（分类讨论是写出所有子集的方法） 1.
8、分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏. 2.若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有2 n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n -1)个非空子集,有(2n -2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用. 跟踪训练一跟踪训练一 1.若1,2,3A1,2,3,4,5,则满足条件的集合 A 的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】集合1,2,3是集合 A 的真子集,同时集合 A 又是集合1,2,3,4,5的子集,所以集合 A 只能取集合1,2,3,4,1,2,3,5和1,2,3,4,5. 题
9、型二题型二 韦恩图及其应用韦恩图及其应用 例例 2 2 下列能正确表示集合 M=-1,0,1和 N=x|x2+x=0的关系的维恩图是( ) 【答案】B 【解析】N=x|x2+x=0=x|x=0 或 x=-1=0,-1,NM,故选 B. 解题技巧：( 图应用) 是集合的又一种表示方法,使用方便,表达直观,可迅速帮助我们分析问题、解决问题,但它不能作为严密的数学工具使用. 跟踪训练二跟踪训练二 2.设 A=四边形,B=梯形,C=平行四边形,D=菱形,E=正方形,则下列关系正确的是( ) A.EDCA B.DECA C.DBA D.EDCBA 【答案】A 【解析】集合 A,B,C,D,E 之间的关系
10、可用 Venn 图表示,结合下图可知,应选 A. 题型三题型三 由集合间的关系求参数的范围由集合间的关系求参数的范围 例例 3 3 已知集合 A=x|-5x2,B=x|2a-3xa-2. (1)若 a=-1,试判断集合 A,B 之间是否存在子集关系; (2)若 AB,求实数 a 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】分析:(1)令 a=-1,写出集合 B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合 B 是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数 a 所满足的条件. 解:(1)若 a=-1,则 B=x|-5x-3. 如图
11、在数轴上标出集合 A,B. 由图可知,BA. (2)由已知 AB. 当 B=时,2a-3a-2,解得 a1.显然成立. 当 B时,2a-3a-2,解得 a1. 由已知 AB,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可得2a-3 -5,a-2 2,解得-1a4. 又因为 a1,所以实数 a 的取值范围为-1a1 变式变式 1 1 变条件变条件 【例 3】(2)中,是否存在实数 a,使得 AB?若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,试说明理由. 【答案】见解析 【解析】因为 A=x|-5x2,所以若 AB,则 B 一定不是空集. 此时有2a-3 -5,a-2 2,即a -1,a 4,显然实数 a
12、不存在. 变式变式 2 2 变条件变条件 若集合 A=x|x2,B=x|2a-3xa-2,且 AB,求实数 a 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】当 B=时,2a-3a-2,解得 a1.显然成立. 当 B时,2a-3a-2,解得 a1. 由已知 AB,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可知 2a-32 或 a-2-5,解得 a 或 a-3. 又因为 a1,所以 a-3. 综上,实数 a 的取值范围为 a1 或 a-3. 解题技巧：（根据集合之间关系，求参数的值或范围） 1.求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无
13、误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. 2.涉及“AB”或“AB,且 B”的问题,一定要分 A=和 A两种情况进行讨论,其中 A=的情况容易被忽略,应引起足够的重视. 跟踪训练三跟踪训练三 3.若集合 A=x| 6 = ,B=x| = ,且 BA,求实数 a 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】A=-3,2.对于 = , 当 =1-4a14时,B=,BA 成立; 当 =1-4a=0,即 a=14时,B=-1 ,BA 不成立; 当 =1-4a0,即 a14或 a=-6. 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、七、作业作业 课本课本 9 9 页习题页习题 1 1.2.2 在本节的教学过程中，空集和端点问题是学生最不容易掌握的地方，需在此细嚼慢咽。若理解能力比较弱的同学可让其采取“里实外空， =取不到”的方法做题。 1.1 集合的概念 1.子集 例 1 例 2 例 3 2.真子集 3.空集