1、【新教材】【新教材】5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图像 教学设计（人教教学设计（人教 A 版）版） 由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了， 因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、 三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图 课程目标课程目标 1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法， 能用“五点法”作出简单的正弦、 余弦曲线. 2.理解正弦曲线与余弦
2、曲线之间的联系. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念； 2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系； 3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像； 4.数学运算：五点作图； 5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用. 重点：重点：正弦函数、余弦函数的图象 难点：难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系 教学方法：教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：教学工具：多媒体。 一、 情景导入情景导入 遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的
3、性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等我们也很自然地想知道 ysinx 与 ycosx 的图象是怎样的呢？回忆我们在必修 1 中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当 x0,2时，ysinx 的图象 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本 196-199 页，思考并完成以下问题 1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？ 2怎样作出正弦函数 y=sinx 的图像？ 3.怎样作出余弦函数 ycos x 的图像？ 4.正弦曲线与余弦曲
4、线的区别与联系. 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数 ysin x(xR)和余弦函数 ycos x(xR)的图象分别叫做 正弦 曲线和余弦曲线 (2)图象：如图所示 2“五点法”画图 步骤：(1)列表： x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 cos x 1 0 1 0 1 (2)描点：画正弦函数 ysin x，x0,2的图象，五个关键点是(0,0)，(2，1)，(，0)，(32，1)，(2，0)； 画余弦函数 ycos x，x0,2的图象，五个关键点是(0,1)，(2，0)，
5、(，1)，(32，0)，(2，1) (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图 3正、余弦曲线的联系 依据诱导公式 cos xsinx2， 要得到 ycos x 的图象， 只需把 ysin x 的图象向 左平移2个单位长度即可 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 作正弦函数、余弦函数的简图作正弦函数、余弦函数的简图 例例 1 画出下列函数的简图 (1)y1sinx，x0,2；(2)ycosx，x0,2 【答案】见解析 【解析】(1)按五个关键点列表： x 0 2 32 2 sinx 0 1 0 1 0 1sinx 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲
6、线连接起来(如图 1) 图 1 (2)按五个关键点列表： x 0 2 32 2 cosx 1 0 1 0 1 cosx 1 0 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图 2) 图 2 解题技巧：（简单三角函数图像画法） 1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即 ysin x 或 ycos x 的图象在0,2内的最高点、最低点和与 x 轴的交点. 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换. 跟踪训练一跟踪训练一 1.画出函数 y|sinx|，xR 的简图 【答案】见解析 【解析】按三个关键点列表： x 0 2 sinx 0 1 0 y|sinx
7、| 0 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图 3) 图 3 2. 在给定的直角坐标系如图 4 中，作出函数 f(x) 2cos(2x4)在区间0，上的图象 【答案】见解析 【解析】列表取点如下： x 0 8 38 58 78 2x4 4 2 32 2 94 f(x) 1 0 2 0 2 1 描点连线作出函数 f(x) 2cos(2x4)在区间0，上的图象如图 5 所示 图 4 图 5 题型二题型二 正弦函数、余弦函数图象的简单应用正弦函数、余弦函数图象的简单应用 例例 2 求函数 f(x)lg sin x 16x2的定义域. 【答案】见解析. 【解析】由题意，得 x 满足不等式组 s
8、in x0，16x20，即 4x4，sin x0， 作出 ysin x 的图象，如图所示. 结合图象可得：x4，)(0，). 例例 3 在同一坐标系中，作函数 ysin x 和 ylg x 的图象，根据图象判断出方程 sin xlg x 的解的个数. 【答案】见解析. 【解析】建立平面直角坐标系 xOy，先用五点法画出函数 ysin x，x0,2的图象，再依次向左、右连续平移 2 个单位，得到 ysin x 的图象. 描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到 ylg x 的图象，如图所示. 由图象可知方程 sin xlg x 的解有 3 个 解题技巧： (正弦函数、余弦函数图象的简
9、单应用) 1.解不等式问题：三角函数的定义域或不等式可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍. 2.方程的根(或函数零点)问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用. 跟踪训练二跟踪训练二 1.函数 y 2sin x1的定义域为_. 【答案】62k，562k ，kZ. 【解析】 由题意知，自变量 x 应满足 2sin x10， 即 sin x12.由 ysin x 在0,2的图象， 可知6x56，又有 ysin x 的周期性， 可得 y 2sin x1的定义域为62k，562k ，kZ. 2. 若函数 f(x)sin x2
10、m1，x0,2有两个零点，求 m 的取值范围. 【答案】m(1，12)(12，0). 【解析】由题意可知，sin x2m10，在0,2上有 2 个根.即 sin x2m1 有两个根. 可转化为 ysin x 与 y2m1 两函数图象有 2 个交点. 由 ysin x 图象可知： 12m11，且 2m10， 解得1m0，且 m12. m(1，12)(12，0). 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、 作业七、 作业 课本 200 页练习，213 习题 5.4 第 1 题. 本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象 5.4.1 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图像 1.正弦曲线 例 1 例 2 例 3 2.余弦曲线 3.五点作图