1、【新教材】【新教材】5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念 教学设计（人教教学设计（人教 A 版）版） 三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。 三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。 三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更
2、加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。 课程目标课程目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号 3.掌握公式一并会应用 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义； 2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值； 3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号； 4.数学运算：诱导公式一的运用. 重点：重点：借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； 掌握任意角三角函数(正弦、余弦
3、、正切)在各象限的符号. 难点：难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 教学方法：教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：教学工具：多媒体。 一、 情景导入情景导入 在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心 O 为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本 1
4、77- 180 页，思考并完成以下问题 1任意角三角函数的定义？ 2任意角三角函数在各象限的符号？ 3诱导公式一？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆 2任意角的三角函数的定义 (1)条件在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么： 图 1- 2- 1 (2)结论 y 叫做 的正弦，记作 sin_，即 sin y； x 叫做 的余弦，记作 cos_，即 cos x； yx叫做 的正切，记作 tan_，即 tan yx
5、(x0) (3)总结 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数 思考：若已知 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？ 在平面直角坐标系中，设 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点 O 的距离是 r(r x2y20) 三角函数 定义 定义域 名称 sin R 正弦 cos R 余弦 tan k2，kZ 正切 正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 sin R cos R tan xR xk2，kZ 4正弦、余弦、正切函数值在各象限内
6、的符号 (1)图示： 图 1- 2- 2 (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 5诱导公式一 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 三角函数的定义及应用三角函数的定义及应用 例例 1 在平面直角坐标系中，角 的终边在直线 y2x 上，求 sin ，cos ，tan 的值 【答案】当 的终边在第二象限时，sin 2 55，cos 55，tan 2. 当 的终边在第四象限时， sin 2 55，cos 55，tan 2. 【解析】当 的终边在第二象限时，在 终边上取一点 P(1，2)，则 r1222 5， 所以 sin 252 55，cos 1555，tan 212
7、. 当 的终边在第四象限时， 在 终边上取一点 P(1，2)， 则 r 1222 5， 所以 sin 252 55，cos 1555，tan 212. 解题技巧：（已知角 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法） (1)先利用直线与单位圆相交， 求出交点坐标， 然后再利用正、 余弦函数的定义求出相应的三角函数值 (2)在 的终边上任选一点 P(x，y)，设 P 到原点的距离为 r(r0)，则 sin yr，cos xr.当已知 的终边上一点求 的三角函数值时，用该方法更方便 跟踪训练一跟踪训练一 1已知角 终边上一点 P(x,3)(x0)，且 cos 1010 x，求 sin ，tan . 【
8、答案】当 x1 时，sin 3 1010，tan 3； 当 x1 时，此时 sin 3 1010，tan 3. 【解析】由题意知 r|OP| x29，由三角函数定义得 cos xrxx29. 又cos 1010 x，xx291010 x.x0，x 1. 当 x1 时，P(1,3)，此时 sin 312323 1010，tan 313. 当 x1 时，P(1,3)，此时 sin 312323 1010，tan 313. 题型二题型二 三角函数值的符号三角函数值的符号 例例 2 (1)若 是第四象限角，则点 P(cos ，tan )在第_象限 (2)判断下列各式的符号： sin 183 ；tan
9、74；cos 5. 【答案】（1）四； （2） sin 183 0；tan 740. 【解析】(1) 是第四象限角，cos 0，tan 0， 点 P(cos ，tan )在第四象限 (2) 180 183 270 ，sin 183 0； 32742，tan 740； 3250. 解题技巧：(判断三角函数值在各象限符号的攻略) (1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号； (3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号 跟踪训练二跟踪训练二 1确定下列式子的符号： (1) ta
10、n 108 cos 305 ；(2)cos 56 tan 116sin 23；(3)tan 120 sin 269 . 【答案】(1) tan 108 cos 305 0；(2) cos 56 tan 116sin 230； （3）tan 120 sin 269 0. 【解析】(1)108 是第二象限角，tan 108 0. 305 是第四象限角，cos 305 0.从而 tan 108 cos 305 0. (2)56是第二象限角，116是第四象限角，23是第二象限角， cos 560，tan1160，sin 230.从而cos 56 tan 116sin 230. (3)120 是第二象限
11、角，tan 120 0，269 是第三象限角，sin 269 0. 从而 tan 120 sin 269 0. 题型三题型三 诱导公式一的应用诱导公式一的应用 例例 3 求值：(1)tan 405 sin 450 cos 750 ； (2)sin73cos236tan154cos133. 【答案】（1）32；（2）54. 【解析】 (1)原式tan(360 45 )sin(360 90 )cos(2 360 30 ) tan 45 sin 90 cos 30 113232. (2)原式sin23cos46tan44 cos43 sin3cos6tan4cos3323211254. 解题技巧：（
12、利用诱导公式一进行化简求值的步骤） (1)定形：将已知的任意角写成 2k 的形式，其中 0，2)，kZ. (2)转化：根据诱导公式，转化为求角 的某个三角函数值 (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值 跟踪训练三跟踪训练三 1化简下列各式： (1)a2sin(1 350 )b2tan 405 2abcos(1 080 )； (2)sin116cos125tan 4. 【答案】（1）(ab)2 ； （2）12. 【解析】(1)原式a2sin(4 360 90 )b2tan(360 45 )2abcos(3 360 ) a2sin 90 b2tan 45 2abcos 0 a2b22ab(ab)2. (2)sin116 cos125 tan 4 sin26cos125 tan 0sin6012. 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 5.2.1 三角函数的概念 1. 三角函数的定义 例 1 例 2 例 3 2三角函数在各象限的符号 3诱导公式一 七、作业七、作业 课本 179 页练习及 182 页练习. 本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.