1、5.1.15.1.1 任意角任意角 本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修一（人教 A 版）第五章三角函数，本节课是第 1 课时，本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示法。树立运动变化的观点,并由此进一步理解推广后的角的概念。教学方法可以选用讨论法,通过实际问题， 如时针与分针、 体操等等都能形成角的流念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确规定角的概念，通过具体问题让学生从不同角度理解终边相同的角,从特殊到一般归纳出终边相同的角的表示方法。 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A. B.掌握正角、负角、零角及象限角的定义，
2、理解任意角的概念； C.掌握终边相同的角的表示方法； D.会判断角所在的象限。 1.数学抽象：角的概念； 2.逻辑推理：象限角的表示； 3.数学运算：判断角所在象限； 4.直观想象：从特殊到一般的数学思想方法； 1.教学重点：任意角的概念，象限角的表示； 2.教学难点：终边相同角的表示，区间角的集合书写。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1. 初中学过角的概念，范围是多大? 【答案】有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围：0360。 二、探索新知 （一）角的概念 1.思考： （1）.体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？ （2）.经过
3、 1 小时，秒针、分针各转了多少度？ （3） .在齿轮传动中， 被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转， 既可以按逆时针方向旋转， 也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转 60所形成的角，与按顺时针方向旋转 60所形成的角是否相等？ 2.角的概念： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角. 3.角的构成要素：终边、始边、顶点。 4.规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 通过复习初中角的概念，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 通过思考引入角的概念，提高
4、学生的解决问题、分析问题的能力。 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角. 660,150210. 5负角，负角画出下列各角：正角 【解析】 6.。量相等，那么就称的旋转方向相同且旋转与角角 。这时终边所对应的角是，的终边旋转角把角是任意两个角，规定：，设 7、 把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反数。 .的相反角记为角 )(。 （二）、象限角 思考 1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么对 通过画正角、负角，让学生进一步理解任意
5、角的概念，提高学生分析问题、概括能力。 一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？ 思考 2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50，405，210, -200，-450分别是第几象限的角？ 【解析】 第四象限角 第一象限角 第三象限角 第二象限角 轴线角 思考 3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 【解析】象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. （三）、终边相同的角 思考 1： -32，328，-392是第几象限的角？ 这些角有什么内在联系？ 通过思考，让学生理解象限角的
6、概念，提高学生解决问题的能力。 通过思考，进一步理解象限角的概念，提高学生解决问题的能力。 【解析】都是第四象限角，这些角相差 3600的整数倍数。 思考：所有与-32角终边相同的角，连同-32角在内，可构成一个集合 S，你能用描述法表示集合 S 吗？ 【解析】,36032|SZkk 思考 3：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内所构成的集合 S 可以怎样表示？ 【解析】S=|=k360，kZ， 即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 例 1. 在 0360范围内， 找出与-95012角终边相同的角， 并判定它是第几象限角. 【解析】,36038412921950所以在36
7、00范围内，与。终边相同的角是8412921950所以它是第二象限角。 思考 4：终边在 x 轴正半轴、负半轴，y 轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ 【解析】x 轴正半轴：= k360，kZ ； x 轴负半轴：= 180k360，kZ ； y 轴正半轴：= 90k360，kZ ； y 轴负半轴：= 270k360，kZ 。 例 2. 写出终边在 y 轴上的角的集合. 通过思考，让学生观察终边相同的角之间的关系，提高学生的观察、概括能力。 通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的解：在 0360范围内，终边在 y 轴上的角有两个，即 90，270角（如图）.因此，
8、所有与 90角终边相同的角构成集合 S1=|=90+k360.kZ. 而所有与 270角终边相同的角构成集合 S2=|=270+k360.kZ. 于是，终边在 y 轴上的角的集合 S=S1S2 =|=90+2k180，kZ |=90+180+2k180，kZ =|=90+2k180，kZ |=90+（2k+1）180，kZ =|=90+n180，nZ 例 3.写出终边在直线 y=x 上的角的集合 S，并把 S 中适合不等式-360720的元素写出来. 【解析】S=|=45+k180,kZ. S 中适合不等式-360720的元素有： -315，-135,45,225,405,585. 能力。 三
9、、达标检测 1已知集合 A第一象限角，B锐角，C小于 90 的角，则下面关系正确的是( ) AABC BAC CACB DBCC 【答案】D 【解析】由已知得 B C，所以 BCC，故 D 正确 2下列各个角中与 2 019 终边相同的是( ) A149 B679 C319 D219 【答案】【答案】D 【解析】因为 2 019 360 5219 ，所以与 2 019 终边相同的角是219 . 3 已知角 的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)， 那么角 的集合是_ 【答案】|k 360 45 k 360 150 ，kZ 【解析】观察图形可知，角 的集合是|k 360 45 k 360 1
10、50 ，kZ 4在 0 到 360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： (1)120 ；(2)640 . 【解析】 (1)与120 终边相同的角的集合为 M|120k 360 ，kZ 当 k1 时，120 1360 240 ， 在 0 到 360 范围内，与120 终边相同的角是 240 ，它是第通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 任意角 这一节是必修一第一节第一课时,根据课程标准,学生需要掌握的知识包括:任意角的概念,终边相同的角的表示,象限角的判断。任意角是对初中已经掌握的 0-360角的推广,所以先复习初中学习过的角,并通过发现生活中一些不在0-360内的角作为例子引入本节课题,这点是比较成功之处。 三象限的角 (2)与 640 终边相同的角的集合为 M|640 k 360 ，kZ 当 k1 时，640 360 280 ， 在 0 到 360 范围内，与 640 终边相同的角为 280 ，它是第四象限的角 四、小结 1. 角的定义； 2.角的分类：正角、零角、负角； 3.象限角; 4.终边相同的角的表示法。 五、作业 习题 5.1 1.（3）,2.（4）（7）,3 题 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。