1、【新教材】【新教材】5.5.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 教学设计（人教教学设计（人教 A 版）版） 它位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上。作用体现在它的工具性上。前面学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养. 课程目标课程目标 1.能用二倍角公式推导出半角公式， 体会三角恒等变换的基本思想方法， 以及进行简单的应用 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，
2、掌握三角恒等变换的基本思想方法 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用 数学学科素养数学学科素养 1.逻辑推理： 三角恒等式的证明； 2.数据分析：三角函数式的化简； 3.数学运算：三角函数式的求值. 重点：重点： 能用二倍角公式推导出半角公式， 体会三角恒等变换的基本思想方法， 以及进行简单的应用； 难点：难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用. 教学方法：教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：教学工具：多媒体。 一、一、 情景导入情景导入 前面已经学习过二倍角公
3、式，那么如何用 cos 表示 sin22，cos22和 tan22？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本 225-226 页，思考并完成以下问题 1. 半角公式是什么？ 2. 辅助角公式是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1半角公式 2辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin(x)(其中 tan ba) 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 化简求值问题化简求值问题 例例 1 设 56，cos2a，则 s
4、in4等于( ) A1a2 B1a2 C1a2 D1a2 【答案】D 【解析】56，252，3 ，454，32. 又 cos2a，sin41cos221a2. 解题技巧：（利用半角公式化简求值） 1化简问题中的化简问题中的“三变三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式 (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切 (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等 2利用半角公式求值的思路利用半角公式求值的思路 (1)看角：看已知角与待求角的 2 倍关
5、系 (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备 (3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用 计算 提醒：已知 cos 的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号 跟踪训练一跟踪训练一 1已知 sin 45，32，求 sin 2，cos 2，tan 2的值 【答案】sin 22 55，cos 255，tan 22. 【解析】 32，sin 45， cos 35，且2234， sin 21cos 22 55， cos 21cos 255， tan 2sin2cos22. 题型二题型二 三角恒等式的证明三角恒等式的证明 例例 2 求证：cos21tan2tan214sin 2. 【答案
6、】证明略. 【解析】证明： 法一：用正弦、余弦公式 左边cos2cos2sin2sin2cos2cos2cos22sin22sin2cos2cos2sin2cos2cos22sin22cos2sin2cos2cos sin2cos2cos 12sin cos 14sin 2右边， 原式成立 法二：用正切公式 左边cos2tan21tan2212cos22tan21tan2212cos2 tan 12cos sin 14sin 2右边， 原式成立 解题技巧：(三角恒等式证明的常用方法) (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； (3)拼凑法：针
7、对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； (4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立 跟踪训练二跟踪训练二 1.求证：2sin xcos x（sin xcos x1）（sin xcos x1）1cos xsin x. 【答案】证明略. 【解析】 证明： 左边2sin xcos x2sinx2cosx22sin2x22sinx2cosx22sin2x2 2sin xcos x4sin2x2cos2x2sin2x2sin x2si
8、n2x2 cos x2sinx22cos2x22sinx2cosx21cos xsin x右边 所以原等式成立. 题型三题型三 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 例例 3 已知函数 f(x)cos3x cos3x sin xcos x14. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值； (2)求函数 f(x)的单调递增区间 【答案】 (1)函数 f(x)的最小正周期为 T，函数 f(x)的最大值为22. (2)函数 f(x)的单调递增区间为k58，k8，kZ. 【解析】 (1)f(x)cos3x cos3x 12sin 2x14 12cos x32sin
9、 x12cos x32sin x 12sin 2x14 14cos2x34sin2x12sin 2x14 1cos 2x833cos 2x812sin 2x14 12(cos 2xsin 2x)22cos2x4. 函数 f(x)的最小正周期为 T，函数 f(x)的最大值为22. (2)由 2k2x42k，kZ， 得 k58xk8，kZ. 函数 f(x)的单调递增区间为k58，k8，kZ. 解题技巧：（应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤） 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 统一化成 f(x)asin xbcos xk 的形式 利用辅助角公式化为f（x）Asin
10、（x）k的形式，研究其性质 跟踪训练三跟踪训练三 1已知函数 f(x)2 3cos2xsin 2x 31(xR) (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间； (3)若 x4，4，求 f(x)的值域 【答案】(1)最小正周期为 T. (2)函数 f(x)的单调递增区间为k512，k12(kZ) (3)值域为0，3. 【解析】f(x)sin 2x 3(2cos2x1)1sin 2x 3cos 2x12sin2x31. (1)函数 f(x)的最小正周期为 T22. (2)由 2k22x32k2(kZ)， 得 2k562x2k6(kZ)， k512xk12(kZ) 函数 f(
11、x)的单调递增区间为k512，k12(kZ) (3)x4，4， 2x36，56， sin2x312，1 . f(x)0，3. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 228 页习题 5.5. 本节课通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认知， 关注每名学生的个体差异和不同的学习需求， 爱护学生的好奇心， 求知欲、创设和谐、融洽、欢快的人为氛围，让学生自主地学，在学习中展现个性、表现个性、培养个性、塑造个性. 5.5.5 5.2 .2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 1.半角公式 例 1 例 2 例 3 2.辅助角公式