1、1 章末综合测评章末综合测评(四四) 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1若 a12，则化简42a12的结果是( ) A. 2a1 B2a1 C. 12a D 12a C a12，2a10，解得 1x2，所以所求函数的定义域为1,2) 4下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( ) Ayx12 Byx4 Cyx2 Dyx13 B 对 A，yx12的定义域为0，)，不是偶函数；C 中，yx2不过(0,0)点，D 中，yx13是
2、奇函数，B 中，yx4满足条件 5函数 f(x)x1212x的零点个数为( ) A0 B1 2 C2 D3 B 令 f(x)0，可得 x1212x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数 yx12和指数函数y12x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数 f(x)的零点只有一个 6若 loga3m，loga5n，则 a2mn的值是( ) A15 B75 C45 D225 C 由 loga3m，得 am3， 由 loga5n，得 an5， a2mn(am)2 an32545. 7函数 f(x)4x12x的图象( ) A关于原点对称 B关于直线 yx 对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称
3、 D 易知 f(x)的定义域为 R，关于原点对称 f(x)4x12x14x2xf(x)，f(x)是偶函数，其图象关于 y 轴对称 8若 loga(a21)loga2a0 且 a1，故必有 a212a. 又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1，a12，综上，a12，1 . 9已知 a5log23.4，b5log43.6，c15log30.3，则( ) Aabc Bbac 3 Cacb Dcab C c5log3103，只需比较 log23.4，log43.6，log3103的大小，又 0log43.6log33.4log31031，所以 acb. 10函数 f(x)a|x1|(a0，
4、且 a1)的值域为1，)，则 f(4)与 f(1)的关系是( ) Af(4)f(1) Bf(4)f(1) Cf(4)0， 且a1)的值域为1， )， 所以a1， 又函数f(x)a|x1|(a0，且 a1)的图象关于直线 x1 对称，所以 f(4)f(1) 11已知函数 f(x) a2x，x2，12x1，x2满足对任意的实数 x1x2都有fx1fx2x1x20 成立，则实数 a 的取值范围为( ) A(，2) B.，138 C(，2 D.138，2 B 由题意知函数f(x)是R上的减函数， 于是有 a20，a221221，由此解得a138，即实数 a 的取值范围是，138，选 B. 12函数 f
5、(x)ax5bx1，若 f(lg(log510)5，则 f(lg(lg 5)的值为( ) A3 B5 C5 D9 A lg(log510)lg1lg 5lg(lg 5)， 设 tlg(lg 5)，则 f(lg(log510)f(t)5. 因为 f(x)ax5bx1， 所以 f(t)at5bt15， 则 f(t)at5bt1， 4 两式相加得 f(t)52， 则 f(t)253，即 f(lg(lg 5)的值为3. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13函数 f(x)ax13 的图象一定过定点 P，则 P 点的坐标是_ (1,4) 由于函数 yax
6、恒过(0,1)，而 yax13 的图象可看作由 yax的图象向右平移 1个单位，再向上平移 3 个单位得到的，则 P 点坐标为(1,4) 14将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售，每天可卖出 100 个若每个涨价 1 元，则日销售量减少 10 个为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个_元 14 设每个涨价 x 元，则实际销售价为 10 x 元，销售的个数为 10010 x， 则利润为 y(10 x)(10010 x)8(10010 x)10(x4)2360(0 x0，且 a1)过点(2,9) (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若 f(2m1)f(m3)0，a1)得 a29，
7、解得 a13，f(x)13x. (2)f(2m1)f(m3)0， f(2m1)m3，解得 m4， 实数 m 的取值范围为(4，) 19(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) log2x，x0，3x，x0，且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，求实数 a 的取值范围 解 如图，在同一坐标系中分别作出 yf(x)与 yxa 的图象，其中 a 表示直线在 y 轴上的截距，由图可知，当 a1 时，直线 yxa 与 ylog2x 只有一个交点所以实数 a 的取值范围是(1，) 20(本小题满分 12 分)已知 1x4，求函数 f(x)log2x4 log2x2的最大值与最小值 解 f
8、(x)log2x4 log2x2 (log2x2)(log2x1) log2x32214， 又1x4，0log2x2， 6 当 log2x32，即 x2322 2时，f(x)有最小值14. 当 log2x0 时，f(x)有最大值 2，此时 x1. 即函数 f(x)的最大值是 2，最小值是14. 21(本小题满分 12 分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15 万元时，按销售利润的 10%进行奖励；当销售利润超过 15 万元时，若超过部分为 A 万元，则超出部分按 2log5(A1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的 10%进行奖励记奖金总额为 y(单位：万元)，销售利润
9、为 x(单位：万元) (1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式； (2)如果业务员老张获得 5.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解 (1)由题意，得 y 0.1x，015. (2)当 x(0,15时，0.1x1.5， 又 y5.51.5，x15， 1.52log5(x14)5.5， 解得 x39. 答：老张的销售利润是 39 万元 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)lg1x1x. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)求证：f(x)f(y)fxy1xy； (3)若 fab1ab1，fab1ab2，求 f(a)，f(b)的值 解 (1)证明：由函数 f(x)lg1x1x，可得1x1x0，即x11x0，解得1x1，故函数的定义域为(1,1)， 关于原点对称 再根据 f(x)lg1x1xlg1x1xf(x)， 可得 f(x)是奇函数 (2)证明：f(x)f(y)lg1x1xlg 1y1ylg 1x1y1x1y， 7 而 fxy1xylg 1xy1xy1xy1xy lg1xyxy1xyxylg1x1y1x1y， f(x)f(y)fxy1xy成立 (3)若 fab1ab1，fab1ab2， 则由(2)可得 f(a)f(b)1，f(a)f(b)2， 解得 f(a)32，f(b)12.