1、5.1.25.1.2 弧度制弧度制 本节课是普通高中教科书人教 A 版必修第一册第五章第一节第二课， 本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌握角度制 B.能灵活运用弧长公
2、式、扇形面积公式解决问题； C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法。 1.数学抽象： 角集与实数集间的一一对应； 2.逻辑推理：弧长公式及扇形的面积公式； 3.数学运算：求扇形的弧长和面积； 4.直观想象：由函数的图象表示函数； 5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。 1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明； 2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 【答案】角度制的单位有：度、分、秒。 2.1的角是
3、如何定义的？ 【答案】规定：圆周 1/360 的圆心角称作 1角。 这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制 . 日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长 80 厘米，也可以说长 0.8 米，显然两种结果出现了不同的数值。在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 弧度制，它是如何定义呢？ 二、探索新知 探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？ 角度为 300、 600的圆心角， 半径 r=1,2,3 时， （1）分别计算相对应的弧长 l （2）分别计算对应弧长与半径之比 思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？ 【答案】.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径
4、大小无关； 圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关； 1.弧度的概念 通过复习初中所学角的单位及定义， 类比长度的不同度量制，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 通过探究与思考，寻找弧长、 半径与圆心角之间的关系，进而得弧度的定义，提高学生的解决问题、 分析问题的能力。 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度(radian)的角. 弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是 rad. 约定： 正角的弧度数为正数， 负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为 0. 思考 1:圆的半径为 r,
5、弧长分别为 2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度 数是多少? 【答案】2rad,-3rad. 思考 2：如果半径为 r 的圆的圆心角所对的弧长为 l，那么，角的弧度数的绝对值如何计算？ 【答案】rl | 结论：圆心角 AOB 的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。 2.角度与弧度的换算 思考 3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？ 【答案】360，2。1802360， 思考 4：根据上述关系，1等于多少弧度， 1 rad 等于多少度？ 【答案】30.57180rad,1rad01745. 01801）（ 例1. 把 67
6、30化成弧度。 【解析】因为，）（21350367 通过思考，进一步巩固弧度制的定义，提高学生分析问题、概括能力。 通过思考，归纳弧度与角度的互化。提高学生分析问题、概括能力。 所以radrad8321351800367。 例2. 把下列各角的弧度化为度数。 （1）42125）（ 【解析】（1）75125180125）（ 4518042）（）（ 注：角度制与弧度制互化时要抓住 180= rad 这个关键。 注: 常规写法 用弧度数表示角时， 常常把弧度数 写成多少的形式， 不必写成小数 用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数. 弧度与角度不能混用即不
7、能出现这样的形式:630。 填写下列表中特殊角的弧度数或度数。 角度 00 300 600 1200 1350 2700 弧度 4 2 65 2 3. 角 的 概 念 推 广 后 ， 角 与 实 数 之 间 建 立 了 一 一 对 应 关 系 ， 通过例题学会角度与弧度的转化， 提高学生解决问题的能力。 任意角的集合 实数集 R 例 3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）2R21S2）（Rl lR21S3）（。 （ 其 中R是 扇 形 的 半 径 ，l是 弧 长 ，为圆心角（)20，S 是扇形的面积）。 通过例题总结弧度制下的扇形的弧长公式、 扇形的面积公式，提高学生的观察、概括能力。 三、
8、达标检测 1正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( ) A2k，2k2(kZ) Bk，k2(kZ) C2k，2k2(kZ) Dk，k2(kZ) 【解析】 B 中 k1 时为，32 显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确 【答案】 A 2与 30角终边相同的角的集合是( ) Ak 3606，kZ B|2k30，kZ C|2k 36030，kZ D2k6， kZ 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 【解析】 3030180 rad6 rad， 与 30终边相同的所有角可表示为 2k6，kZ，故选
9、D 【答案】 D 3在半径为 10 的圆中，240的圆心角所对弧长为( ) A403 B203 C2003 D4003 【解析】 240240180 rad43rad， 弧长 l| r4310403，选 A 【答案】 A 4将1 485化成 2k(02，kZ)的形式为_ 【解析】 由1 4855360315， 所以1 485可以表示为1074. 【答案】 1074 5一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数 【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 ， 则 2Rl4. 由扇形的面积公式 S12 lR，得12lR1. 由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解
10、弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。 学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。只是学生的作业还是做得不太好。所以在讲解作业的时候要继续加强弧度制的定义的理解。 由得 R1，l2，lR2 rad. 扇形的圆心角为 2 rad. 四、小结 1. 1 弧度角的定义； 2.角度制与弧度制的联系与区别； 3.弧长公式与扇形的面积公式; 五、作业 习题 5.1 5.（2）、（4）,6.（1）,9 题 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。