1、【新教材】【新教材】5.2.2 同角三角函数的基本关系教学设计（人教同角三角函数的基本关系教学设计（人教 A 版）版） 本节内容是学生学习了任意角和弧度制，任意角的三角函数后，安排的一节继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数知识的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。 课程目标课程目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式； 2.逻辑推理： “sin
2、 cos ”同“sin cos ”间的关系； 3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明 重点：重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用； 难点：难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明 教学方法：教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：教学工具：多媒体。 一、 情景导入情景导入 公式一表明终边相同的角的三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本
3、 182-183 页，思考并完成以下问题 1同角三角函数的基本关系式有哪两种？ 2同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2 cos2 1. 商数关系：sin cos tan_k2，kZ . (2)语言叙述：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 的正切 思考：“同角”一词的含义是什么？ 提示 一是“角相同”，如 sin2cos21 就不一定成立二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如 sin21
4、5 cos215 1，sin219cos2191 等 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 应用同角三角函数关系求值应用同角三角函数关系求值 例例 1 (1)若3sin5 ，求 cos ，tan 的值； (2)已知 cos 817，求 sin ，tan 的值 【答案】(1)当 是第三象限角时，cos 45，tan 34. 是第四象限角时，cos 45，tan -34 (2)如果 是第二象限角，那么 sin 1517，tan 158. 如果 是第三象限角， sin 1517，tan 158. 【解析】(1)sin 35， 是第三、第四象限角， 当 是第三象限角时， cos
5、1sin245，tan sin cos 34. 是第四象限角时， cos 1sin245，tan sin cos -34 (2) cos 8170， 是第二或第三象限的角 如果 是第二象限角，那么 sin 1cos2181721517， tan sin cos 1517817158. 如果 是第三象限角，同理可得 sin 1cos21517，tan 158. 解题技巧：（利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法） (1)已知角 的某一种三角函数值，求角 的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系 (2)若角 所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有
6、一组结果；若角 所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果 提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号 跟踪训练一跟踪训练一 1已知 sin 3cos 0，求 sin ，cos 的值 【答案】角 的终边在第二象限时，cos 1010，sin 31010； 当角 的终边在第四象限时，cos 1010，sin 31010. 【解析】 sin 3cos 0，sin 3cos . 又 sin2cos21，(3cos )2cos21，即 10cos21， cos 1010. 又由 sin 3cos ，可知 sin 与 cos 异号， 角 的终边在第二或第四象限 当角
7、 的终边在第二象限时，cos 1010，sin 31010； 当角 的终边在第四象限时，cos 1010，sin 31010. 题型二题型二 三角函数式的化简、求值三角函数式的化简、求值 例例 2 (1)化简：12sin 130 cos 130sin 130 1sin2130； (2)若角 是第二象限角，化简：tan 1sin21. 【答案】（1）1； （2）-1. 【解析】 (1)原式 sin2130 2sin 130 cos 130 cos2130sin 130 cos2130 |sin 130 cos 130 |sin 130 |cos 130 |sin 130 cos 130sin 1
8、30 cos 1301. (2)原式tan 1sin2sin2tan cos2sin2sin cos |cos |sin |，因为 是第二象限角，所以 sin 0，cos 0，所以原式sin cos |cos |sin |sin cos cos sin 1. 解题技巧：(化简三角函数式的常用方法) 1、切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简. 2、对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的 3、对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的. 提醒：在应用平方关系式求 sin 或 cos
9、 时，其正负号是由角 所在的象限决定，不可凭空想象. 跟踪训练二跟踪训练二 1化简：(1)cos 36 1cos23612sin 36 cos 36； (2)sin cos tan 1. 【答案】(1)1；(2) cos . 【解析】 (1)原式cos 36 sin236sin236 cos236 2sin 36 cos 36cos 36 sin 36cos 36 sin 362cos 36 sin 36|cos 36 sin 36 |cos 36 sin 36cos 36 sin 361. (2)原式sin cos sin cos 1cos sin cos sin cos cos . 题型三
10、题型三 三角函数式的证明三角函数式的证明 例例 3 求证：cos1sin.1sincosxxxx. 【答案】见解析 【解析】 22cos0,sin1,1 sin0cos (1 sin )=(1 sin )(1 sin )cos (1 sin )1 sincos (1 sin )cos1 sincosxxxxxxxxxxxxxxx 证明：由知所以，于是左边右边所以，原式成立. 解题技巧：（三角函数式解题思路及解题技巧） 1证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法) 2常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；
11、(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式) 3解决此类问题要有整体代换思想 跟踪训练三跟踪训练三 1求证：12sin xcos xcos2xsin2x1tan x1tan x. 【答案】见解析 【解析】证明： 右边1sin xcos x1sin xcos xcos xsin xcos xsin x cos xsin x2cos xsin xcos xsin x12sin xcos xcos2xsin2x左边， 原等式成立 题型四题型四 “sin cos ”同同“sin cos ”间的关系间的关系 例例 4 已知 sin cos 15，且 0. 求：(1)sin cos 的值； (2
12、)求 sin cos 的值 【答案】(1)1225； (2)75. 【解析】证明：(1)sin cos 15，(sin cos )2125， 12sin cos 125，即 sin cos 1225. (2)(sin cos )212sin cos 124254925. 又0，且 sin cos 0， sin 0，cos 0，sin cos 0， sin cos 75. 解题方法解题方法（ “sin cos ”同“sin cos ”间的关系） 1、已知 sin cos 求 sin cos ，只需平方便可 2、已知 sin cos 求 sin cos 时需开方，此时要根据已知角 的范围，确定 s
13、in cos 的正负 跟踪训练四跟踪训练四 1.已知 sin cos 713，(0，)，则 tan 2.已知sin cos sin cos 2，计算下列各式的值： (1)3sin cos 2sin 3cos ； (2)sin22sin cos 1. 1、【答案】125. 【解析】法一：(构建方程组) 因为 sin cos 713， 所以 sin2cos22sin cos 49169， 即 2sin cos 120169. 因为 (0，)，所以 sin 0，cos 0. 所以 sin cos （sin cos ）2 12sin cos 1713. 由解得 sin 1213，cos 513， 所以
14、 tan sin cos 125. 法二：(弦化切) 同法一求出 sin cos 60169，sin cos sin2cos260169，tan tan2160169， 整理得 60tan2169tan 600，解得 tan 512或 tan 125. 由 sin cos 7130 知|sin |cos |，故 tan 125. 2.【答案】（1）89；(2)1310. 【解析】由sin cos sin cos 2， 化简得 sin 3cos ， 所以 tan 3. （1）法一(换元)原式3 3cos cos 2 3cos 3cos 8cos 9cos 89. 法二(弦化切)原式3tan 12tan 33 312 3389. (2)原式sin22sin cos sin2cos21 tan22tan tan211322 332111310. 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、作业七、作业 课本 184 页练习及 184 页习题 5.2. 学生容易推导出同角三角函数的基本关系式， 但对于运用初学时一部分学生感到困难， 经多例题讲解、巩固练习、小组讨论后，难点基本得以突破。 5.2.2 同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 例 3 例 4 例 1 例 2