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2.2基本不等式 同步练习(2)含答案解析

1、2.22.2 基本不等式基本不等式 (用时 45 分钟) 基础巩固基础巩固 1若0n,则9nn的最小值为( ) A2 B4 C6 D8 2已知x,0,y,1xy,则xy的最大值为( ) A1 B12 C13 D14 3若实数x,y满足1xy ,则224xy的最小值为_ 4用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是( ) A30 B36 C40 D50 5已知正实数a,b满足41ab,则1ba的最小值为( ) A4 B6 C9 D10 6若0, 0ab,则“4ab”是 “4ab”的_条件 7已知1x ,则331xx的最小值是_. 8已知正实数

2、, x y满足3x+ y+ = xy,则xy的最小值为_ 9 (I)证明:273+ 6; (II)正数a,b满足41ab,求11ab的最小值. 能力提升能力提升 10若0,0 xy,且211xy,227xymm恒成立,则实数m的取值范围是( ) A( 8,1) B(, 8)(1,) C(, 1)(8,) D( 1,8) 11下列命题中: 若222ab,则a b的最大值为2; 当0,0ab时,1124abab; 41yxx的最小值为5; 当且仅当, a b均为正数时,2abba恒成立. 其中是真命题的是_(填上所有真命题的序号) 12已知A、B两地的距离是 100km,按交通法规定,A、B两地之

3、间的公路车速x应限制在 60120km/h,假设汽油的价格是7 元/L, 汽车的耗油率为26L/h400 x, 司机每小时的工资是70元 (设汽车为匀速行驶) ,那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用是多少? 素养达成素养达成 13 某单位修建一个长方形无盖蓄水池, 其容积为1875立方米, 深度为3米, 池底每平方米的造价为100元,池壁每平方米的造价为120元,设池底长方形的长为x米. (1)用含x的表达式表示池壁面积S; (2)当x为多少米时,水池的总造价最低,最低造价是多少? 2.22.2 基本不等式基本不等式 【本节明细表】 知识点、方法 题号 基本不等式直接应

4、用 1,2,3,5 利用基本不等式求最值 7,8,9,10,11 利用基本不等式解决实际问题 4,12,13 基础巩固基础巩固 1若0n,则9nn的最小值为( ) A2 B4 C6 D8 【答案】C 【解析】92 96nn(当且仅当n3 时等号成立)故选:C 2已知x,0,y,1xy,则xy的最大值为( ) A1 B12 C13 D14 【答案】D 【解析】 因为x,0,y,1xy, 所以有21112( )24xyxyxy, 当且仅当12xy时取等号,故本题选 D. 3若实数x,y满足1xy ,则224xy的最小值为_ 【答案】4 【解析】因为1xy , 所以2222422244xyxyxyx

5、y,当2xy时取“” , 所以224xy的最小值为 4,故答案为 4. 4用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是( ) A30 B36 C40 D50 【答案】C 【解析】设矩形的长为( )x m,则宽为100( )mx,设所用篱笆的长为( )y m,所以有10022yxx ,根据基本不等式可知:100100222 2240yxxxx , (当且仅当10022xx时,等号成立,即10 x 时,取等号)故本题选 C. 5已知正实数a,b满足41ab,则1ba的最小值为( ) A4 B6 C9 D10 【答案】C 【解析】0a,0b,41a

6、b,141bababa445529abababab,当且仅当 4,41ababab时,即1,36ab时取“”.故答案选 C 6若0, 0ab,则“4ab”是 “4ab”的_条件 【答案】充分不必要 【解析】当0,0ab时,由基本不等式,可得2abab, 当4ab时,有24abab,解得4ab,充分性是成立的; 例如:当1,4ab时,满足4ab,但此时=54a+b,必要性不成立, 综上所述, “4ab”是“4ab”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要条件. 7已知1x ,则331xx的最小值是_. 【答案】3 【解析】因为1x ,所以10 x , 所以33333132 3133111xxxx

7、xx (当且仅当0 x时,等号成立). 8已知正实数, x y满足3x+ y+ = xy,则xy的最小值为_ 【答案】6 【解析】由题得2)34xyx+y+ = xy(, 所以2)4(xyxy()-120,所以6)(2)0 xyxy(, 所以 x+y6 或 x+y-2(舍去),所以 x+y 的最小值为 6. 当且仅当 x=y=3 时取等.故答案为:6 9 (I)证明:273+ 6; (II)正数a,b满足41ab,求11ab的最小值. 【答案】 ()见解析()9 【解析】 ()证明:要证2736,只需证222736, 即证92 14 92 18.由于14 18,所以92 14 92 18. 因

8、此,实数m的取值范围是 , 81, U,故选:B. 11下列命题中: 若222ab,则a b的最大值为2; 当0,0ab时,1124abab; 41yxx的最小值为5; 当且仅当, a b均为正数时,2abba恒成立. 其中是真命题的是_(填上所有真命题的序号) 【答案】 【解析】若222ab,则a b的最大值为2 2222222()242abababababab,正确 当0,0ab时,1124abab 1112224abababab,1ab时等号成立,正确 41yxx的最小值为5, 取0,4xy 错误 当且仅当, a b均为正数时,2abba恒成立 , a b均为负数时也成立. 故答案为 1

9、2已知A、B两地的距离是 100km,按交通法规定,A、B两地之间的公路车速x应限制在 60120km/h,假设汽油的价格是7 元/L, 汽车的耗油率为26L/h400 x, 司机每小时的工资是70元 (设汽车为匀速行驶) ,那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用是多少? 【答案】80,280 【解析】设总费用为w 则 112007280(60120)4xxwx 当112007804xxx时等号成立,满足条件 故最经济的车速是80/km h,总费用为 280. 素养达成素养达成 13 某单位修建一个长方形无盖蓄水池, 其容积为1875立方米, 深度为3米, 池底每平方米的

10、造价为100元,池壁每平方米的造价为120元,设池底长方形的长为x米. (1)用含x的表达式表示池壁面积S; (2)当x为多少米时,水池的总造价最低,最低造价是多少? 【答案】 (1)6256Sxx; (2)当25x米时,最低造价是98500元. 【解析】 (1)由题意得:池底面积为18756253平方米,池底长方形的宽为625x米 625625236Sxxxx (2)设总造价为y元,则:6256120625 100yxx 化简得:62572062500yxx 因为6252 62550 xxQ,当且仅当625xx,即25x时取等号 720 506250098500y 即当25x米时,最低造价是98500元