1、2019-2020 学年湖北省鄂州市高二（上）期末数学试卷学年湖北省鄂州市高二（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）直线 x20200 的倾斜角为（ ） A0 B C D不存在 2 （5 分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12
2、，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为（ ） A101 B808 C1212 D2012 3 （5 分）圆 x2+y2+2x4y0 的半径为（ ） A3 B C D5 4 （5 分）已知直线 l1：2xy20，l2：ax+4y+10，若 l1l2，则 a 的值为（ ） A8 B2 C D2 5 （5 分）椭圆+y21 的短轴长是（ ） A4 B2 C1 D 6 （5 分）已知集合 A1，1，在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K（x，y）|xA，yA，在 K 中随机取出两个不同的元素， 则这两个元素中恰有一个元素在圆 （x2）2+ （y+2）210 的内部的概率为 （ ） A
3、B C D 7 （5 分）已知方程表示双曲线，则 k 的取值范围是（ ） A1k1 Bk0 Ck0 Dk1 或 k1 8 （5 分）过三点 A（1，3） ，B（4，2） ，C（1，7）的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|（ ） A2 B8 C4 D10 9 （5 分）随机抽取一个年份，对鄂州市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴
4、雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率是（ ） A B C D 10 （5 分）已知圆 O1：x2+y21，圆 O2： （x+4）2+（ya）225，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数 a 为（ ） A0 B2 C0 或2 D0 或2 11 （5 分）已知 P 在抛物线 y24x，则点 P 到直线 l：2xy+80 和 y 轴的距离之和的最小值是（ ） A B1 C2 D21 12 （5 分）已知抛物线 x24y 与过抛物线焦点且斜率为 1 的直线相交于 A，B 两点，以 A，B 为切点与抛
5、物线相切的直线 PA，PB 相交于点 P，则PAB 的面积为（ ） A8 B16 C10 D14 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 14 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30，若SAB 的面积为 16，则该圆锥的体积为 15 （5 分） 已知曲线 y2+与直线 yk （x5） +4 有两个不同的交点， 则 k 的取值范围是 16 （5 分）设无论 m（mR）取何值，直线 mx+y22m
6、0 恒过定点（x0，y0） ，已知双曲线1（a0）的左右焦点依次为 F1，F2，且 P 为双曲线右支上任意一点（x 轴上的点除外） ，当点 P 运动时，焦点三角形F1PF2内切圆圆心始终在直线xx0上运动， 则双曲线1的渐近线方程为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知直线 2x+my2m10，不经过第二象限，求 m 的取值范围？ 18 （12 分）已知圆 C： （x1）2+y29 内有一点 P（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B
7、两点 （1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （写一般式） （2）当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 AB 的长 19 （12 分）某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 2019 年 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数， 得到如表： 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x（） 10 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组
8、，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验 （）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率； （）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ；并预报当温差为 14时，种子发芽数 附：回归直线方程： x+ ，其中 ； 20 （12 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1 （1）求证：A1CBC1 （2）求二面角 BA1CD 的大小 21 （12 分）某工厂对一批产品进行了抽样检测如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图， 其
9、中产品净重的范围是96， 106， 样本数据分组为96， 98） ， 98， 100） ， 100， 102） ，102，104） ，104，106，已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36 （1）求样本容量及样本中净重大于或等于 96 克并且小于 102 克的产品的个数； （2）已知这批产品中每个产品的利润 y（单位：元）与产品净重 x（单位：克）的关系式为 y，求这批产品平均每个的利润 22 （12 分）椭圆 C：的离心率为，短轴端点与两焦点围成的三角形面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且过点（0，4） ，O 为坐标原点，当OAB
10、 为直角三角形，求直线 l 的斜率 2019-2020 学年湖北省鄂州市高二（上）期末数学试卷学年湖北省鄂州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）直线 x20200 的倾斜角为（ ） A0 B C D不存在 【分析】由题意利用直线的倾斜角的定义，得出结论 【解答】解：直线 x20200，即 直线 x2020，故它和 x 轴垂直， 故它的斜率不存在，故它的倾斜角为，
11、故选：C 【点评】本题主要考查直线的倾斜角的定义，属于基础题 2 （5 分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为（ ） A101 B808 C1212 D2012 【分析】根据甲社区有驾驶员 96 人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为 12 求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数 【解答】解：甲社区有驾驶员 96 人，在甲社区中抽取驾驶员的人数
12、为 12 每个个体被抽到的概率为 样本容量为 12+21+25+43101 这四个社区驾驶员的总人数 N 为808 故选：B 【点评】本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题 3 （5 分）圆 x2+y2+2x4y0 的半径为（ ） A3 B C D5 【分析】利用圆的一般方程的性质求解 【解答】解：圆 x2+y2+2x4y0 的半径： r 故选：C 【点评】本题考查圆的直径的求法，是基础题，解题时要认真审题 4 （5 分）已知直线 l1：2xy20，l2：ax+4y+10，若 l1l2，则 a 的值为（ ） A8 B2 C D2
13、【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解 【解答】解：直线 l1：2xy20，l2：ax+4y+10，l1l2， 2a140， 解得 a2 故选：B 【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 5 （5 分）椭圆+y21 的短轴长是（ ） A4 B2 C1 D 【分析】利用椭圆的标准方程，直接求解即可 【解答】解：由题意可得 b1，所以椭圆的短轴长为 2 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 6 （5 分）已知集合 A1，1，在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K（x，y）|xA，yA，在 K 中随机取出两个
14、不同的元素， 则这两个元素中恰有一个元素在圆 （x2）2+ （y+2）210 的内部的概率为 （ ） A B C D 【分析】分别求出从 K 中取出两个不同元素的个数及恰好一个点在圆内的事件个数，然后结合古典概率的求解公式可求 【解答】解：由题意可得 K（1，1） ， （1，1） ， （1，1） ， （1，1），其中在圆（x2）2+（y+2）210 内的点有（1，1） ， 记 A（1，1） ，B（1，1） ，C（1，1） ，D（1，1） ，从 ABCD4 个点中取出 2 个的所有取法有 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种情况， 其中两个元素中恰有一个元素在圆（x2）2+（y+2）2
15、10 的内部的有 AD，BD，CD 共 3 种情况 概率 p 故选：B 【点评】本题 主要考查了古典概率的求解，解题的关键是找准基本事件的个数 7 （5 分）已知方程表示双曲线，则 k 的取值范围是（ ） A1k1 Bk0 Ck0 Dk1 或 k1 【分析】表示双曲线则或解出 【解答】解：由双曲线标准方程的形式，表示双曲线须或， 1k1 故选：A 【点评】要准确把握双曲线标准方程形式表示双曲线的充要条件是 mn0 8 （5 分）过三点 A（1，3） ，B（4，2） ，C（1，7）的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|（ ） A2 B8 C4 D10 【分析】设圆的方程为 x2+y2+Dx+
16、Ey+F0，代入点的坐标，求出 D，E，F，令 x0，即可得出结论 【解答】解：设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F0，则， D2，E4，F20， x2+y22x+4y200， 令 x0，可得 y2+4y200， y22， |MN|4 故选：C 【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键 9 （5 分）随机抽取一个年份，对鄂州市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23
17、24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率是（ ） A B C D 【分析】求得 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论 【解答】解：由题意，4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的概率为， 从而估计运动会期间不下雨的概率为 故选：C 【点评】本题考查概率的应用，考查学生的计算能力，确定基本事件的个
18、数是关键 10 （5 分）已知圆 O1：x2+y21，圆 O2： （x+4）2+（ya）225，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数 a 为（ ） A0 B2 C0 或2 D0 或2 【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得这两个圆内切或外切，进而可得4 或6，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，圆 O1：x2+y21，其圆心为（0，0） ，半径 R1， 圆 O2： （x+4）2+（ya）225，其圆心为（4，a） ，半径 R5， 若这两个圆有且只有一个公共点，则这两个圆内切或外切， 则有4 或6， 解可得：a0 或2； 故选：D 【点评】本题考查圆与
19、圆的位置关系，涉及圆与圆相切的判断，属于基础题 11 （5 分）已知 P 在抛物线 y24x，则点 P 到直线 l：2xy+80 和 y 轴的距离之和的最小值是（ ） A B1 C2 D21 【分析】求出抛物线的焦点 F，设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF|1，点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d+|PF|1易知 d+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，转化求解即可 【解答】解：由题意知，抛物线的焦点为 F（1，0） 设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF|1，
20、所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d+|PF|1 易知 d+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d+|PF|的最小值为， 所以 d+|PF|1 的最小值为， 故选：D 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知抛物线 x24y 与过抛物线焦点且斜率为 1 的直线相交于 A，B 两点，以 A，B 为切点与抛物线相切的直线 PA，PB 相交于点 P，则PAB 的面积为（ ） A8 B16 C10 D14 【分析】由题意求出直线 AB 的方程，与抛物线联立求出 A，B 的坐标，求出弦长 AB 的值，进而
21、求出在A，B 处的切线的方程，两个方程联立求出交点 P 的坐标，求出点 P 到直线 AB 的的距离，代入面积公式可得面积 【解答】解：由抛物线的方程可得，焦点 F 坐标（0，1） ，由题意可得直线 AB 的方程为：yx+1，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由抛物线的对称性设 A 在 y 轴右侧， 联立抛物线与直线的方程可得：，整理可得：x24x40，解得 x12+2，x222， 代入直线 AB 的方程可得：y13+2，y232，所以|AB|y1+y2+28， 即 A（2+2，3+2） ，B（22，32） ， x24y 可得 y，y， 所以直线 PA 的方程为：y（3+2）x（2+2）
22、（1+）x（2+2）， 同理可得直线 PB 的方程为：y（32）（1）（x（22）， 两个方程联立可得：xP2，yP1，即交点 P 的坐标（2，1） ， 所以 P 到直线 AB 的距离 d2， 所以 SPAB8， 故选：A 【点评】考查抛物线的性质，属于中档题 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 0.1 【分析】先求出数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5 的平均数，由此能求出该组数据的方差 【解答】解：数据 4.7，4.8，5.1，
23、5.4，5.5 的平均数为： （4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）5.1， 该组数据的方差： S2（4.75.1）2+（4.85.1）2+（5.15.1）2+（5.45.1）2+（5.55.1）20.1 故答案为：0.1 【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用 14 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30，若SAB 的面积为 16，则该圆锥的体积为 16 【分析】求出 SASBSCl，SAC30，AC，AB2l，从而16，解得 l4，由此能求出该圆锥的体积 【解答】解：依题意画图，如图： SA
24、SBSCl，SAC30，AC，AB2l， 16，解得 l4， AC4，r2，h2， 该圆锥的体积为：V16 故答案为：16 【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 15 （5 分）已知曲线 y2+与直线 yk（x5）+4 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 （0， 【分析】把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合求解 【解答】解：由 y2+，得（x2）2+（y2）24（y2） ， 直线 yk（x5）+4 恒过定点 A（5，4） ， 作出两曲线图象如图： 由图可知，要使曲线 y2+与直线 yk（x5）+4 有两个不同的交点
25、，则 k 的取值范围是（0， 故答案为： （0， 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题 16 （5 分）设无论 m（mR）取何值，直线 mx+y22m0 恒过定点（x0，y0） ，已知双曲线1（a0）的左右焦点依次为 F1，F2，且 P 为双曲线右支上任意一点（x 轴上的点除外） ，当点 P 运动时，焦点三角形F1PF2内切圆圆心始终在直线 xx0上运动，则双曲线1 的渐近线方程为 yx 【分析】由题意可得直线过的定点的坐标，进而可得焦点三角形F1PF2内切圆圆心始终在直线 xx0的横坐标，再由双曲线的定义及三角形内切圆与三角形三边的
26、切线长的关系可得 a 的值，进而求出双曲线的方程，求出渐近线的方程 【解答】解：mx+y22m0 整理可得：m（x2）+（y2）0，所以恒过（2，2） ， 所以 x02， 如图设三角形F1PF2内切圆与各边的切点分别为 M，N，E，设右顶点为 A（a，0） 因为 2aPF1PF2（PM+MF1）（PN+NF2）（PN+F1E）（PN+EF2）EF1EF2（c+OE）（cOE）2OE， 所以 OEa，即圆心 Q 的横坐标为 a， 由题意可得三角形F1PF2内切圆圆心始终在直线 xx02 上运动，所以 a2， 所以双曲线的方程为：1， 即 a24，b21， 所以渐近线的方程为：yx ， 故答案为：
27、yx 【点评】考查双曲线的性质，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知直线 2x+my2m10，不经过第二象限，求 m 的取值范围？ 【分析】分类讨论，即可求出 m 的取值范围 【解答】解： （1）当直线过一，三，四象限时， ，解得m0； （5 分） （2）当直线过原点时， 0，解得 m； （7 分） （3）当直线斜率不存在时， m0，代入满足题意； （9 分） 综上所述m0（10 分） 【点评】本题考查了直线方程的，考查了分类讨论的思想，属
28、于基础题 18 （12 分）已知圆 C： （x1）2+y29 内有一点 P（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点 （1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （写一般式） （2）当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 AB 的长 【分析】 （1）先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线 l 的斜率，再由点斜式方程可得到直线 l 的方程，最后化简为一般式即可 （2）先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线 l 的距离，进而根据勾股定理可求出弦长 【解答】解： （1）圆 C： （x1）2+y29 的圆心为 C（1，0） ， 因直线过点 P、C，所以直线
29、 l 的斜率为 2， 直线 l 的方程为 y2（x1） ，即 2xy20 （2）当直线 l 的倾斜角为 45时，斜率为 1， 直线 l 的方程为 y2x2，即 xy0 圆心 C 到直线 l 的距离为，圆的半径为 3，弦 AB 的长为 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，高考中对直线与圆的方程的考查以基础题为主，故平时就要注意基础知识的积累和应用，在考试中才不会手忙脚乱 19 （12 分）某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 2019 年 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数， 得到如
30、表： 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x（） 10 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验 （）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率； （）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ；并预报当温差为 14时，种子发芽数 附：回归直线方程： x+ ，其
31、中 ； 【分析】 （I）设这五组数据分别记为：1，2，3，4，5，利用列举法列出，利用古典概型求出即可； （2）由数据得：，由公式： ，123，求出线性回归方程，代入即可 【解答】解： （）设这五组数据分别记为：1，2，3，4，5， 则从中任取两组共有 10 个结果：分别为（1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （2，3） ， （2，4） ， （2，5） ，（3，4） ， （3，5） ， （4，5） ， 不相邻的结果有： （1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （2，4） ， （2，5） ， （3，5） ， 则 P； （）由数据得：， 由公式： ，123， 所以
32、线性回归方程：y， 所以：当 x14 时，y32，即种子发芽数为 32 【点评】考查古典概型求概率，求线性回归方程，中档题 20 （12 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1 （1）求证：A1CBC1 （2）求二面角 BA1CD 的大小 【分析】 （1）先证明 BC1平面 A1B1C，再根据线面垂直的性质，得到结论； （2）根据题意，判断BED 为二面角 BA1CD 的平面角，再根据余弦定理求出即可 【解答】解： （1）证明：连接 B1C，平面 B1BCC1是正方形， 所以 B1CBC1， 由 A1B1BC1，如图， 所以 BC1平面 A1B1C， 又 A1C平面 A1B1C， 所以 A1
33、CBC1； （2）设正方体棱长为 1作 BEA1C 于 E，连结 DE 由正方体的性质知，A1DCA1BC， 所以 DEA1C，BED 为二面角 BA1CD 的平面角，且 BEDE，BD， 所以 cosBED， 所以二面角 BA1CD 的为 120 【点评】考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查求二面角的平面角，余弦定理的应用，中档题 21 （12 分）某工厂对一批产品进行了抽样检测如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图， 其中产品净重的范围是96， 106， 样本数据分组为96， 98） ， 98， 100） ， 100， 102） ，102，104） ，104，
34、106，已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36 （1）求样本容量及样本中净重大于或等于 96 克并且小于 102 克的产品的个数； （2）已知这批产品中每个产品的利润 y（单位：元）与产品净重 x（单位：克）的关系式为 y，求这批产品平均每个的利润 【分析】 （1）根据频率分布直方图求出概率，再求出结论； （2）求出对应区间的频数，再根据对应关系求出即可 【解答】解： （1）产品净重小于 100 克的频率为（0.050+0.100）20.300， 设样本容量为 n， 样本中产品净重小于 100 克的个数是 36， 0.300，n120， 样本中净重大于或等于 96 克并且小于 102
35、 克的产品的频率为（0.05+0.100+0.150）20.600， 样本中净重大于或等于 96 克并且小于 102 克的产品的个数是 1200.60072， （2）产品净重在96，98） ，98，104） ，104，106内的频率分别为 0.05020.100， （0.100+0.150+0.125）20.750，0.07520.150， 其相应的频数分别为 1200.112，1200.75090，1200.15018， 这批产品平均每个的利润为（412+590+618）5.05（元） 【点评】考查频率分布直方图的应用，基础题 22 （12 分）椭圆 C：的离心率为，短轴端点与两焦点围成的三
36、角形面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且过点（0，4） ，O 为坐标原点，当OAB 为直角三角形，求直线 l 的斜率 【分析】 （1）根据椭圆的几何性质，可以得到方程组，根据 a2b2+c2解得方程，即可得椭圆方程 （2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数关系，再分类讨论当AOB 为直角时或当OAB 或OBA 为直角时，分别解方程求出 k 值 【解答】 （1）由已，（1 分） a2b2+c2，解得，（3 分） 所以椭圆 C 的方程 ；（4 分） （2）根据题意，过点（0，4）满足题意的直线斜率存在，设 l：ykx+4，（5 分） 联
37、立，消去 y 得 （1+4k2）x2+32kx+600，（6 分） （32k）2240（1+4k2）64k2240，令0，解得（7 分） 设 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， ）当AOB 为直角时， 则，（8 分） 因为AOB 为直角，所以，即 x1x2+y1y20，（9 分） 所以 （1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+160， 解得 k（10 分） ）当OAB 或OBA 为直角时，不妨OAB 为直角， 此时，kOAk1，所以 ，即 又 将代入，消去 x1 得 ， 解得 或 y12（舍去） ，（11 分） 将 代入，得 所以， 经检验，所求 k 值均符合题意 综上，k 的值 和（12 分） 【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，直线和椭圆相交所构成三角形的综合问题，考查了分类讨论思想，方程思想的应用，数学运算能力本题属中档题