1、【新教材】【新教材】4.1.1 n4.1.1 n 次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂教学设计教学设计（人教（人教 A A 版）版） 学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。 课程目标课程目标 1. 理解 n 次方根、根式的概念与分数指数幂的概念 2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值； 3. 掌握分数指数幂的运算性质。 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：n 次方根、根式的概念与分数指数幂的概念； 2.逻辑
2、推理：分数指数幂和根式之间的互化； 3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值； 4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。 重点：重点：（1）根式概念的理解； （2）分数指数幂的理解； （3）掌握并运用分数指数幂的运算性质. 难点：难点：根式、分数指数幂概念的理解 教学方法教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具教学工具：多媒体。 一、 情景导入情景导入 我们已经知道是正整数指数幂， 它们的值分别为.那么，23111,( ) ,( ) ,2221 1 1,2 4 86000100001000005730573057
3、30111( ),( ),( )222的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本 104-106 页，思考并完成以下问题 (1)n 次方根是怎样定义的？ (2)根式的定义是什么？它有哪些性质？ (3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答
4、问题。 三、新知三、新知探究探究 1n次方根 2根式 (1)定义：式子na 叫做根式，这里n叫做 根指数 ，a叫做 被开方数 (2)性质：(n1，且nN*) (na)n a . nan,.a na n为奇数为偶数 3分数指数幂的意义 定义 一般地，如果xna，那么X叫做 a 的 n 次方根，其中n1，且nN* 个数 n是奇数 a0 x0 x仅有一个值，记 为na a0 x0 n是偶数 a0 x有两个值，且互为相反数， 记为na a0 x不存在 4有理数指数幂的运算性质 (1)arasars(a0，r，sQ) (2)(ar)srsa(a0，r，sQ) (3)(ab)rrra b(a0，b0，rQ
5、) 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 根式的化简根式的化简( (求值求值) ) 例例 1 1 求下列各式的值 【答案】 解题技巧：（根式求值） （1）化简 时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简( )n 时, 关键是明确 是否有意义,只要 有意义,则( )n=a. (2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定中 a 的正负,再分数 指 数幂 正分数 指数幂 规定：amnnam(a0，m，nN*，且n1) 负分数 指数幂 规定：amn1amn1nam (a0，m，nN*，且n1) 0 的分数 指
6、数幂 0 的正分数指数幂等于 0 , 0 的负分数指数幂 没有意义 33(1)( 8)2(2)( 10)44(3)(3)2(4)()ab结合 n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一跟踪训练一 1.化简 (1)nxn(x，nN*)；(2)64a24a1a12. 【答案】见解析 【解析】 (1)x，x0. 当 n 为偶数时，nxn|x|x； 当 n 为奇数时，nxnx. 综上可知，nxn x，n为偶数，nN*，x，n为奇数，nN*. (2)a12，12a0， 64a24a162a12612a2312a. 题型二题型二 分数指数幂的简单计算问题分数指数幂的简单计算问题 例例 2 2 求值求值 【答案
7、】见解析 【解析】 解题技巧：(分数指数幂的运算技巧) 1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. 2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二跟踪训练二 1.计算 223338(2 )2323224334 ()44162()( )813 3227( )38(1)(12527)-23 ; (2)0.008-23 ; (3)(812 401)-34; (4)(2a+1)0; (5)56-(35)-1-1. 【答案】见
8、解析 【解析】(1)(12527)-23= (5333)-23=5-23-2=3252=925. (2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=(15)-2=52=25. (3)(812 401)-34= (3474)-34=3-37-3=7333=34327. (4)(2a+1)0=1, -12,无意义, = -12. (5)56-(35)-1-1= (56-53)-1=(-56)-1=-65. 题型三题型三 根式与分数指数幂的互化根式与分数指数幂的互化 例 3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a0） 【答案】见解析 【解析】 解题技巧：（根式与分数指数幂的互化） （1）根指数化为
9、分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子 （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题 跟踪训练三跟踪训练三 1下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) Ax(x)12 (x0) B.6y2y13(y0) Cx34 41x3(x0) Dx133x(x0) 【答案】C 232223aaaa28233aa31433aaa aa421332()aa【解析】 xx12 (x0)；6y2(y)21 16 6y1 13 3 (y0)； x34(x3)1 14 4 41x3(x0)；x1 1- -3 31x1 13 331x(x0) 题型四题型四
10、利用分数指数幂的运算性质化简求值利用分数指数幂的运算性质化简求值 例例 4 4 计算:0.064-13 (-78)0+ (-2)3-43+16-0.75+|-0.01|12. 【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380. 解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法） (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序 (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算 (3)对于含有字母的化
11、简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示 跟踪训练四跟踪训练四 1.计算:(235)0+2-2(214)-12-(0.01)0.5; 2 .化简:72-33-83153-3-13(a0). 【答案】见解析 【解析】(1)原式=1+14 (49)12 (1100)12 =1+16110=1615. (2)原式= 72 -323 -83 153 -32 -123 = 23 73 -23= 23 ( 73)12 -23 = 23 76 -23= 23-76:23= 16= 6. 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总 结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书六、板书 设计设计 七、七、作业作业 课本 109 页习题 4.1 本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础. 4.1.1 n 次方根与分数指数幂 1.n 次方根与根式定义 例 1 例 2 2.分数指数幂