1、2019-2020 学年广西崇左市高二（上）期末数学试卷（理科）学年广西崇左市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的. 1 （5 分）若一个数列的前 4 项分别是，则该数列的一个通项公式为（ ） A B C D 2 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 b（ ） A B C D 3 （5 分）命题“x00，x024x0+30”的否定是（ ） Ax0，x24x+30
2、Bx00，x024x0+30 Cx0，x24x+30 Dx00，x024x0+30 4 （5 分）已知点 P（2，4）在抛物线 y22px（p0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （0，4） C （2，0） D （4，0） 5 （5 分）在等差数列an中，a21，a3+a716，则an的公差 d（ ） A1 B2 C3 D4 6 （5 分）已知双曲线1 的焦点与椭圆1 的焦点相同，则 m（ ） A1 B3 C4 D5 7 （5 分）在等比数列an中，若 a2+a53，a5+a86，则 a11（ ） A4 B8 C16 D32 8 （5 分） 在ABC 中， 角 A，
3、B， C 所对的边分别为 a， b， c， asin2BbcosAcosB， 则ABC 的形状是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 9 （5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是该双曲线上的一点，且|PF1|10，则|PF2|（ ） A2 或 18 B2 C18 D4 10 （5 分）已知命题 p：在ABC 中，若 AB，则 cosA+cosB0，命题 q：在等比数列an中，若 a2a616，则 a44下列命题是真命题的是（ ） Ap（q） B （p）q C （p）（q） Dpq 11 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和 Sn有最小值，且，则
4、使得 Sn0 成立的 n 的最小值是（ ） A11 B12 C21 D22 12 （5 分）已知椭圆的左焦点为 F，点 A 是椭圆 C 的上顶点，直线 l：y2x 与椭圆 C 交于 M，N 两点若点 A 到直线 l 的距离是 1，且|MF|+|NF|不超过 6，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填在答题卡中的横线上将答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）双曲线的焦距是 14 （5 分）已知 ab0，且 a+b2，则的最小值是 15 （5 分）直线 l：ykx+
5、2 与椭圆有公共点，则 k 的取值范围是 16 （5 分） 从某建筑物的正南方向的 A 处测得该建筑物的顶部 C 的仰角是 45， 从该建筑物的北偏东 30的 B 处测得该建筑物的顶部 C 的仰角是 30， A， B 之间的距离是 35 米， 则该建筑物的高为 米 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程 （1）焦点坐标为 F1（2，0）和 F2（2，0） ，P 为椭圆上的一点，且|PF1|+|PF2|8； （2）离心率是，长轴
6、长与短轴长之差为 2 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 B 的值； （2）若 b2，且ABC 的面积为，求ABC 的周长 19 （12 分）已知 p：函数 f（x）|axm|（a0）在区间1，+）上单调递增，q：关于 x 的不等式 x2+mx+m0 的解集非空 （1）当 a3 时，若 p 为真命题，求 m 的取值范围； （2）当 a0 时，若 p 为假命题是 q 为真命题的充分不必要条件，求 a 的取值范围 20 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn1an1（n2） （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn
7、log2an+1，求数列anbn的前 n 项和 Tn 21 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABAD，ADBC，PAPBPD，PE2EC，O 为 BD 的中点 （1）证明：OP平面 ABCD （2）若 AB2，BC2AD4，PA4，求二面角 CBDE 的余弦值 22 （12 分）如图，已知点 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45时，|MN|16 （1）求抛物线 C 的方程 （2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在
8、，请说明理由 2019-2020 学年广西崇左市高二（上）期末数学试卷（理科）学年广西崇左市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的. 1 （5 分）若一个数列的前 4 项分别是，则该数列的一个通项公式为（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析数列的前 4 项变化的规律，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，一个数列的前 4 项分别是， 则有 a1， a2
9、， a3， a4， 故 an； 故选：B 【点评】本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的应用，属于基础题 2 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 b（ ） A B C D 【分析】直接利用正弦定理的应用求出结果 【解答】解：利用正弦定理：因为， 所以 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 3 （5 分）命题“x00，x024x0+30”的否定是（ ） Ax0，x24x+30 Bx00，x024x0+30 Cx0，x24x+30 Dx00，x024x0+30 【
10、分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x00，x024x0+30”的否定是x0，x24x+30 故选：C 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 4 （5 分）已知点 P（2，4）在抛物线 y22px（p0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （0，4） C （2，0） D （4，0） 【分析】利用已知条件求出 P，然后求解抛物线的焦点坐标 【解答】解：因为点 P（2，4）在抛物线 y22px 的准线上， 所以，所以 p4，则该抛物线的焦点坐标是（2，0） 故选：C 【点评
11、】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 5 （5 分）在等差数列an中，a21，a3+a716，则an的公差 d（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据 2a5a3+a78 来求 a5，则 d 【解答】解：因为 a3+a716，所以 2a5a3+a78 所以 a58， 所以 d3 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题 6 （5 分）已知双曲线1 的焦点与椭圆1 的焦点相同，则 m（ ） A1 B3 C4 D5 【分析】求出椭圆与双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可 【解答】解：因为椭圆1 的焦点坐标（，0） ， 双曲线1 的焦点坐
12、标（，0） 所以，解得 m1 故选：A 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 7 （5 分）在等比数列an中，若 a2+a53，a5+a86，则 a11（ ） A4 B8 C16 D32 【分析】根据等比数列的性质求得公比 q 和 a2的值，然后代入 a11a2q3求值即可 【解答】解：因为 a2+a53，a5+a86， 所以 q32， 因为 a2+a5a2（1+q3）3， 所以 a21，则 a11a2q91238 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题 8 （5 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c
13、， asin2BbcosAcosB， 则ABC 的形状是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 【分析】由正弦定理，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得sinBcos（A+B）0，结合 A，B 的范围，可求，由此得解三角形的形状 【解答】解：因为 asin2BbcosAcosB， 所以 sinAsin2BsinBcosAcosB， 所以 sinB（sinAsinBcosAcosB）0， 即sinBcos（A+B）0 因为 0A，0B， 所以， 故ABC 是直角三角形 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础
14、题 9 （5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是该双曲线上的一点，且|PF1|10，则|PF2|（ ） A2 或 18 B2 C18 D4 【分析】判断 P 所在位置，然后利用双曲线的定义转化求解即可 【解答】解：因为|PF1|10a+c12，所以点 P 在该双曲线左支上，则|PF2|2a+|PF1|24+1018 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，是基本知识的考查 10 （5 分）已知命题 p：在ABC 中，若 AB，则 cosA+cosB0，命题 q：在等比数列an中，若 a2a616，则 a44下列命题是真命题的是（ ） Ap（q）
15、B （p）q C （p）（q） Dpq 【分析】推导出命题 p 是真命题，命题 q 是假命题从而 p（q）是真命题 【解答】解：设 A+B，则 cosAcosB， 因为 A+B，所以 0BB， 所以 cosBcosB，则 cosBcosA， 即 cosA+cosB0，故命题 p 是真命题 因为 a2a616，所以，所以 a44，则命题 q 是假命题 p（q）是真命题 故选：A 【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查三角函数、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 11 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和 Sn有最小值，且，则使得 Sn0 成立的 n 的最小值是（ ） A1
16、1 B12 C21 D22 【分析】 由题意可得等差数列an的公差 d0 推导出 a120， a110， 从而 a11+a120， 进而 S2121a110由此能求出使得 Sn0 成立的 n 的最小值 【解答】解：由题意可得等差数列an的公差 d0 因为，所以 a120，a110， 所以 a11+a120， 则， S2121a110故使得 Sn0 成立的 n 的最小值是 22 故选：D 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和取最小值时项数 n 的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 12 （5 分）已知椭圆的左焦点为 F，点 A 是椭圆 C 的上顶点，直线 l：y2x
17、 与椭圆 C 交于 M，N 两点若点 A 到直线 l 的距离是 1，且|MF|+|NF|不超过 6，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A B C D 【分析】构造椭圆 C 的右焦点为 F，根据对称性，求得 a3根据点到直线的距离公式求得 b，跟椭圆的离心率公式即可求得 e 的取值范围 【解答】解：设椭圆 C 的右焦点为 F，连接 MF，NF由椭圆的对称性可知四边形 MFNF是平行四边形，则|MF|+|NF|2a，则 2a6，即 a3 因为点 A 到直线 l 的距离是 1，所以， 所以， 则椭圆 C 的离心率 因为 a3，所以 a29， 所以， 即椭圆 C 的离心率 故选：A 【点评】本题
18、考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的焦点三角形的周长，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想，属于基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填在答题卡中的横线上将答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）双曲线的焦距是 20 【分析】利用双曲线的标准方程，直接求解即可 【解答】解：由题意双曲线可得 c10，则该双曲线的焦距是：2c20 故答案为：20 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 14 （5 分）已知 ab0，且 a+b2，则的最小值是 【分析】因为 a+b2，所以，再利用基
19、本不等式求出即可 【解答】解：因为 a+b2，所以， 因为 ab0，所以（当且仅当，时，等号成立） ， 所以， 故答案为： 【点评】考查基本不等式的应用，本题的关键是对式子的灵活变形，中档题 15 （ 5分 ） 直 线l ： y kx+2与 椭 圆有 公 共 点 ， 则k的 取 值 范 围 是 【分析】联立直线方程和椭圆方程，运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于 0，解不等式可得所求范围 【解答】解：联立 整理得（2k2+1）x2+8kx+60 因为直线 l 与椭圆 C 有公共点， 所以（8k）224（2k2+1）0， 解得或 故答案为： 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想
20、和运算能力，属于基础题 16 （5 分） 从某建筑物的正南方向的 A 处测得该建筑物的顶部 C 的仰角是 45， 从该建筑物的北偏东 30的 B 处测得该建筑物的顶部 C 的仰角是 30， A， B 之间的距离是 35 米， 则该建筑物的高为 米 【分析】设该建筑物的高|OC|h，由题意可得|OA|h，由已知在OAB 中利用余弦定理可得，解方程即可得解该建筑物的高 【解答】解：设该建筑物的高|OC|h（O 为该建筑物的底部） ， 由题意可得|OA|h，|AB|35，AOB150， 则|AB|2|OA|2+|OB|22|OA|OB|cosAOB， 即， 解得 故答案为： 【点评】本题主要考查了余
21、弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于基础题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程 （1）焦点坐标为 F1（2，0）和 F2（2，0） ，P 为椭圆上的一点，且|PF1|+|PF2|8； （2）离心率是，长轴长与短轴长之差为 2 【分析】 （1）根据题意，由椭圆的焦点坐标可得椭圆的焦点位置以及 c 的值，由椭圆的性质可得 a、b 的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程即可得答案； （2） 根据题意， 分析可得，解可
22、得 a、 b 的值， 按焦点的位置分情况讨论， 求出椭圆的方程，综合即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，要求椭圆的焦点坐标为 F1（2，0）和 F2（2，0） ， 则其焦点在 x 轴上，且 c2， 又由|PF1|+|PF2|8，则 2a8，即 a4， 解可得：b2， 即要求椭圆的标准方程+1； （2）根据题意，要求椭圆的离心率是，长轴长与短轴长之差为 2， 则有， 解可得：a29，b24； 若椭圆的焦点在 x 轴上，则要求椭圆的方程为+1， 若椭圆的焦点在 y 轴上，则要求椭圆的方程为+1， 故椭圆的方程为+1 或+1 【点评】本题考查椭圆的标准方程的计算，注意椭圆的几何性质的应用，属于
23、基础题 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 B 的值； （2）若 b2，且ABC 的面积为，求ABC 的周长 【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果 （2）利用余弦定理的应用和三角形面积公式的应用求出结果 【解答】解： （1）由正弦定理及已知，化边为角得 A+B+C，sinAsin（B+C） ，代入得， 0C， 又0B， （2），ac4 由余弦定理，得 b2a2+c22accosB（a+c）23ac， （a+c）2b2+3ac16，a+c4， ABC 的周长为 6 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理、
24、余弦定理和三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 19 （12 分）已知 p：函数 f（x）|axm|（a0）在区间1，+）上单调递增，q：关于 x 的不等式 x2+mx+m0 的解集非空 （1）当 a3 时，若 p 为真命题，求 m 的取值范围； （2）当 a0 时，若 p 为假命题是 q 为真命题的充分不必要条件，求 a 的取值范围 【分析】 （1）当 a3 时，f（x）|3xm|由 p 为真命题，能求出 m 的取值范围 （2） 由 p 为假命题， 得， 由 a0， 得 ma 记满足 p 为假命题的 m 的取值集合为 A （
25、a， +） 由q 为真命题，得 m0 或 m4记满足 q 为真命题的 m 的取值集合为 B（，04，+） 利用 p为假命题是 q 为真命题的充分不必要条件，能求出 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a3 时，f（x）|3xm| 因为 p 为真命题，所以，即 m3， 故 m 的取值范围是（，3 （2）因为 p 为假命题，所以， 因为 a0，所以 ma 记满足 p 为假命题的 m 的取值集合为 A（a，+） 因为 q 为真命题，所以 m24m0，解得 m0 或 m4 记满足 q 为真命题的 m 的取值集合为 B（，04，+） 因为 p 为假命题是 q 为真命题的充分不必要条件，所以集合 A
26、是集合 B 的真子集，则 a4 故 a 的取值范围是4，+） 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查复合命题真假的判断一元二次不等式、含绝对值的函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题 20 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn1an1（n2） （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnlog2an+1，求数列anbn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）令 n2，求得 a2，再由数列的递推式，结合等比数列的通项公式可得所求； （2）求得 anbnn2n1，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和 【解答】解： （1）当 n2 时，S
27、1a21，即 a2a1+12； 当 n2 时，Sn1an1（1） ，Snan+11（2） ， 由（2）（1）得 SnSn+1an+1an，即 anan+1an， 即，又， 数列an为等比数列，公比为 2，首项为 1， an2n1， （2）由（1）可得 an+12n，bnlog2an+1n，anbnn2n1， Tn120+221+322+n2n1， （3） 2Tn12+222+323+n2n， （4） （3）（4）得， 【点评】本题考查数列的递推式的运用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题 21 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABAD
28、，ADBC，PAPBPD，PE2EC，O 为 BD 的中点 （1）证明：OP平面 ABCD （2）若 AB2，BC2AD4，PA4，求二面角 CBDE 的余弦值 【分析】 （1）取 AD 的中点 F，连接 PF，OF推导出 ADPF，OFABABAD，OFAD，从而 AD平面 POF进而 ADOP推导出 POBD由此能证明 OP平面 ABCD （2）以 O 为坐标原点，FO 所在直线为 x 轴，平行 AD 的直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz利用向量法能求出二面角 CBDE 的余弦值 【解答】解： （1）证明：取 AD 的中点 F，连接 PF，OF
29、， 因为 PAPD，F 为 AD 的中点，所以 ADPF 因为 O 为 BD 的中点，F 为 AD 的中点，所以 OFAB 因为 ABAD，所以 OFAD， 因为 OFPFF，OF平面 POF，PF平面 POF， 所以 AD平面 POF 又 OP平面 POF，所以 ADOP 因为 PBPD，O 为 BD 的中点，所以 POBD 因为 ADBDD，AD平面 ABCD，BD平面 ABCD， 所以 OP平面 ABCD （2）解：以 O 为坐标原点，FO 所在直线为 x 轴，平行 AD 的直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 则 O（0，0，0） ，B（1
30、，0） ，D（1，0） ，C（1，3，0） ，P（0，0，2） 因为 PE2EC，所以 E（，2，） ， 故（2，2，0） ，（，） ，（0，0，2） 设平面 BDE 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x，则 （，1，4） 记二面角 CBDE 的大小为 ，由图可知 为锐角， 则 cos|cos| 二面角 CBDE 的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 22 （12 分）如图，已知点 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点
31、，且当直线 l 的倾斜角为 45时，|MN|16 （1）求抛物线 C 的方程 （2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由直线 l 的斜率及过的点写出直线方程与抛物线联立求出两根之和，根据抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，再由相交弦长的值求出 p 值，进而求出抛物线的方程； （2）分直线 MN 的斜率存在和不存在两种情况，假设存在这样的 P 点，设 P 的坐标，设直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出 PM，PN 的斜率，由直线 PM，PN 关于 x 轴对称，可得斜
32、率之和为 0，求出 P 的坐标 【解答】解： （1）当 l 的斜率为 1 时，l 的方程为 由得 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x1+x23p， |MN|x1+x2+p4p16，p4， 抛物线 C 的方程为 y28x （2）法一：假设满足条件的点 P 存在，设 P（a，0） ，由（1）知 F（2，0） ， 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为 yk（x2） （k0） ， 由得 k2x2 （4k2+8） x+4k20， （4k2+8）24k24k264k2+640，x1x24 直线 PM，PN 关于 x 轴对称， kPM+kPN0， ， a2 时，此时 P（2，0）
33、 当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性， 易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需 P 与焦点 F 不重合即可 综上，存在唯一的点 P（2，0） ，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称 法二：假设满足条件的点 P 存在，设 P（a，0） ，由（1）知 F（2，0） ， 显然，直线 l 的斜率不为 0，设 l：xmy+2， 得 y28my160， 则 y1+y28m，y1y216.，kPM+kPN0（x2a）y1+（x1a）y20， （my2+2a）y1+（my1+2a）y20.2my1y2+（2a） （y1+y2）2m（16）+（2a）8m0， a2，存在唯一的点 P（2，0） ，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称 【点评】考查抛物线的性质及直线与抛物线综合应用，属于中档题