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5.4.1正弦函数余弦函数的图像 教学设计1

1、 第五章第五章 三角函数三角函数 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图像 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本(A 版) 第五章的 5.4.1 正弦函数、 余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象,过去学生已经学习了一次函数、二次函数、 指数函数和对数函数等,此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数,在此基础上来学习正弦 函数 y=sinx 的图象, 为今后正弦函数的性质、 余弦函数、 正切函数的图象与性质, 函数 y=Asin(x+) 的图象的研究打好基础,起到了承上启下的作用,因此,本节的学习有着极其重要的地位。发展学 生数学直观、数学抽象、逻

2、辑推理的核心素养。 课程目标 学科素养 1. 理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余 弦函数的图象的方法。 2.利用单位圆中的三角函数线作出 y=sinx, xR 的图象,明确函数的图象;根据关系cosx=sin(x+2)作出 y=cosx,xR 的图象。渗透数形结合和化归的数学思想。 3.通过作正弦函数与余弦函数的图象, 培养认 真负责,一丝不苟的学习精神和勇于探索,勤于思考的科学素养。 a.数学抽象:由五点作图法; b.逻辑推理:由正弦函数图像得出余弦函数图像; c.数学运算:特殊三角函数的求解; d.直观想象:运用函数图像分析问题; e.数学建模:正弦函数图像及其变换; 教学重点:理解并掌

3、握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。 教学难点:理解作余弦函数的图象的方法。 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 (一)创设问题情境 下面先研究函数 , R 的图象,从画函数 , ,的图象开始在,上任取一个值 ,如何利用正弦函数的定义,确定正弦函数值 并画出点 T( , )? (二)问题探究 如图 5.4.1,在直角坐标系中画出以原点 O 为圆心的单位圆,O与 x 轴正半轴的交点为 A(,)在单位圆上,将点 A 绕着点 O 旋转 弧度至点 B, 根据正弦函数的定义, 点 B 的纵坐标 由此,以 为横坐标, 为纵坐标画点, 即得到函数图象上的点 T ( , ) . 若把 x 轴

4、上从到 这一段分成等份,使 的值分别为 , , ,2,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周 12 等分,再按上述画点 T( , )的方法,就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(图 5.4.2) 事实上,利用信息技术,可使 在区间0,2上取到足够多的值而画出足够多的点 T( , ),将这些点用光滑的曲线连接起来,可得到比较精确的函数 , 0,2的图象. 通过对三角函数定义的回顾,提出新的问题,提出运用三角函数定义做正弦函数图像的方法,培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对正弦函数图像的分析,归纳总结五点作图法,发展学生,直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养; ( ),(

5、, ),( , )( , ),( , ) 根据函数 , 0,2 的图象, 你能想象函数 , R 的图象吗? 由诱导公式一可知,函数 , k,(k) ,kZ 且 k的图象与 , 0,2的图象形状完全一致因此将函数 , 0,2的图象不断向左、向右平移(每次移动2个单位长度) , 就可以得到正弦函数 , R 的图象 (图 5.4.4) 正弦函数的图象叫做正弦曲线(sinecueve),是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线 思考:在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点? 观察图 5.4.3,在函数 , 0,2的图象上,以下五个点: 在确定图象形状时起关键作用 描出这五个点, 函数 , 0,2的图象形

6、状就基本确定了因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的由三角函数的定义可知,正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数下面我们利用这种关系,借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象 思考:你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系,通过怎样的图形变换,才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象? 对于函数 , 由诱导公式 ( ) 得, ( ) R 而函数 ( ) R 的图象可以通过正弦函数 , R 的图象向左平移 个单位长度而得到所以,将正弦函数的图象向左平移 通过对正弦函数图像,推导出余弦函数图像的方法,发

7、展学生,逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养; 通过对典型问题的分析解决,发展学生数学建模、逻辑推理,直 个单位长度,就得到余弦函数的图象,如图 5.4.5 所示你能说明理由吗? 余弦函数 , R 的图象叫做余弦曲线(cosinecurve)它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线 类似于用“五点法”画正弦函数图象,找出余弦函数在区间,上相应的五个关键点,将它们的坐标填入表 5.4.1,然后画出 , ,的简图 (三)典例解析 例 1、用“五点法”作出下列函数的简图 (1)y1sin x,x0,2; (2)y-cos x,x0,2. 【精彩点拨】 在0,2上找出五个关键

8、点,用光滑的曲线连接即可 在直角坐标系中描出五点,然后用光滑曲线顺次连接起来,就得到 y1sin x,x0,2的图象 x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 1sin x 1 2 1 0 1 【解析】 (1)列表: (2)列表: x 0 2 32 2 cos x 1 0 1 0 1 -cos x -1 0 1 0 -1 描点连线,如图 观想象、数学抽象、数学运算等核心素养; 你能利用函数 ysin x,x0,2的图象,通过图象变换得到 y1sin x,x0,2的图象吗?同样地,利用函数 ycosx,x0,2 图象,通过怎样的图象变换就能得到函数 y-cosx,x0,2 的图象?

9、方法与规律方法与规律 1“五点法”是作三角函数图象的常用方法,“五点”即函数图象最高点、最低点与 x 轴的交点 2列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节,注意用光滑的曲线连接五个关键点 三、当堂达标 1以下对于正弦函数 ysin x 的图象描述不正确的是( ) A在 x2k,2k2,kZ 上的图象形状相同,只是位置不同 B关于 x 轴对称 C介于直线 y1 和 y1 之间 D与 y 轴仅有一个交点 【解析】 观察 ysin x 的图象可知 A,C,D 正确,且关于原点中心对称,故选 B. 【答案】 B 2用“五点法”作函数 ycos 2x,xR 的图象时,首先应描出的五个点的横坐

10、标是( ) A0,2,32,2 B0,4,2,34, C0,2,3,4 D0,6,3,2,23 【解析】 令 2x0,2,32和 2,得 x0,4,2,34,故选 B. 【答案】 B 3点 M2,m 在函数 ysin x 的图象上,则 m 等于( ) A0 B1C1 D2 【解析】 由题意msin 2,m1,m1. 通过练习巩固本节所学知识,巩固对正余弦函图像的理解,增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 【答案】 C 4函数 ycos x 与函数 ycos x 的图象( ) A关于直线 x1 对称 B关于原点对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称 【解析】 作出函

11、数 ycos x 与函数 ycos x 的简图(略),易知它们关于 x 轴对称,故选 C. 【答案】 C 5方程 x2cos x0 的实数解的个数是_ 【解析】 作函数 ycos x 与 yx2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解 【答案】 2 6用“五点法”画出 ycos72x ,x0,2的简图 【解】 由诱导公式得 ycos72x sin x, (1)列表: x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 (2)描点:在坐标系内描出点(0,0),2,1 ,(,0),32,1 ,(2,0) (3)作图:将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来 四、小结 1.正、余弦函数的图象每相隔 2个单位重复出现,因此,只要记住它们在0,2内的图象形态,就可以画出正弦曲线和余弦曲线. 2.作与正、余弦函数有关的函数图象,是解题的基本要求,用“五点法”作图是常用的方法. 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习,自主总结知识要点,及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点;