1、2020-2021 学年甘肃省金昌市学年甘肃省金昌市二校联考二校联考高二（上）期末数学试卷（理科）高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，毎小题小题，毎小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。要求的。 1 （5 分）从装有 4 个黑球、2 个白球的袋中任取 3 个球，若事件 A 为“所取的 3 个球中至多有 1 个白球” ，则与事件 A 互斥的事件是（ ） A所取的 3 个球中至少有一个白球 B所取的 3 个球中恰有 2 个白球 1 个黑球 C所取的 3 个球
2、都是黑球 D所取的 3 个球中恰有 1 个白球 2 个黑球 2 （5 分）已知直线 l 过圆 x2+（y3）24 的圆心，且与直线 x+y+10 垂直，则 l 的方程是（ ） Ax+y20 Bxy+20 Cx+y30 Dxy+30 3 （5 分）已知空间向量 （1，3，x） ， （x2，1，2） ，则“x1”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）以原点为圆心，且截直线 3x+4y+150 所得弦长为 8 的圆的方程是（ ） Ax2+y25 Bx2+y216 Cx2+y24 Dx2+y225 5 （5 分）以下说法中正确的是（ ）
3、xR，x2x+10； 若 pq 为真命题，则 pq 为真命题； xR，x20 的否定是x0R，使 x020； “若 xy，则 x2y2”的逆否命题为真命题 A B C D 6 （5 分）如果执行右面的程序框图，输入 n6，m4，那么输出的 p 等于（ ） A720 B360 C240 D120 7 （5 分）若命题“x1，4时，x24xm0”是假命题，则 m 的取值范围（ ） A4，3 B （，4） C4，+） D4，0 8 （5 分）为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图考虑以下结论： 甲地该月 1
4、4 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差 甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ） A B C D 9 （5 分）在区间，上随机取一个数 x，则 cosx 的值介于到 1 的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB4，AA16，若 E，F分别是棱 BB1， CC1上的点， 且 BEB1E， C
5、1FCC1， 则异面直线 A1E 与 AF 所成角的余弦值为 （ ） A B C D 11 （5 分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在80，150内现将这 100 名学生的成绩按照80，90） ，90，100） ，100，110） ，110，120） ，120，130） ，130，140） ，140，150分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ） A频率分布直方图中 a 的值为 0.040 B样本数据低于 130 分的频率为 0.3 C总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.
6、3 分 D总体分布在90，100）的频数一定与总体分布在100，110）的频数相等 12 （5 分） 直线 yk （x2） +4 与曲线 y1+有两个不同的交点， 则实数的 k 的取值范围是 （ ） A B C D 二二.填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值为 14 （5 分）总体由编号为 01，02，03，49，50 的 50 个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第 31 行和第 32 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 31 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取，则
7、选出的第 4 个个体的编号为 66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 0011 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98 12 22 08 0752 74 95 80 15 （5 分）用秦九韶算法求多项式 f（x）x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x，当 x2 时多项式的值为 16 （5 分）若如图程序中输入的 n 值为 2017，则输出的 S 值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分解答应
8、写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知圆 C：x2+y28y+120，直线 l：ax+y+2a0， （1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切 （2）当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|2时，求直线 l 的方程 18 （12 分）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学“，各校精心组织了线上教学活动开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 150 的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查已知该校高一年级共有学生 660 人，抽取的样本中高二年级有 50 人，高三年级有 45 人如表是根据抽样调查
9、情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表 分组 频数 频率 6，6.5） 5 0.10 6.5，7） 8 0.16 7，7.5） x 0.14 7.5，8） 12 y 8，8.5） 10 0.20 8.5，9 z 合计 50 1 （1）求该校学生总数； （2）求频率分布表中实数 x，y，z 的值； （3）已知日睡眠时间在区间6，6.5）的 5 名高二学生中，有 2 名女生，3 名男生，若从中任选 2 人进行面谈，则选中的 2 人恰好为一男一女的概率 19 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ACB90，EA平面 ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，
10、AB2EF （1）若 M 是线段 AD 的中点，求证：GM平面 ABFE； （2）若 ACBC2AE2，求二面角 ABFC 的余弦值 20 （12 分）据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分积累某课题研究组欲研究昼夜温差大小（x/）与某植物糖积累指数（y/GI）之间的关系，得到如下数据： 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 昼夜温差x/ 10 11 13 12 8 6 某植物糖积累指数 y/GI 20 24 30 28 18 15 该课题研究组确定的研究方案是先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检验，假设
11、这剩下的 2 组数据恰好是第一组与第六组数据 （1）求 y 关于的线性回归方程 x+ ； （2） 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过 2.58， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想？（参考公式：回归直线方程 x+的斜率和截距的最小二乘估计 ， ） 21（12 分） 已知命题 p： 在 x1， 2内， 不等式 x2+ax20 恒成立； 命题 q： 函数 f （x） 是区间1，+）上的减函数，若命题“pq”是真命题，求实数 a 的取值范围 22 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PAABAD2，四边
12、形 ABCD 满足 ABAD，BCAD，BC4，点 M 为 PC 中点，点 E 为 BC 边上的动点，且 （）求证：DM平面 PAB； （）求证：平面 ADM平面 PBC； （）是否存在实数 ，使得二面角 PDEB 的余弦值为？若存在，试求出实数 的值；若不存在，说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，毎小题小题，毎小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。要求的。 1 （5 分）从装有 4 个黑球、2 个白球的袋中任取 3 个球，若事件 A 为
13、“所取的 3 个球中至多有 1 个白球” ，则与事件 A 互斥的事件是（ ） A所取的 3 个球中至少有一个白球 B所取的 3 个球中恰有 2 个白球 1 个黑球 C所取的 3 个球都是黑球 D所取的 3 个球中恰有 1 个白球 2 个黑球 【分析】事件 A 为“所取的 3 个球中至多有 1 个白球”即所取的 3 个球是 3 黑或 2 黑 1 白，由此能求出与事件 A 互斥的事件 【解答】解：从装有 4 个黑球、2 个白球的袋中任取 3 个球， 事件 A 为“所取的 3 个球中至多有 1 个白球”即所取的 3 个球是 3 黑或 2 黑 1 白， 与事件 A 互斥的事件是所取的 3 个球中恰有
14、2 个白球 1 个黑球 故选：B 【点评】本题考查样本中最大的编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2 （5 分）已知直线 l 过圆 x2+（y3）24 的圆心，且与直线 x+y+10 垂直，则 l 的方程是（ ） Ax+y20 Bxy+20 Cx+y30 Dxy+30 【分析】由题意可得所求直线 l 经过点（0，3） ，斜率为 1，再利用点斜式求直线 l 的方程 【解答】解：由题意可得所求直线 l 经过点（0，3） ，斜率为 1， 故 l 的方程是 y3x0，即 xy+30， 故选：D 【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题
15、3 （5 分）已知空间向量 （1，3，x） ， （x2，1，2） ，则“x1”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 若 ， 为空间向量， 且 （x1， y1， z1） ， （x2， y2， z2） ， 若 ， 则 0， 即 x1x2+y1y2+z1z20 本题中当时，由向量垂直的充要条件求得 1x2+3（1）+2x0， 解得 x3 或 x1， 即“”的充要条件为： “x3 或 x1” ， 又“x1”是“x3 或 x1”的充分不必要条件， 所以“x1”是“”的充分不必要条件， 【解答】解：空间向量 （1，3，x） ， （x2，1，2）
16、， 当时，有 1x2+3（1）+2x0， 解得 x3 或 x1， 又“x1”是“x3 或 x1”的充分不必要条件， 所以“x1”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及向量垂直的充要条件，属简单题 4 （5 分）以原点为圆心，且截直线 3x+4y+150 所得弦长为 8 的圆的方程是（ ） Ax2+y25 Bx2+y216 Cx2+y24 Dx2+y225 【分析】先求弦心距，再求半径，可得圆的方程 【解答】解：弦心距是：，弦长为 8，所以半径是 5 所求圆的方程是：x2+y225 故选：D 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程，是基础题
17、 5 （5 分）以下说法中正确的是（ ） xR，x2x+10； 若 pq 为真命题，则 pq 为真命题； xR，x20 的否定是x0R，使 x020； “若 xy，则 x2y2”的逆否命题为真命题 A B C D 【分析】利用二次函数的图象判断选项，利用复合命题的真假法判断选项，利用含有量词的命题的否定判断选项，利用原命题的真假可判断选项 【解答】解：函数 yx2x+1 的图象开口向上，且（1）240， 所以xR，x2x+10，故选项正确； 因为 pq 为真命题，则其中一个为假命题或者都是真命题， 因此 pq 不一定为真命题，故选项错误； 含有量词的命题的否定是：先改变对应的量词，再否定结论，
18、 所以xR，x20 的否定是x0R，使 x020，故选项正确； 取 x1，y3，则 xy，但 x2y2， 所以原命题为假命题，则它的逆否命题为假命题，故选项错误 故选：B 【点评】本题考查了全称命题的判断、 “且”和“或”的理解、复合命题真假的判断、原命题与逆命题之间的关系若想判断一个命题的真假，从它的逆否命题入手是常见的思路，原理是：互为逆否命题的两个命题同真假 6 （5 分）如果执行右面的程序框图，输入 n6，m4，那么输出的 p 等于（ ） A720 B360 C240 D120 【分析】讨论 k 从 1 开始取，分别求出 p 的值，直到不满足 k4，退出循环，从而求出 p 的值，解题的
19、关键是弄清循环次数 【解答】解：第一次：k1，p133； 第二次：k2，p3412； 第三次：k3，p12560； 第四次：k4，p606360 此时不满足 k4 所以 p360 故选：B 【点评】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题 7 （5 分）若命题“x1，4时，x24xm0”是假命题，则 m 的取值范围（ ） A4，3 B （，4） C4，+） D4，0 【分析】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解即可 【解答】解：若命题“x1，4时，x24xm0”是
20、假命题， 则命题“x1，4时，x24xm0”是真命题 则 mx24x， 设 f（x）x24x（x2）24， 当 1x4 时，4f（x）0 则4m0， 故选：D 【点评】本题主要考查命题真假的应用，利用全称命题的否定是特称命题转化为特称命题是解决本题的关键难度中等 8 （5 分）为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图考虑以下结论： 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该
21、月 14 时的气温的标准差 甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ） A B C D 【分析】利用茎叶图分别求出甲、乙两地某月 14 时的气温的平均值和标准差，由此能求出结果 【解答】解：由茎叶图，得： 甲地该月 14 时的平均气温（26+28+29+31+31）29， 甲地该月 14 时的平均气温的标准差 S甲， 乙地该月 14 时的平均气温（28+29+30+31+32）30， 乙地该月 14 时的平均气温的标准差 S乙， 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温， 甲地该月 14 时的平均
22、气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差 根据茎叶图能得到的统计结论的标号为 故选：A 【点评】本题考查平均值、标准差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、平均值、标准差的合理运用 9 （5 分）在区间，上随机取一个数 x，则 cosx 的值介于到 1 的概率为（ ） A B C D 【分析】根据题意，由余弦函数的图象和性质，求出 cosx 的值介于到 1 的 x 的取值范围，由几何概型公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，区间，上，若cosx1，则有x， 则 cosx 的值介于到 1 的概率 P， 故选：C 【点评】本题考查几何概型的计算，涉及余弦函数的性质以及应用，属于
23、基础题 10 （5 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB4，AA16，若 E，F分别是棱 BB1， CC1上的点， 且 BEB1E， C1FCC1， 则异面直线 A1E 与 AF 所成角的余弦值为 （ ） A B C D 【分析】以 C 为原点，CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过作 AC 的垂线为 y 轴，CC1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 A1E 与 AF 所成角的余弦值 【解答】解以 C 为原点，CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过作 AC 的垂线为 y 轴，CC1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 在三棱柱 ABCA
24、1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB4，AA16， E，F 分别是棱 BB1，CC1上的点，且 BEB1E，C1FCC1， A1（4，0，6） ，E（2，2，3） ，F（0，0，4） ，A（4，0，0） ， （2，2，3） ，（4，0，4） ， 设异面直线 A1E 与 AF 所成角所成角为 ， 则 cos 异面直线 A1E 与 AF 所成角的余弦值为 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 11 （5 分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生中随机抽取了100 名学生的数学成
25、绩，发现都在80，150内现将这 100 名学生的成绩按照80，90） ，90，100） ，100，110） ，110，120） ，120，130） ，130，140） ，140，150分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ） A频率分布直方图中 a 的值为 0.040 B样本数据低于 130 分的频率为 0.3 C总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.3 分 D总体分布在90，100）的频数一定与总体分布在100，110）的频数相等 【分析】由频率分布直方图得的性质求出 a0.030；样本数据低于 130 分的频率为：1（0.025+0.005）100.7；80
26、，120）的频率为 0.4，120，130）的频率为 0.3由此求出总体的中位数（保留 1 位小数）估计为：120+123.3 分；样本分布在90，100）的频数一定与样本分布在100，110）的频数相等，总体分布在90，100）的频数不一定与总体分布在100，110）的频数相等 【解答】解：由频率分布直方图得： （0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）101， 解得 a0.030，故 A 错误； 样本数据低于 130 分的频率为：1（0.025+0.005）100.7，故 B 错误； 80，120）的频率为： （0.005+0.010+0.010+0.0
27、15）100.4， 120，130）的频率为：0.030100.3 总体的中位数（保留 1 位小数）估计为：120+123.3 分，故 C 正确； 样本分布在90，100）的频数一定与样本分布在100，110）的频数相等， 总体分布在90，100）的频数不一定与总体分布在100，110）的频数相等，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 12 （5 分） 直线 yk （x2） +4 与曲线 y1+有两个不同的交点， 则实数的 k 的取值范围是 （ ） A B C D 【分析】要求的实数 k 的取值
28、范围即为直线 l 斜率的取值范围，由于曲线 y1+表示以（0，1）为圆心，2 为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线 l 与半圆有不同的交点；当直线 l 与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于 k 的方程，求出方程的解得到 k 的值；当直线 l 过 B 点时，由 A 和 B 的坐标求出此时直线 l 的斜率，根据两种情况求出的斜率得出 k的取值范围 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示： 由题意可得：直线 l 过 A（2，4） ，B（2，1） ， 又曲线 y1+图象为以（0，1）为圆心，2 为半径的半圆， 当直线 l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直
29、线 l 的距离 dr，即2， 解得：k； 当直线 l 过 B 点时，直线 l 的斜率为， 则直线 l 与半圆有两个不同的交点时，实数 k 的范围为（， 故选：A 【点评】 此题考查了直线与圆相交的性质， 涉及的知识有： 恒过定点的直线方程， 点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键 二二.填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值为 6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解
30、答】解：由约束条件作出可行域， 联立，解得 A（2，2） ， 化目标函数 z2x+y 为 y2x+z， 由图可知，当直线 y2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 6 故答案为：6 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 14 （5 分）总体由编号为 01，02，03，49，50 的 50 个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第 31 行和第 32 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 31 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取，则选出的第 4 个个体的编号为 09 66 67 40 67 14 64 05
31、71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 0011 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98 12 22 08 0752 74 95 80 【分析】直接利用随机数表的应用求出结果 【解答】解：选取方法是从随机数表第 31 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取， 依次是：14，05，11，09， 则第四个数字为 09 故答案为：09 【点评】本题考查的知识要点：随机数表的应用，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题 15 （5 分）用秦九韶算法求多项式 f（x）x6+2
32、x5+3x4+4x3+5x2+6x，当 x2 时多项式的值为 240 【分析】由于函数 f（x）x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x（ （ （ （ （x+2）x+3）x+4）x+5）x+6）x，当 x2 时，带入计算即可得出 【解答】解：由于函数 f（x）x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x（ （ （ （ （x+2）x+3）x+4）x+5）x+6）x， 当 x2 时，可得 f（2）（ （ （ （ （2+2）2+3）2+4）2+5）2+6）2240， 故答案为：240 【点评】本题考查了秦九韶算法计算函数值，考查了计算能力，属于基础题 16 （5 分）若如图程序中输入的 n 值为 2
33、017，则输出的 S 值为 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程可得答案 【解答】解：S0，i1，若程序中输入的 n 值为 2017， 第 1 次执行循环体后，S，i2，不满足退出循环的条件； 第 2 次执行循环体后，S+，i3，不满足退出循环的条件； 第 3 次执行循环体后，S+，i4，不满足退出循环的条件； 第 2017 次执行循环体后，S+，i2018，满足退出循环的条件； 即 S+1+1， 故输出 S 值为， 故答案为： 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题
34、三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知圆 C：x2+y28y+120，直线 l：ax+y+2a0， （1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切 （2）当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|2时，求直线 l 的方程 【分析】 （1）圆 C 的圆心 C（0，4）半径 r2，由直线 l：ax+y+2a0 与圆相切，利用点到直线距离公式列出方程，能求出 a 的值 （2）直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|2时，d，再由圆心到直
35、线的距离 d，列出方程，求出 a，由此能求出直线方程 【解答】 （12 分）解： （1）设圆心到直线的距离为 d， 圆 C：x2+y28y+120 的圆心 C（0，4）半径 r2，1 分 直线 l：ax+y+2a0 与圆相切， d2，解得 a5 分 （2）圆心到直线的距离 d， 直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|2时，d，7 分 d，解得 a7 或 a1 所求直线为 7xy+140 或 xy+2012 分 【点评】 本题主要考查直线和圆相切时实数值的求法， 考查直线方程的求法， 考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化
36、归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 18 （12 分）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学“，各校精心组织了线上教学活动开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 150 的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查已知该校高一年级共有学生 660 人，抽取的样本中高二年级有 50 人，高三年级有 45 人如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表 分组 频数 频率 6，6.5） 5 0.10 6.5，7） 8 0.16 7，7.5） x 0.14 7.5，8） 12 y 8，8.5） 10 0.20 8.5，9 z 合计 50 1 （1）求该校
37、学生总数； （2）求频率分布表中实数 x，y，z 的值； （3）已知日睡眠时间在区间6，6.5）的 5 名高二学生中，有 2 名女生，3 名男生，若从中任选 2 人进行面谈，则选中的 2 人恰好为一男一女的概率 【分析】 （1）由频率分布表能求出该校学生总数 （2）由题意0.14，y0.24，z50（5+8+x+12+10） ，由此能求出结果 （3）记”选中的 2 人恰好为一男一女“为事件 A，记 5 名高二学生中女生为 F1，F2，男生为 M1，M2，M3，从中任选 2 人，利用列举法能求出选中的 2 人恰好为一男一女的概率 【解答】解： （1）设该校学生总数为 n， 由题意， 解得 n18
38、00， 该校学生总数为 1800 人 （2）由题意0.14，解得 x7， y0.24， z50（5+8+7+12+10）8 （3）记”选中的 2 人恰好为一男一女“为事件 A， 记 5 名高二学生中女生为 F1，F2，男生为 M1，M2，M3， 从中任选 2 人包含的基本事件有 10 种情况，它们是等可能的，这 10 种情况分别为： （F1，F2） ， （F1，M1） ， （F1，M2） ， （F1，M3） ， （F2，M1） ， （F2，M2） ， （F2，M3） ， （M1，M2） ， （M1，M3） ， （M2，M3） ， 事件 A 包含的基本事件有 6 个， 选中的 2 人恰好为一男一
39、女的概率 P（A） 【点评】本题考查总数、频率、频数、概率的求法，考查频数分布表、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ACB90，EA平面 ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF （1）若 M 是线段 AD 的中点，求证：GM平面 ABFE； （2）若 ACBC2AE2，求二面角 ABFC 的余弦值 【分析】 （1）由已知条件推导出EGF90，ABCEFG，连结 AF，推导出四边形 AFGM 为平行四边形，由此能证明 GM平面 ABFE （2）分别以 AC，AD，AE 所在直线为 x 轴、y 轴、z
40、轴，建立空间直角坐标系 Axyz，利用向量法能求出二面角 ABFC 的余弦值 【解答】 （1）证明：EFAB，FGBC，EGAC，ACB90， EGF90，ABCEFG （2 分） AB2EF，BC2FG， 连结 AF，FGBC，FG， （3 分） 在平行四边形 ABCD 中，M 是线段 AD 的中点， AMBC，且 AMBC， （4 分） FGAM，且 FGAM， 四边形 AFGM 为平行四边形，GMFA， 又 FA平面 ABFE，GM 不包含于平面 ABFE， GM平面 ABFE（6 分） （2）解：ACB90，ACD90， 又 EA平面 ABCD，AC，AD，AE 两两垂直 分别以 AC
41、，AD，AE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz （7 分） 则由题意知 A（0，0，0） ，B（2，2，0） ， C（2，0，0） ，D（0，0，1） （8 分） （2，2，0） ，（0，2，0） ， 又 EF，F（1，1，1） ，（1，1，1） 设平面 BFC 的法向量 （x，y，z） ， 则， 取 x1，得 （1，0，1） （10 分） 设平面 ABF 的法向量 （x1，y1，z1） ， 则， 取 x11，得 （1，1，0） （12 分） cos， 故二面角 ABFC 的余弦值为 （14 分） 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余
42、弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 20 （12 分）据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分积累某课题研究组欲研究昼夜温差大小（x/）与某植物糖积累指数（y/GI）之间的关系，得到如下数据： 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 昼夜温差x/ 10 11 13 12 8 6 某植物糖积累指数 y/GI 20 24 30 28 18 15 该课题研究组确定的研究方案是先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检验，假设这剩下的 2 组数据恰好是第一组与第六组数据 （1）求 y 关于的线性回归方程 x
43、+ ； （2） 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过 2.58， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想？（参考公式：回归直线方程 x+的斜率和截距的最小二乘估计 ， ） 【分析】 （1）根据数据求出 与 的值，即可求出 y 关于 x 的线性回归方程； （2）分别计算出 1 月份和 6 月份对应的预测值，与检验数据作差取绝对值，再与 2.58 进行比较即可得到结论 【解答】解： （1）由表中 2 月至 5 月份的数据， 得 （11+13+12+8）11，（24+30+28+18）25， 故有（xi ） （yi ）0（1）+25+1
44、3+（3）（7）34， （xi ）202+22+12+（3）214， ， 25， 即 y 关于 x 的线性回归方程为； （2）由，当 x10 时， |2.58， 当 x6 时， |2.58， 则该小组所得线性回归方程是理想的 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查学生的运算能力，是基础题 21（12 分） 已知命题 p： 在 x1， 2内， 不等式 x2+ax20 恒成立； 命题 q： 函数 f （x） 是区间1，+）上的减函数，若命题“pq”是真命题，求实数 a 的取值范围 【分析】分别判断出 p，q 的真假，从而判断出 复合命题的真假，进而求出 a 的范围即可 【解答】解：关于命题 p：
45、在 x1，2内，不等式 x2+ax20 恒成立， 则，解得：a1； 关于命题 q：函数 f（x）是区间1，+）上的减函数， 即 yx22ax+3a 在 x1，+）单调递增且恒为正， ，解得：1a1， 若命题“pq”是真命题， 则 p，q 至少有一个是真命题， a1 【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题 22 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PAABAD2，四边形 ABCD 满足 ABAD，BCAD，BC4，点 M 为 PC 中点，点 E 为 BC 边上的动点，且 （）求证：DM平面 PAB； （）求证：平面 ADM平面 PBC； （
46、）是否存在实数 ，使得二面角 PDEB 的余弦值为？若存在，试求出实数 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （）以 A 为原点，以 AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 DM平面 PAB （） 求出平面ADM的一个法向量和平面PBC的一个法向量， 利用向量法能证明平面ADM平面PBC （）求出平面 PDE 的法向量和平面 DEB 的法向量，利用向量法能求出 的值 【解答】证明： （）以 A 为原点，以 AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，（1 分） 由题意得，D（0，2，0） ，C（2，4，0） ，
47、P（0，0，2） ，M（1，2，1） ，A（0，0，0） ，B（2，0，0） ， （1，0，1） ，平面 PAB 的法向量 （0，1，0） ， 0，DM平面 PAB， DM平面 PAB （4 分） 解： （）设平面 ADM 的一个法向量 （x，y，z） ， （0，2，0） ，（1，2，1） ， 则，取 x1，得 （1，0，1） ， 设平面 PBC 的一个法向量 （x，y，z） ， （2，0，0） ，（2，4，0） ， 则，取 x1，得 （1，0，1） ， 0， 平面 ADM平面 PBC（8 分） （）存在符合条件的 设 E（2，t，0） ，P（0，0，2） ，D（0，2，0） ，B（2，0，0） （0，2，2） ，（2，t2，0） ， 设平面 PDE 的法向量为 （a，b，c） ， ，取 b2，得 （2t，2，2） ， 又平面 DEB 即为 xAy 平面，其法向量 （0，0，1） ， 则二面角 PDEB 的余弦值为， |cos|， 解得 t3 或 t1，进而 3 或 （13 分） 【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求