1、12022 河北、湖南、广东高三 12 月联考数学试卷2022 河北、湖南、广东高三 12 月联考数学试卷一、选择题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A =x x2 9x 22 0， B =x x =3n ,n N ，则 A B =A 9B1,3C1,3,9D3,9【答案】C【解析】因为211Axx，所以1,3,9AB 2若(1)ii2z ，则z A22iB22iC2iD2i【答案】B【解析】因为2i2i112iiz ，所以22iz 3已知点( 1,2)A ，(1,0)B，(1, 2)C，(4,2)D，则向量AB
2、与CD 夹角的余弦值为A7 210B7 210C210D210【答案】D【解析】设AB 与CD 的夹角为，因为(2, 2)AB ，(3,4)CD ，所以682cos102 25 .4若直线1(0,0)xyabab过点(3,12)，则ab的最小值为A27B30C33D36【答案】A【解析】因为直线1(0,0)xyabab过点(3,12)，所以3121ab，2312312()15152 3627baabababab，当且仅当 a =9，b =18时，等号成立.5已知(1)f x 是定义在R上且周期为 2 的函数，当 1,1)x 时，( )f x 224, 10,sin,01,xxxx ，则10(3
3、)3ffA32B32C3D3【答案】C【解析】 因为(1)f x 是周期为2的函数， 所以( )f x的周期为2， 即x R，(2)( )f xf x.又当 1,1)x 时，224, 10,( )sin,01,xxf xxx 所以(3)(34)( 1)2fff，10102234sin33332fff，故10(3)33ff.6如图，在三棱锥PABC中，5PAPBCACB，2ABPC，点,D E分别为,AB PC的中点，则异面直线,PD BE所成角的余弦值为A2324B1112C34D56【答案】A【解析】如图，连接CD，取CD的中点F，连接,EF BF，则EFPD，BEF为异面直线,PD BE所
4、成的角.由题意可知2 6PDCDBE，6EF ，22( 6)17BF ，所以246723cos2422 66BEF.72021 年 1 月 18 日，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审.评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追3梦、天行、星火 10 个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选 3 个名称依次进行分析，其中有 1 个是祝融，其余 2 个从剩下的 9 个名称中随机选取，则祝融不是第 3 个被分析的情况有A1008 种B672 种C336 种D144 种【答案】D【解析】选取
5、的 3 个名称中含有祝融的共有29C种不同的情况.分析选取的 3 个名称的不同情况有33A种，其中祝融是第 3 个被分析的情况有22A种，故祝融不是第 3 个被分析的情况有232932C (AA )144种.8已知定义在R上的函数( )f x满足1( )( )02f xfx，且有1(1)2f，则122 ( )exf x的解集为A(,2)B(1,)C(,1)D(2,)【答案】B【解析】设2( )( ) exF xf x，则221( )( ) e( ) e2xxF xfxf x21e( )( )02xf xfx，所以函数( )F x在R上单调递增.又1(1)2f， 所以11221(1)(1) ee
6、2Ff， 又122 ( )exf x等价于1221( ) ee2xf x ，即( )(1)F xF，所以1x ，即所求不等式的解集为(1,).二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9下列说法中，正确的为A某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本.已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为5:4:3，则应从高三年级中抽取 15 名学生B10 件产品中有 8 件正品，2 件次品，若从这 10
7、件产品中任取 2 件，则恰好取到 1 件次品4的概率为13C若随机变量X服从正态分布2(2,)N，(5)0.86P X ，则(1)0.14P X D设某校男生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据( ,)(1,2, )iix yin，用最小二乘法建立的回归方程为0.8582yx，若该校男生的身高为170 cm，则可判定其体重为62.5 kg【答案】AC【解析】对于 A，应从高三年级中抽取3601512名学生，A 正确；对于 B，所求概率1182210C C16C45P ，B 错误；对于 C，(5)1 0.860.14P X ，所以(1)(5)0.14P X
8、P X ，C 正确；对于 D，用回归方程计算得到的估计值，故不能判定其体重为62.5 kg，D 错误.10将函数( )sin 24f xx图象上的所有点向右平移8个单位长度，得到函数( )g x的图象，若03()5f x，00,3x，则A3( )sin 22g xxB02()10g x C( )g x在0,3上的最小值为1D直线4x为( )g x图象的一条对称轴【答案】AB【解析】3( )sin 2sin 2cos2sin 28422g xxxxx ，A 正确；因为003()sin 245f xx，00,3x，所以0524412x，04cos 245x，所以0002()cos2cos24410
9、g xxx ，B 正确；5因为( )g x在0,3上为增函数，所以( )g x在0,3上无最小值，C 错误；当4x时，求得04g，D 错误.11设数列 na的前n项和为nS，若22111(1)nann，则下列结论中正确的是A21(1)nnnan nB211nnnSnC32na D满足2021nS 的n的最大值为 2020【答案】ACD【解析】222222(1)11111(1)(1)(1)nn nnnannn nn n，故 A 正确；因为11111(1)1nan nnn ，所以1111111122311nSnnnnn ，故 B 错误；因为 na是单调递减数列，所以132naa，故 C 正确；因为
10、nS单调递增， 且20202021S，20212021S， 所以满足2021nS 的n的最大值为 2020，故 D 正确.12我国南北朝时期的著作孙子算经中对同余问题有较深的研究.设, ,a b m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为(mod )abm.则下列选项中正确的是A若*2,abkm kN，则(mod )abmB27264(mod 7)C若(2)(mod )amm，(3)(mod )bmm，6m ，则(5)(mod )abamD若(mod )abm，*nN，则(mod )nnabm6【答案】BD【解析】若 a 2b =km，则a =km +2b 或2b =k
11、m +a ，故a =2b(mod m) ，故 A 错误；因为27999988199928(71)C 7C 7C 71，所以272被 7 除所得的余数为 1，64被 7 除所得的余数为 1，故 B 正确；由(2)(mod )amm，得2()akmkN，由(3)(mod )bmm，得3()btmtN，所以2(2)(3)(32 )6abkmtmktmkt m，ab被m除得的余数为 6，而5m 被m除得的余数为 5，故 C 错误；若(mod )abm，则()akmr kN，()btmr tN，11222()()C ()C ()nnnnnnnnakmrkmkmrkmrr，11222()()C ()C (
12、)nnnnnnnnbtmrtmtmrtmrr，所以(mod )nnabm，故 D 正确.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13抛物线26yx 的焦点坐标为_.【答案】10,24【解析】由26yx ，得216xy ，故抛物线的焦点坐标为10,24.14已知为第二象限角，且5cos5 ，则222sin4cossin_.【答案】5【解析】因为为第二象限角，且5cos5 ，所以2 5sin5.又22cossin(cossin )(cossin )，2sinsincos4，所以222sin45cossin .715 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab， 过左焦点F且
13、斜率为14的直线交C的一条渐近线于点A， 且A在第一象限， 若OAOF（O为坐标原点） ， 则C的渐近线方程为_.【答案】815yx 【解析】联立方程组1(),4,yxcbyxa解得,4,4acxbabcyba即,44acbcAbaba.因为OAOF，所以2222222(4)(4)a cb ccbaba，化简得815ba，所以双曲线C的渐近线方程为815yx .16 如图所示的四边形ABCD是边长为2的正方形， 对角线,AC BD相交于点O， 将BDA沿BD折起到BDA的位置，使平面A BD平面BCD.给出以下 5 个结论：ACBD；ABC和ACD都是等边三角形；平面ABC平面ACD；13AB
14、CDV； 三棱锥ABCD表面的四个三角形中， 面积最大的是ABC和ACD.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】因为正方形的对角线互相垂直，所以AOBD，且COBD，所以BD 平面AOC，所以BDAC，即正确；因为正方形的边长是2，所以1AOCO，又平面A BD平面BCD，所以AO平面BCD，所以2A C，即ABC和ACD都是等边三角形，正确；8如图，取 AC 的中点 E ，连接 BE,DE ，得62BEDE，BD =2 ，所以BED 就是二面角BACD的平面角，而66444cos066222BDE，所以BDE不是直角，即平面ABC与平面ACD不垂直，错误；因为1133ABCDBCDVS
15、AO，所以正确；因为1A BDBCDSS，16321222A BCA CDSS，所以三棱锥ABCD表面的四个三角形中，面积最大的是A BD和BCD，不是ABC和ACD，所以错误.综上，可知正确.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）从1055105SS ，848SS，51a 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知等差数列 na的前n项和为nS，19S ，且_，求数列na的前n项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】设数列 na的公差为d.选因为1051101510551052222S
16、Saaaaaad，所以552d ，解得2d .9又a1 =S1 =9，所以211nan ，2(9112 )102nnnSnn .当15n时，0na ，210nnTSnn ；当6n 时，0na ，2555()21050nnnTSSSSSnn.综上所述，2210 ,15,1050,6.nnnnTnnn选.因为119aS，81828Sad，4146Sad，所以8414228SSad ，解得2d .所以211nan ，2(9112 )102nnnSnn .当15n时，0na ，210nnTSnn ；当6n 时，0na ，2555()21050nnnTSSSSSnn.综上所述，2210 ,15,1050
17、,6.nnnnTnnn选因为119aS，5141aad，所以2d .所以211nan ，2(9112 )102nnnSnn ，当15n时，0na ，210nnTSnn ；当6n 时，0na ，2555()21050nnnTSSSSSnn.综上所述，2210 ,15,1050,6.nnnnTnnn18 （12 分）在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知3ABCAB ACS ，8bc（1）求角A的大小；（2）求a的最小值.10【解析】（1）因为32ABCAB ACS ，所以13cos2sin2bcAbcA，整理得sin3cosAA，所以tan3A.又(0, )A，所以
18、3A.（2）因为2222cos3abcbc，8bc，所以22()2643abcbcbcbc，故22643162bca ，即4a ，当且仅当4bc时，等号成立，所以a的最小值为 4.19 （12 分）如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有1234,N NN N四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是13，南干道有12,S S两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为1 2,2 3.某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响.（1）求北干道的1234,N NN N四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率；（2）若南干道被堵塞路段的个数为X，求X的分布列及数学期望
19、()E X；（3）若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由.【解析】（1）记北干道的1234,N NN N四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A，则411665( )11138181P A .11（2）由题意可知X的可能取值为0,1,2，121(0)11236P X，12121(1)1123232P X，121(2)233P X .随机变量X的分布列为X012P1612131117()0126236E X .（3）设北干道被堵塞路段的个数为Y，则14,3YB，所以14( )433E Y .因为()( )E XE Y，
20、所以高峰期选择南干道路线较好.20 （12 分）如图所示的四棱锥PABCD的底面ABCD是一个等腰梯形，ADBC，且224ADABBC，PO是PAD的中线，点E是棱PD的中点.（1）证明：CE平面PAB；（2）若平面PAD 平面ABCD，且PAPD，POAO，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.【解析】（1） 连接,OC OE.因为,O E分别是棱,AD PD的中点， 所以OEPA， 所以OE平面PAB.又ADBC，且224ADABBC，所以AOBC，且AOBC，所以ABCO是平行四边形，所以COAB，从而CO平面PAB.又COOEO，所以平面OCE平面PAB.又CE 平面OCE，所
21、以CE平面PAB.（2） 因为PAPD， 所以POAD， 又平面PAD 平面ABCD， 所以PO 平面ABCD.取BC的中点M，连接OM，以O为坐标原点，,OM OD OP 的方向分别为x轴、y轴、z12轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.易知2POAO，3OM ，所以(0, 2,0)A，( 3, 1,0)B，( 3,1,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P，(0,2,2)AP ，( 3,1,0)AB ，(3,1,0)CD ，(0, 2,2)DP 设平面PAB的法向量为( , , )x y zm，则220,30,APyzABxy mm令3z ，得(1,3, 3)m.设平面PCD的法向
22、量为111( ,)x y zn，则111130,220,CDxyDPyz nn令11x ，得(1, 3, 3)n.设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，则1coscos,7m nm nm n，即平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为17.21 （12 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为12，且椭圆E经过点31,2，过右焦点F作两条互相垂直的弦AB和CD.（1）求椭圆E的方程；（2）当四边形ACBD的面积取得最小值时，求弦AB所在直线的方程.【解析】（1）由已知得12ca，222abc，221914ab，解得2,3,1abc，13所以椭圆E 的方程为22143xy.
23、（2）当AB或CD中有一条直线垂直于x轴时，不妨设ABx轴，因为焦点F的坐标为(1,0)，所以直线AB的方程为1x ，3AB ，4CD ，四边形ACBD的面积14 362S .当AB的斜率存在且不为 0 时，设其斜率为(0)k k ，由（1）知(1,0)F，所以直线AB的方程为(1)yk x，与椭圆E的方程22143xy联立并消去y，得2222(34)84120kxk xk.设11( ,)A x y，22(,)B xy，则2122834kxxk，212241234kx xk，22212121211()4ABkxxkxxx x422242222226416481164(1648)(34)(34)
24、3434kkkkkkkkkk222212(1)443434kkkk.同理直线CD的方程为1(1)yxk ，与椭圆E的方程22143xy联立并消去y，得22224843120 xxkkk.设33(,)C x y，44(,)D xy，同理可得24434CDk，所以四边形ACBD的面积222114444223434kSABCDkk222222213(1)3(1)8 11834343434kkkkkkk 42422172122512kkkk，设2(0)kt t，14则2222111727272112251212121212ttSttttttt因为0t ，所以12tt，124tt，所以14912142t
25、t，故4288724949S ，当且仅当1tt，即1,1tk 时，四边形ACBD的面积取得最小值，此时直线AB的方程为1yx或1yx .22 （12 分）已知函数( )(1)exf xxx.（1）判断( )f x的单调性；（2）当0,)x时，2( )(1)ln(1)1f xxxax恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）因为( )(1)exf xxx，所以( )e1xfxx.令( )e1xg xx，则( )(1)exg xx.当(, 1)x 时，( )0g x，( )g x单调递减；当( 1,)x 时，( )0, ( )g xg x单调递增.故1( )( 1)10eg xg ，即( )0fx
26、，则( )f x在R上单调递增，无单调递减区间.（2）2( )(1)ln(1)1f xxxax等价于2(1)e(1)ln(1)10 xxxxaxx 令2( )(1)e(1)ln(1)1xh xxxxaxx，则( )eln(1)2xh xxxax.令( )eln(1)2xxxxax，则1( )(1)e21xxxax，显然( )x在0,)上单调递增，故( )(0)2xa.当0a 时，( )0 x，( )x在0,)上单调递增，( )(0)0 x，即( )0h x，则( )h x在0,)上单调递增，( )(0)0h xh，符合条件.15当0a 时，(0)20a，21( 2 )( 21)e221aaaaa 21 120aa ，所以0(0, 2 )xa，0()0 x.当00,)xx时，( )0 x，( ) x单调递减，则( )(0)0 x，即当00,)xx时，( )0h x，则( )h x在0(0,)x上单调递减，则当0(0,)xx时，( )(0)0h xh，不符合条件.综上所述，实数a的取值范围是0,).