1、 第五章第五章 三角函数三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本（A 版） 5.5.2 节简单的三角恒等变换属于新授课.本节的内容是简单的三角恒等变换，主要内容是利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等属性思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方
2、法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用 2了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 3体会知识之间的内在联系，培养学生的思考归纳能力，提高其思维灵活性. a.数学抽象：公式的应用； b.逻辑推理：公式之间的联系； c.数学运算：运用公式求值； d.直观想象：公式的灵活运用； e.数学建模：运用三角公式解决实际问题； 教学重点：体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，
3、以及进行简单的应用 教学难点：了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角 恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 （一）创设问题情境 提出问题提出问题 学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 例例 试以 表示 , , 解：解： 是 的二倍角在倍角公式 中，以 代替 ，以 代替 ， 得 , 所以 = , 在倍角公式 -1 中，以 代替 ，以 代替 ， 得 -1, 所以 = , 将两个等式的
4、左右两边分别相除，得 = 例 7 的结果还可以表示为 sin21cos 2cos2_1cos 2_，tan2_ 1cos 1cos 并称为半角公式，符号由2所在的象限决定。 归纳总结归纳总结 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式这是三角恒等变换的一个重要特点 例 求证： （1） ( ) ( ) , (2) 通过开门见山，提出问题，利用三角解决证明问题，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对三角公式的灵活运用，发展学生，直观
5、想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？ 证明：（）因为 ( )= + ( )= 将以上两式的左右两边分别相加，得 ( )+ ( )= 即 ( ) ( ) （2）由（1）可得 ( )+ ( )= 设 ， 把 ， 代入，即得 如果不用（）的结果，如何证明？ 归纳总结归纳总结 例的证明用到了换元的方法如把 看作 ， 看作 ，从而把包含 的三角函数式转化为 ， 的三角函数式 或者， 把 看作 ，cos 看作 ，把等式看作 ， 的方程，则原问题转化为解方程（组）求 它们都体现了化归思想
6、 例 求下列函数的周期，最大值和最小值： （） ； （） 分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 ( ) ,利用和角公式将其展开，可化为） 的形式反之，利用和（差）角公式，可将 转化为 ( ) 的形式，进而就可以求得其周期和最值了 解：（1） = 2（ ） =2（ ）=2 ( ) 因此，所求周期为 2 ，最大值为，最小值为 你能说说这一步变形的理由吗？ （）设 ( ) , 则 = 于是 学运算等核心素养； 于是 所以 =25. 取 A，则 , 由 ( ) 可知，所求周期为 2 ，最大值为 5，最小值为5 例 10 如图 5.5-2，已知 OPQ 是半径为，圆心角为 的扇形，C 是扇形弧
7、上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形记COP，求当角 取何值时，矩形 ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积 分析:要求当角取何值时,矩形 ABCD 的面积 S 最大, 可分二步进行. 找出 S 与之间的函数关系; 由得出的函数关系,求 S 的最大值. 解：在OBCRt中,cosOB,sinBC. 在OADRt中,360tanOADA, 所以, sin333333BCDAOA, 所以, sin33cosOAOBAB. 设矩形ABCD的面积为S,则 sin)sin33(cosBCABS )2cos1 (632sin21sin33cossin2 63)2cos212sin23(31632cos6
8、32sin21 63)62sin(31. 对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围: 由 03, 得 52666. 所以当 262, 即6时,max133.663S 因此,当6时, 矩形ABCD的面积最大,最大面积为36. 注：注： （1）在求解最大值时，要特别注意 “03”这一隐含条件; （2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题. 通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(x+)的函数,从而使问题得到简化。化归思想 三、当堂达标 1若 cos 23，(0，)，则 cos 2的值为( ) A66 B66 C306 D306 【解析】 由题意知20，
9、2，cos 20，cos 21cos 2306. 【答案】 C 2已知 cos 35，32，2 ，则 sin 2等于( ) A55 B55 C45 D2 55 【解析】 由题知234， ，sin 20，sin 21cos 255. 【答案】 A 3已知 sin cos 54，则 sin 2 的值等于( ) A716 B716 C916 D916 【解析】 由 sin cos 54，(sin cos )212sin cos 1sin 22516，所以 sin 2916. 【答案】 C 4函数 y32sin 2xcos2x 的最小正周期为_ 通过练习巩固本节所学知识，巩固对三角公式运用，增强学生的
10、直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 【解析】 y32sin 2xcos2x32sin 2x12cos 2x12sin2x612， 函数的最小正周期 T22. 【答案】 5求证：4sin cos222sin sin 2. 【证明】 法一：左边2sin 2cos222sin (1cos ) 2sin 2sin cos 2sin sin 2右边， 所以原式成立 法二：右边2sin 2sin cos 2sin (1cos ) 2sin 2cos2 24sin cos22左边， 所以原式成立 6、如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB 的周长最大？ 【
11、精彩点拨】 设AOB 建立周长l 求l的最大值 【解答】 设AOB，OAB 的周长为 l， 则 ABRsin ，OBRcos ， lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )R 2Rsin4R. 02，4434， l 的最大值为 2RR( 21)R，此时，42，即 4， 即当 4时，OAB 的周长最大 四、小结 1 知识： 如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现. 如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 2思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式sincosyaxbx化成sin()yAx的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力. 通过探究如何选择自变量建立数学关系式， 可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识来源:学科 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容