1、2019-2020 学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的求的 1 （4 分）直线 x2y+10 的斜率是（ ） A2 B2 C D 2 （4 分）已知点（1，1）在圆（xa）2+（y+a）24 的内部，则实数 a 的取值范围是（ ） A （1，1） B （0，1） C （，1）（1，+） D1，1 3 （4 分）若椭圆+1 的焦点在 y 轴上，则（
2、 ） Amn0 Bnm0 Cm0n Dn0m 4 （4 分）已知直线 m，n 及平面 ，则下列说法正确的是（ ） A若 m，m，则 B若 m，mn，则 n C若 m，n，则 mn D若 m，则 m 5 （4 分）若抛物线 y24ax 的准线与圆 x2+y22y0 相离，则实数 a 的范围是（ ） A （2，2） B （1，1） C （，2）（2，+） D （，1）（1，+） 6 （4 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为棱 AB 的中点，则异面直线 MD1与 A1B1所成角的余弦值为（ ） A B C D 7 （4 分）设 F1，F2为椭圆+1 的左、右焦点，P 是圆上一点若 S4
3、，则F1PF2等于（ ） A90 B60 C45 D30 8 （4 分） 已知二面角 l 的大小为 60， 点 P 在面 内， 设 P 在平面 上的射影为 Q 且 PQ，则 Q 到平面 的距离为（ ） A1 B C D3 9 （4 分）设 F1是双曲线 C：1（a0，b0）的左焦点，O 是坐标原点，若 P 是双曲线 C 的渐近线与圆 x2+y2a2的一个交点，且|PF1|3|PO|b，则 C 的离心率为（ ） A B C D 10 （4 分）如图，三棱锥 SABC 中，SASBSC，ABC90，ABBC，E，F，G 分别 是 AB，BC，CA 的中点，记直线 SE 与 SF 所成的角为 ，直线
4、 SG 与平面 SAB 所成的角为 ，平面 SEG与平面 SBC 所成的锐二面角为 ，则（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 4 分，单空题每小题分，单空题每小题 4 分，共分，共 36 分分 11 （4 分）抛物线 y22x 的焦点 F 的坐标是 12 （6 分） 直线 l1： x+my+20， 直线 l2： 2xy+20， 若 11l2， 则 m ， 若 l1l2， 则 m 13 （6 分）圆 x2+y22x2ay10（a 为常数）的圆心是 ；半径是 14 （6 分）某几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，俯视图的直观图
5、如图 2 所示，则该几何体的表面积为 ，体积为 15 （4 分）已知三棱锥 ABCD 的侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，且 ABACAD1，则三棱锥的外接球的表面积是 16 （4 分）在直角ABC 中，AC，BC1，点 D 是斜边 AB 上的动点，将BCD 沿着 CD 翻折至BCD，使得点 B在平面 ACD 内的射影 H 恰好落在线段 CD 上，则翻折后|AB|的最小值是 17 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 A（0，5）且与曲线 x2+y25（x0）相切于点 B，则直线 l 的方程是 ，设 E 是线段 OB 中点，长度为的线段 PQ（P 在 Q 的上方）在直线 l
6、上滑动，则|OP|+|EQ|的最小值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 （14 分）已知点 A（2，1） ，B（2，4） ，点 P 是直线 l：yx 上的动点 （）若 PAPB，求点 P 的坐标； （）设过 A 的直线 l1与过 B 的直线 l2均平行于 l，求 l1与 l2之间的距离 19 （15 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 M，N 分别为线段 BB1，A1C 的中点，MNAA1，且MA1MC求证： （1）MN平面 ABC； （2）平面 A1M
7、C平面 A1ACC1 20 （15 分）已知直线 l：3x4y+t0，圆 C1经过点 A（0，1）与 B（2，1） ，且被 y 轴的正半轴截得的线段长为 2 （1）求圆 C1的方程； （2）设圆 C2是以直线 l 上的点为圆心的单位圆，若存在圆 C2与圆 C1有交点，求 t 的取值范围 21 （15 分）四棱锥 PABCD 中，ADBC，BCCD，BCCD2AD2，PD，侧面 PBC 是等边三角形 （1）证明：PA平面 PBC； （2）求 BC 与平面 PCD 所成角的余弦值 22 （15 分）如图，设 F1，F2是椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点，直线 ykx（k0）与椭圆 C 交于 A
8、，B已知椭圆 C 的焦距是 2，四边形 AF1BF2的周长是 4 （）求椭圆 C 的方程； （）直线 AF1，BF1分别与椭圆 C 交于 M，N，求MNF1面积的最大值 2019-2020 学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的求的 1 （4 分）直线 x2y+10 的斜率是（ ） A2 B2 C D 【分析】利
9、用直线一般式斜率计算公式即可得出 【解答】解：直线 x2y+10 的斜率是， 故选：D 【点评】本题考查了直线一般式斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2 （4 分）已知点（1，1）在圆（xa）2+（y+a）24 的内部，则实数 a 的取值范围是（ ） A （1，1） B （0，1） C （，1）（1，+） D1，1 【分析】直接利用两点间的距离与圆的半径的关系的应用求出结果 【解答】解：由于（1，1）在圆（xa）2+（y+a）24 的内部， 所以点（1，1）到圆心（a，a）的距离 d2， 即：，整理得：1a1 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：两点间的位置关系的应用，主要
10、考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 3 （4 分）若椭圆+1 的焦点在 y 轴上，则（ ） Amn0 Bnm0 Cm0n Dn0m 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可 【解答】解：椭圆+1 的焦点在 y 轴上， 则一定有：nm0 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题 4 （4 分）已知直线 m，n 及平面 ，则下列说法正确的是（ ） A若 m，m，则 B若 m，mn，则 n C若 m，n，则 mn D若 m，则 m 【分析】根据空间中线面平行或垂直的判定定理、性质定理逐一判断每个选项即可 【解答】解：对于 A，若 m，m，则 与 的位置关系是平行或相交，
11、即 A 错误； 对于 B，若 m，mn，则 n 或 n，即 B 错误； 对于 C，若 m，n，由线面垂直的性质知，mn，即 C 正确； 对于 D，若 m，则 m 或 m，即 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查了空间中线面的位置关系，熟练运用线面平行或垂直的判定定理、性质定理是解题关键，考查了学生的空间立体感和论证推理能力，属于基础题 5 （4 分）若抛物线 y24ax 的准线与圆 x2+y22y0 相离，则实数 a 的范围是（ ） A （2，2） B （1，1） C （，2）（2，+） D （，1）（1，+） 【分析】由抛物线的方程可得准线的方程，求出圆心坐标及半径，由准线与圆相离可得圆心
12、到直线的距离大于半径，求出 a 的取值范围 【解答】解：由题意可得抛物线的准线方程为：xa， 圆的圆心坐标（0，1） ，半径为 1， 所以由题意可得：|a|1，解得 a1 或 a1， 故选：D 【点评】考查圆与圆锥曲线的关系，属于基础题 6 （4 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为棱 AB 的中点，则异面直线 MD1与 A1B1所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】如图所示，连接 C1M根据 A1B1C1D1，可得MD1C1即为异面直线 MD1与 A1B1所成角 【解答】解：如图所示连接 C1M A1B1C1D1， MD1C1即为异面直线 MD1与 A1B1所成角 不妨
13、取 AB2MD13 则 cosMD1C1 故选：C 【点评】本题考查了异面直线所成的角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7 （4 分）设 F1，F2为椭圆+1 的左、右焦点，P 是圆上一点若 S4，则F1PF2等于（ ） A90 B60 C45 D30 【分析】根据题意，设 P 为 x 轴上方点其坐标为 P（x，y） ，由椭圆的标准方程可得 a、b 的值，计算可得 c 的值，又由三角形面积公式计算可得，结合椭圆的方程计算可得 P 的坐标，分析可得 P 为椭圆短轴的端点，再由 bc2，分析可得答案 【解答】解：根据题意，设 P 为 x 轴上方点其坐标为 P（x，y）
14、， 椭圆的方程为，其中 a2，b2， 则 c2， P 是椭圆上一点，若， 则，解可得：y2，则 x0，故 P（0，2） ，是椭圆短轴的端点， 又由 bc2， 则，； 故选：A 【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是求出 P 的坐标，判断可得 P 为椭圆的短轴的端点 8 （4 分） 已知二面角 l 的大小为 60， 点 P 在面 内， 设 P 在平面 上的射影为 Q 且 PQ，则 Q 到平面 的距离为（ ） A1 B C D3 【分析】先过点 Q 作 QKl，则PKQ 为二面角的平面角，PKQ60，然后根据等面积法建立等式关系，解之即可得点 Q 到平面 的距离 【解答】解：如图， 过 Q 作 Q
15、Kl，连接 PK，则PKQ60， PQ，则 QK1，PK2， 根据等面积法得 Q 到平面 的距离为 故选：B 【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，是中档题 9 （4 分）设 F1是双曲线 C：1（a0，b0）的左焦点，O 是坐标原点，若 P 是双曲线 C 的渐近线与圆 x2+y2a2的一个交点，且|PF1|3|PO|b，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】利用已知条件，结合余弦定理以及渐近线的斜率，列出方程求解即可 【解答】解：设 F1是双曲线 C：1（a0，b0）的左焦点，O 是坐标原点，若 P 是双曲线C 的渐近线与圆 x
16、2+y2a2的一个交点，且|PF1|3|PO|b， 可得 9a2a2+c2+2accos，其中 tan，所以 cos， 所以 6a2c2， 所以 e 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查召唤师想以及数形结合思想的应用，是中档题 10 （4 分）如图，三棱锥 SABC 中，SASBSC，ABC90，ABBC，E，F，G 分别 是 AB，BC，CA 的中点，记直线 SE 与 SF 所成的角为 ，直线 SG 与平面 SAB 所成的角为 ，平面 SEG与平面 SBC 所成的锐二面角为 ，则（ ） A B C D 【分析】根据题意可知，G 作 SE 的垂线 l，显然 l 垂直平面 SA
17、B，故直线 SG 与平面 SAB 所成的角为 GSE，同理，平面 SEG 与平面 SBC 所成的锐二面角为 FSG，利用三角函数结合几何性质，得出结论 【解答】解：因为 ABBC，SASBSC，所以 ABSE， 所以 AB平面 SGE，ABSG， 又 SGAC，所以 SG平面 ABC， 过 G 作 SE 的垂线 l，显然 l 垂直平面 SAB， 故直线 SG 与平面 SAB 所成的角为 GSE， 同理，平面 SEG 与平面 SBC 所成的锐二面角为 FSG， 由 tan，得 ， 也是直线 SF 与平面 SEG 所成的角， 由 coscoscoscos，则 ， 所以 ， 故选：A 【点评】本题考
18、查线面角，面面角，线线角，三角函数的应用，中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 4 分，单空题每小题分，单空题每小题 4 分，共分，共 36 分分 11 （4 分）抛物线 y22x 的焦点 F 的坐标是 （，0） 【分析】直接利用抛物线方程求解 p，然后求解焦点坐标 【解答】解：抛物线 y22x，可得 p1，所以抛物线的焦点坐标（，0） 故答案为： （，0） 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 12 （6 分） 直线 l1： x+my+20， 直线 l2： 2xy+20， 若 11l2， 则 m ， 若 l1l
19、2， 则 m 2 【分析】利用两条直线相互平行垂直与斜率之间的关系即可得出 【解答】解：由12m0，解得 m 11l2，则 m， 若 l1l2，则 2m0，解得 m2 故答案为：，2 【点评】本题考查了两条直线相互平行垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 13 （6 分）圆 x2+y22x2ay10（a 为常数）的圆心是 （1，a） ；半径是 【分析】将圆的一般方程化为标准方程可得圆心坐标及半径 【解答】解：化为标准方程可得： （x1）2+（ya）2a2+2， 故答案分别为： （1，a） ， 【点评】考查圆的一般方程与标准方程的互化，属于基础题 14 （6 分）某几何体的
20、正视图和侧视图如图 1 所示，俯视图的直观图如图 2 所示，则该几何体的表面积为 48+72 ，体积为 96 【分析】由三视图及俯视图的直观图可得几何体为底面是平行四边形的直棱柱，高为 4，底面平行四边形的相邻的边分别为 6，3，求出底面的高为 4，进而求出表面积及体积 【解答】解：由图 2 可得底面为的平行四边形，且底为 6，高为 4，则可得另一条边长为 3，图 1可知高为 4 的直四棱柱， 所以 S表2底+S侧2+2（6+3） 448+72， VSh696， 故答案分别为：48+72，96 【点评】由三视图求出表面积及体积，属于中档题 15 （4 分）已知三棱锥 ABCD 的侧棱 AB，A
21、C，AD 两两垂直，且 ABACAD1，则三棱锥的外接球的表面积是 3 【分析】由题意将该三棱锥放在正方体中，可得正方体的棱长为 1，再由正方体的对角线等于外接球的直径 2R 可得半径 R 的值，进而求出外接球的表面积 【解答】解：将该三棱锥放在正方体中，由题意可得正方体的棱长为 1， 再由正方体的对角线等于外接球的直径 2R 可得， 外接球的半径（2R）23123， 所以外接球的表面积 S4R23 故答案为：3 【点评】考查三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，及球的表面积公式，属于基础题 16 （4 分）在直角ABC 中，AC，BC1，点 D 是斜边 AB 上的动点，将BCD 沿着 CD 翻折
22、至BCD，使得点 B在平面 ACD 内的射影 H 恰好落在线段 CD 上，则翻折后|AB|的最小值是 【分析】过点 B作 BHCD 于 E，连结 BH，AH，设BCDBCD，则有 BHsin，CHcos，ACE，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当 时，AB取得最小值 【解答】解：过点 B作 BHCD 于 H，连结 BH，AH 设BCDBCD， 则有 BHsin，CHcos，ACH， 在AHC 中，由余弦定理得： AH2AC2+CH22CHACcosACH3+cos22coscos（ ） 3+cos22sincos， 在 RtAHB中，由勾股定理得： AB2AH2+BH23+cos22sinco
23、s+sin24sin2， 当 时，AB取得最小值 故答案为： 【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 17 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 A（0，5）且与曲线 x2+y25（x0）相切于点 B，则直线 l 的方程是 2xy+50 或 2x+y50 ，设 E 是线段 OB 中点，长度为的线段 PQ（P 在 Q 的上方）在直线 l 上滑动，则|OP|+|EQ|的最小值是 【分析】 由直线与圆相切求出切线的斜率即可得知切线的方程； 作出图象， 结合勾股定理表示出|OP|+|EQ|，所以当时
24、，|OP|+|EQ|取得最小值 【解答】解：显然直线 l 的斜率一定存在，所以设直线 l 的方程为：ykx+5，即 kxy+50， 直线 l 与曲线 x2+y25（x0）相切， ， 解得：k2， 直线 l 的方程为：2xy+50 或 2x+y50 由可知，直线 l 的两条方程关于 y 轴对称，所以不妨取直线 l 的方程为 2xy+50， 如图所示， 由勾股定理得， 所以|OP|+|EQ| 当时，|OP|+|EQ|取得最小值，为 故答案为：2xy+50 或 2x+y50； 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系及最值问题，画出平面图形进行分析起着至关重要的作用，考查了学生分析问题和解决问题的能力，
25、属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 （14 分）已知点 A（2，1） ，B（2，4） ，点 P 是直线 l：yx 上的动点 （）若 PAPB，求点 P 的坐标； （）设过 A 的直线 l1与过 B 的直线 l2均平行于 l，求 l1与 l2之间的距离 【分析】 （） 因为点 P 是直线 l： yx 上的动点， 所以设点 P （a， a） ， 利用 PAPB 得，解得：a0 或，从而求出点 P 的坐标； （）设直线 l1的方程为：yx+m，设直线 l2的方程为
26、：yx+n， （mn） ，代入点 A，B 的坐标，求出m3，n2，再利用两平行线间的距离公式即可求出结果 【解答】解： （）点 P 是直线 l：yx 上的动点，设点 P（a，a） ， PAPB， 解得：a0 或， 点 P（0，0）或（，） ； （）设直线 l1的方程为：yx+m，设直线 l2的方程为：yx+n， （mn） ， 2+m1，2+n4， m3，n2， 直线 l1的方程为：yx+3，即 xy+30， 直线 l2的方程为：yx+2，即 xy+20， l1与 l2之间的距离为： 【点评】本题主要考查了两平行线间的距离公式，是中档题 19 （15 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已
27、知 M，N 分别为线段 BB1，A1C 的中点，MNAA1，且MA1MC求证： （1）MN平面 ABC； （2）平面 A1MC平面 A1ACC1 【分析】 （1）取 AC 中点 P，连结 NP，BP，推导出四边形 PNMB 是平行四边形，从而 MNBP，由此能证明 MN平面 ABC； （2）推导出 MNA1C，MNAA1，从而 MN平面 A1ACC1，由此能证明平面 A1MC平面 A1ACC1 【解答】证明： （1）取 AC 中点 P，连结 NP，BP， N 是 A1C 中点，P 为 AC 中点， PNAA1，且 BB1AA1， 又 M 为 BB1中点，BMAA1，且 BMAA1， PNBM，
28、且 PNBM，四边形 PNMB 是平行四边形， MNBP， MN平面 ABC，BP平面 ABC， MN平面 ABC （2）MA1MC，且 N 是 A1C 的中点，MNA1C， 又 MNAA1，AA1A1CA1， A1C，AA1平面 A1ACC1，MN平面 A1ACC1， MN平面 A1MC，平面 A1MC平面 A1ACC1 【点评】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查转化思想和推理能力，是中档题 20 （15 分）已知直线 l：3x4y+t0，圆 C1经过点 A（0，1）与 B（2，1） ，且被 y 轴的正半轴截得的线段长为 2 （1）求圆
29、C1的方程； （2）设圆 C2是以直线 l 上的点为圆心的单位圆，若存在圆 C2与圆 C1有交点，求 t 的取值范围 【分析】 （1）由题意结合图形求出圆 C1的圆心坐标和半径，即可写出圆 C1的标准方程； （2）由题意知直线 3x4y+t0 表示一组平行线，由圆心 C1到直线的距离列出不等式，即可求得 t 的取值范围 【解答】解： （1）由题意知，圆 C1经的圆心在线段 AB、AD 的垂直平分线交点上， 所以圆心坐标为 C1（1，2） ，半径为 r1， 所以圆 C1的标准方程为（x1）2+（y2）22； （2）由题意知，3x4y+t0 表示与 3x4y0 平行的一组平行线； 且圆 C2是以直
30、线 l 上的点为圆心的单位圆， 则圆心 C1到直线 l 的距离为 d； 若存在圆 C2与圆 C1有交点，则 d+1， 即+1， 解得5t10+5， 所以 t 的取值范围是5，10+5 【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题 21 （15 分）四棱锥 PABCD 中，ADBC，BCCD，BCCD2AD2，PD，侧面 PBC 是等边三角形 （1）证明：PA平面 PBC； （2）求 BC 与平面 PCD 所成角的余弦值 【分析】 （1）先证明 BC平面 PAM，得到 BCPA，又 PAPM，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）BC2，过 B 作 BH平面 PCD
31、，连接 CH，则BCH 为 BC 与平面 PCD 所成的角，利用等体积转化法求出 BH，再利用三角公式求出即可 【解答】解： （1）证明：取 BC 的中点 M 连接 AM，PM， 所以 PMBC，AMBC， PMAMM，所以 BC平面 PAM， 所以 BCPA，所以 PAAD，PA1， 所以 PA2+PM21+34AM2，得 PAPM， 又 PABC，PMBCM， 故 PA平面 PBC； （2）BC2，过 B 作 BH平面 PCD，连接 CH， 则BCH 为 BC 与平面 PCD 所成的角， 设 P 到底面 ABCD 的距离为 h，h， 由 PCCD2，PD，所以 S， 由等体积法，VpBCD
32、VBPDC， 所以，得 BH， 所以 sinBCH， 所以 cosBCH 【点评】 考查线面垂直的判定定理和性质定理， 等体积法求高， 考查运算能力和空间想象能力， 中档题 22 （15 分）如图，设 F1，F2是椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点，直线 ykx（k0）与椭圆 C 交于 A，B已知椭圆 C 的焦距是 2，四边形 AF1BF2的周长是 4 （）求椭圆 C 的方程； （）直线 AF1，BF1分别与椭圆 C 交于 M，N，求MNF1面积的最大值 【分析】 （）由题意可得 2c2，4a4，b2a2c2，由此能求出椭圆的方程 （） 设 A （x0， y0） ，（x00， y00） ，
33、B （x0， y0） ， 则直线 AF1：， 直线 BF1：，联 立， 得， 把 1 ， 代 入 得0，求出，同理，得，xN，设直线 MN 与 x 轴交于 E（t，0） ，由 M，N，E 三点共线得 kMEkNE，得 t，由此能求出MNF1面积的最大值 【解答】解： （）由题意可得 2c2，4a4，b2a2c2， 解得：a22，b21， 椭圆的方程为：1 （）设 A（x0，y0） ， （x00，y00） ，B（x0，y0） ， 则直线 AF1：，直线 BF1：， 联立，得， 又1，代入化简得0， y0yM， ， 同理，得，xN， 设直线 MN 与 x 轴交于 E（t，0） ， 由 M，N，E 三点共线得 kMEkNE，得 t， ， 当时，取等号 MNF1面积的最大值为 【点评】本题考查椭圆方程、三角形面积的最大值的求法，考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题