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5.4.1正弦函数余弦函数的图像 教学设计2

1、【新教材】【新教材】5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图像 教学设计(人教教学设计(人教 A 版)版) 由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了, 因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、 三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图 课程目标课程目标 1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法, 能用“五点法”作出简单的正弦、 余弦曲线. 2.理解正弦曲线与余弦

2、曲线之间的联系. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象:正弦曲线与余弦曲线的概念; 2.逻辑推理:正弦曲线与余弦曲线的联系; 3.直观想象:正弦函数余弦函数的图像; 4.数学运算:五点作图; 5.数学建模:通过正弦、余弦图象图像,解决不等式问题及零点问题,这正是数形结合思想方法的应用. 重点:重点:正弦函数、余弦函数的图象 难点:难点:正弦函数与余弦函数图象间的关系 教学方法:教学方法:以学生为主体,小组为单位,采用诱思探究式教学,精讲多练。 教学工具:教学工具:多媒体。 一、 情景导入情景导入 遇到一个新的函数,非常自然地是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的

3、性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等我们也很自然地想知道 ysinx 与 ycosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修 1 中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?请学生尝试画出当 x0,2时,ysinx 的图象 要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本,引入新课二、预习课本,引入新课 阅读课本 196-199 页,思考并完成以下问题 1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的? 2怎样作出正弦函数 y=sinx 的图像? 3.怎样作出余弦函数 ycos x 的图像? 4.正弦曲线与余弦曲

4、线的区别与联系. 要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1正弦曲线、余弦曲线 (1)定义:正弦函数 ysin x(xR)和余弦函数 ycos x(xR)的图象分别叫做 正弦 曲线和余弦曲线 (2)图象:如图所示 2“五点法”画图 步骤:(1)列表: x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 cos x 1 0 1 0 1 (2)描点:画正弦函数 ysin x,x0,2的图象,五个关键点是(0,0),(2,1),(,0),(32,1),(2,0); 画余弦函数 ycos x,x0,2的图象,五个关键点是(0,1),(2,0),

5、(,1),(32,0),(2,1) (3)用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正、余弦曲线的简图 3正、余弦曲线的联系 依据诱导公式 cos xsinx2, 要得到 ycos x 的图象, 只需把 ysin x 的图象向 左平移2个单位长度即可 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 作正弦函数、余弦函数的简图作正弦函数、余弦函数的简图 例例 1 画出下列函数的简图 (1)y1sinx,x0,2;(2)ycosx,x0,2 【答案】见解析 【解析】(1)按五个关键点列表: x 0 2 32 2 sinx 0 1 0 1 0 1sinx 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲

6、线连接起来(如图 1) 图 1 (2)按五个关键点列表: x 0 2 32 2 cosx 1 0 1 0 1 cosx 1 0 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图 2) 图 2 解题技巧:(简单三角函数图像画法) 1、五点作图法:作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图,掌握五点法作图.“五点”即 ysin x 或 ycos x 的图象在0,2内的最高点、最低点和与 x 轴的交点. 2、图象变换:平移变换、对称变换、翻折变换. 跟踪训练一跟踪训练一 1.画出函数 y|sinx|,xR 的简图 【答案】见解析 【解析】按三个关键点列表: x 0 2 sinx 0 1 0 y|sinx

7、| 0 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图 3) 图 3 2. 在给定的直角坐标系如图 4 中,作出函数 f(x) 2cos(2x4)在区间0,上的图象 【答案】见解析 【解析】列表取点如下: x 0 8 38 58 78 2x4 4 2 32 2 94 f(x) 1 0 2 0 2 1 描点连线作出函数 f(x) 2cos(2x4)在区间0,上的图象如图 5 所示 图 4 图 5 题型二题型二 正弦函数、余弦函数图象的简单应用正弦函数、余弦函数图象的简单应用 例例 2 求函数 f(x)lg sin x 16x2的定义域. 【答案】见解析. 【解析】由题意,得 x 满足不等式组 s

8、in x0,16x20,即 4x4,sin x0, 作出 ysin x 的图象,如图所示. 结合图象可得:x4,)(0,). 例例 3 在同一坐标系中,作函数 ysin x 和 ylg x 的图象,根据图象判断出方程 sin xlg x 的解的个数. 【答案】见解析. 【解析】建立平面直角坐标系 xOy,先用五点法画出函数 ysin x,x0,2的图象,再依次向左、右连续平移 2 个单位,得到 ysin x 的图象. 描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到 ylg x 的图象,如图所示. 由图象可知方程 sin xlg x 的解有 3 个 解题技巧: (正弦函数、余弦函数图象的简

9、单应用) 1.解不等式问题:三角函数的定义域或不等式可以借助函数图象直观地观察得到,同时要注意区间端点的取舍. 2.方程的根(或函数零点)问题:三角函数的图象是研究函数的重要工具,通过图象可较简便的解决问题,这正是数形结合思想方法的应用. 跟踪训练二跟踪训练二 1.函数 y 2sin x1的定义域为_. 【答案】62k,562k ,kZ. 【解析】 由题意知,自变量 x 应满足 2sin x10, 即 sin x12.由 ysin x 在0,2的图象, 可知6x56,又有 ysin x 的周期性, 可得 y 2sin x1的定义域为62k,562k ,kZ. 2. 若函数 f(x)sin x2

10、m1,x0,2有两个零点,求 m 的取值范围. 【答案】m(1,12)(12,0). 【解析】由题意可知,sin x2m10,在0,2上有 2 个根.即 sin x2m1 有两个根. 可转化为 ysin x 与 y2m1 两函数图象有 2 个交点. 由 ysin x 图象可知: 12m11,且 2m10, 解得1m0,且 m12. m(1,12)(12,0). 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、 作业七、 作业 课本 200 页练习,213 习题 5.4 第 1 题. 本节课所画的图象较多,能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求,重在学生动手操作,不要怕学生出错通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力开始时要慢些,尤其是“五点法”,每个点都要能准确地找到,然后迅速画出图象 5.4.1 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图像 1.正弦曲线 例 1 例 2 例 3 2.余弦曲线 3.五点作图