2020-2021学年黑龙江省鹤岗市二校联考高二（上）期末数学试卷（理科）含答案解析

1、2020-2021 学年黑龙江省学年黑龙江省鹤岗市鹤岗市二校联考二校联考高二（上）期末数学试卷（理科）高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每小题只有一个正确的结果，每小题一、选择题（每小题只有一个正确的结果，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）过点（0，1）且与直线 y2x3 平行的直线方程（ ） Ay2x2 By2x+1 Cy2x+2 D 2 （5 分） （1+2x）5的二项式系数和是（ ） A35 B1 C25 D1 3 （5 分）若随机变量 XN（3，2） ，且 P（X5）0.2，则 P（1X5）等于（ ） A0.6 B0.5 C0.4 D0.3 4 （5 分

2、）已知随机变量 X 的分布列为（ ） X 0 1 P p 1p 若，则 p 的值为（ ） A B C D 5 （5 分）抛物线 y4x2的焦点坐标是（ ） A （1，0） B （0，1） C （） D （） 6 （5 分）某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） A30 种 B35 种 C42 种 D48 种 7 （5 分）在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，四棱锥 SABCD 为阳马，底面 ABCD 为正方形，SD底面 ABCD，则下列结论中错误的是（ ） AAC

3、SB BAB平面 SCD CSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 8 （5 分）一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小球当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2，则（ ） AE1E2，D1D2 BE1E2，D1D2 CE1E2，D1D2 DE1E2，D1D2 9 （5 分）今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎我市某医院派出

4、 18 护士，2 名医生支援湖北，将他们随机分成甲、乙两个医院，每个医院 10 人，其中 2 名医生恰好被分在不同医院的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）在三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，且 AB2AC2，C30，SA2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A20 B12 C8 D4 11 （5 分）在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标 0，两个面标 1，一个面标 2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（ ） A B C D 12 （5 分）若点 P 是椭圆上的点，且点 I 是焦点三角形PF1F2的内心，F1PF2的角平分

5、线交线段 F1F2于点 M，则等于（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分共分共 20 分）分） 13 （5 分）7 位同学其中 2 男生 5 女生排成一排照相，男生不相邻的排法有 种 14 （5 分） （1ax） （1+x）6的展开式中，x3项的系数为10，则实数 a 15 （5 分）已知函数 yf（x）在区间0，2单调递增，且经过（0，0） ， （2，1） ，我们利用随机模拟的方法估计一下曲线 yf （x） 与 x 轴， x2 围成的面积 S 在0， 2产生 x1， x2， ， xn， 在0， 1产生 y1， y2， ，yn，构成（x1，y1） ， （x2，y2

6、） ， （xn，yn）n 个点，其中 yif（xi） （i1，2，3，n）有 m 个点，那么估计的 S 16 （5 分）已知双曲线，若过右焦点 F 且倾斜角为 30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）已知圆 C 过三点（2，4），直线 l：ax+y+2a0 （）求圆 C 的方程 （）当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且时，求直线 l 的方程 18 （12 分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 80 元，每单抽成 4 元；乙公司无底薪，40 单以内（含 40 单）的部分每

7、单抽成 6 元，超出 40 单的部分每单抽成 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 （1）现从甲公司记录的 50 天中随机抽取 3 天，求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率； （2）若将频率视为概率，回答下列两个问题： 记乙公司送餐员日工资为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望； 小王打

8、算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由 19 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，过点作倾斜角为 的直线 l 与曲线 C：x2+y21 相交于不同的两点 M，N （）写出直线 l 的参数方程； （）求的取值范围 20 （12 分）高考数学考试中有 12 道选择题，每道选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的评分标准规定： “在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得 5 分，不答或答错得 0分” 某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有 8 道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出

9、两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜试求出该考生的选择题： （）得 60 分的概率； （）得多少分的概率最大？ 21 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，ACBC，ACBC2，CC13，点 D，E 分别在棱 AA1和棱 CC1上，且 AD1，CE2，M 为棱 A1B1的中点 （1）求证：C1MB1D； （2）求二面角 BB1ED 的余弦值； 22 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy+0 相切A、B 是椭圆 C 的右顶点与上顶点，直线 ykx（k0）与

10、椭圆相交于E、F 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）当四边形 AEBF 面积取最大值时，求 k 的值 2020-2021 学年黑龙江省学年黑龙江省鹤岗市鹤岗市二校联考高二（上）期末数学试卷（理科）二校联考高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题只有一个正确的结果，每小题一、选择题（每小题只有一个正确的结果，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）过点（0，1）且与直线 y2x3 平行的直线方程（ ） Ay2x2 By2x+1 Cy2x+2 D 【分析】由题意利用两直线平行的性质，用待定系数法求出要求直线的方程 【解答】解：设

11、过点（0，1）且与直线 y2x3 平行的直线方程为 y2x+m， 把点（0，1）代入，可得 10+m，即 m1， 故要求的直线的方程为 y2x+1， 故选：B 【点评】本题主要考查两直线平行的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题 2 （5 分） （1+2x）5的二项式系数和是（ ） A35 B1 C25 D1 【分析】由二项式系数和为 2n即可求解 【解答】解： （1+2x）5的二项式系数和为 25 故选：C 【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项式系数的性质，属于基础题 3 （5 分）若随机变量 XN（3，2） ，且 P（X5）0.2，则 P（1X5）等于（ ） A0.6 B0.5

12、C0.4 D0.3 【分析】由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解 【解答】解：随机变量 XN（3，2） ，且 P（X5）0.2， P（1X5）12P（X5）120.20.6 故选：A 【点评】本题考查了正态分布的对称性，用好正态分布的对称性时解决正态分布概率问题的关键，是基础题 4 （5 分）已知随机变量 X 的分布列为（ ） X 0 1 P p 1p 若，则 p 的值为（ ） A B C D 【分析】由随机变量 X 的分布列，求出 E（X）1p，由此能求出 D（X） 【解答】解：由随机变量 X 的分布列，知：E（X）1p， D（X）（p1）2p+p2（1p）， 解得 p 故选：A 【点评】

13、 本题考查离散型随机变量的分布列的应用， 考查离散型随机变量的数学期望、 方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 5 （5 分）抛物线 y4x2的焦点坐标是（ ） A （1，0） B （0，1） C （） D （） 【分析】将抛物线化简得 x2y，解出，结合抛物线标准方程的形式，即得所求焦点坐标 【解答】解：抛物线的方程为 y4x2，即 x2y 2p，解得 因此抛物线 y4x2的焦点坐标是（0，） 故选：D 【点评】本题给出抛物线方程，求抛物线的焦点坐标着重考查了抛物线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题 6 （5 分）某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位

14、同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） A30 种 B35 种 C42 种 D48 种 【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门；A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果 【解答】解：可分以下 2 种情况：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，有 C31C42种不同的选法； A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有 C32C41种不同的选法 根据分类计数原理知不同的选法共有 C31C42+C32C4118+1230 种 故选：A 【点评】本小题

15、主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C73C33C4330 7 （5 分）在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，四棱锥 SABCD 为阳马，底面 ABCD 为正方形，SD底面 ABCD，则下列结论中错误的是（ ） AACSB BAB平面 SCD CSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 【分析】对于 A，推导出 ACBD，ACSD，从而 AC平面 SBD，进而 ACSB；对于 B，推导出

16、 ABCD，从而是 AB平面 SCD；对于 C，由 SD平面 ABCD，ADCD，得到 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角；对于 D，AB 与 SC 所成的角为SCDSDC90，DC 与 SA 所成的角为 90 【解答】解：四棱锥 SABCD 为阳马，底面 ABCD 为正方形，SD底面 ABCD， 对于 A，底面 ABCD 为正方形，ACBD， SD底面 ABCD，AC底面 ABCD，ACSD， BDSDD，BD平面 SBD，SD平面 SBD， AC平面 SBD，SB平面 SBD，ACSB，故 A 正确； 对于 B，底面 ABCD 为正方形，ABCD， AB平面

17、 SCD，CD平面 SCD，AB平面 SCD，故 B 正确； 对于 C，SD平面 ABCD，ADCD， SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角，故 C 正确； 对于 D，ABCD，AB 与 SC 所成的角为SCDSDC90， CD平面 SAD，SA平面 SAD，DC 与 SA 所成的角为 90，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 8 （5 分）一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小球当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球

18、数为 1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2，则（ ） AE1E2，D1D2 BE1E2，D1D2 CE1E2，D1D2 DE1E2，D1D2 【分析】求出 1的可能取值为 0，1，2，1B（2， ） ，从而 E（1）2，D（1）；求出 2的可能取值为 0，1，P（20），P（21），从而求出 E（2） ，D（2） ，由此能求出结果 【解答】解：一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小球 当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 1， 则 1的可能取值为 0，1，2，1B（2，） ， E（1）2，D（1）， 当无放回依次取出两个小球

19、时，记取出的红球数为 2， 则 2的可能取值为 0，1， P（20）， P（21）， E（2）， D（2）（0）2+（1）2 E1E2，D1D2 故选：B 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9 （5 分）今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎我市某医院派出 18 护士，2 名医生支援湖北，将他们随机分成甲、乙两个医院，每个医院 10 人，其中 2 名医生恰好被分在不同医院的概率为（ ） A B C D 【分析】 基本事件总数 n， 其中 2

20、 名医生恰好被分在不同医院包含的基本事件个数 m，由此能求出其中 2 名医生恰好被分在不同医院的概率 【解答】解：某医院派出 18 护士，2 名医生支援湖北，将他们随机分成甲、乙两个医院，每个医院 10人， 基本事件总数 n， 其中 2 名医生恰好被分在不同医院包含的基本事件个数 m2， 其中 2 名医生恰好被分在不同医院的概率为 P 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 10 （5 分）在三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，且 AB2AC2，C30，SA2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A20 B12 C8 D4 【分析】

21、首先利用三棱锥和外接球的关系求出球的半径，进一步利用球的表面积公式求出球的表面积 【解答】解：三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，且 AB2AC2，C30，SA2， 如图所示： 在ABC 中，利用正弦定理：，解得 r2 OD，设外接球的半径为 R， 所以 R2r2+OD25， 所以球的半径为 R， 则 S表4520 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三棱锥和外接球的关系，球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 11 （5 分）在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标 0，两个面标 1，一个面标 2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的

22、数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（ ） A B C D 【分析】将这个小正方体连续抛掷两次，向上的数字的乘积为偶数，基本事件总数 n46+2432，该乘积为非零偶数包含的基本事件个数 m13+215由此能求出该乘积为非零偶数的概率 【解答】解：在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标 0，两个面标 1，一个面标 2， 将这个小正方体连续抛掷两次，向上的数字的乘积为偶数包含两种情况： 第一次取到偶数，有 46 种情况，第一次取到奇数，第二次必须取到偶数，有 24 种情况， 基本事件总数 n46+2432， 该乘积为非零偶数是指第一次取到 2，第二次到 1 或 2，有 13 种情况

23、；第一次取到 1，第二次取到 2，有 21 种情况， 该乘积为非零偶数包含的基本事件个数 m13+215 该乘积为非零偶数的概率 p 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 12 （5 分）若点 P 是椭圆上的点，且点 I 是焦点三角形PF1F2的内心，F1PF2的角平分线交线段 F1F2于点 M，则等于（ ） A B C D 【 分 析 】 令F1F2边 上 的 高 为h ， 则， 结 合 内 切 圆 的 性 质 可 得，进而可得到，整理即可 【解答】解：令 P 到 F1F2的高为 h，则， 由内切圆的定义知：， 故，则， ， 故选：A 【点

24、评】本题考查焦点三角形的相关性质，内切圆的相关性质，属于中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分共分共 20 分）分） 13 （5 分）7 位同学其中 2 男生 5 女生排成一排照相，男生不相邻的排法有 3600 种 【分析】将 2 名男生插入到 5 名女生所形成的空中，利用分步计数原理求出结果 【解答】解：将 2 名男生插入到 5 名女生所形成的空中，即 A55A623600 种， 故答案为：3600 【点评】本题主要考查分步计数原理，考查了不相邻问题，属于基础题 14 （5 分） （1ax） （1+x）6的展开式中，x3项的系数为10，则实数 a 2 【分析】根据（1+x）6中

25、 x2、x3项的系数，再根据展开式中 x3的系数为10，求得 a 的值 【解答】解： （1+x）6的展开式中通项公式 Tr+1xr， 令 r3 或 2， 则 x3项的系数为：1a10，解得 a2 故答案为：2 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题 15 （5 分）已知函数 yf（x）在区间0，2单调递增，且经过（0，0） ， （2，1） ，我们利用随机模拟的方法估计一下曲线 yf （x） 与 x 轴， x2 围成的面积 S 在0， 2产生 x1， x2， ， xn， 在0， 1产生 y1， y2， ，yn，构成（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，

26、yn）n 个点，其中 yif（xi） （i1，2，3，n）有 m 个点，那么估计的 S 2（1） 【分析】根据题意，由几何概型的计算公式可得，变形计算可得答案 【解答】解：根据题意，x 轴、y 轴，直线 x2 和 y1 围成一个矩形，其面积 S2， 而曲线 yf（x）与 x 轴，x2 围成的面积为 S， 又由在0，2产生 x1，x2，xn，在0，1产生 y1，y2，yn，构成（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn）n 个点， 其中 yif（xi） （i1，2，3，n）有 m 个点，即有 nm 个点在曲线 yf（x）与 x 轴，x2 围成的图形中， 则有，则有 s2（1） ， 故答

27、案为：2（1） 【点评】本题考查模拟方法估计概率，涉及几何概型的性质，属于基础题 16 （5 分）已知双曲线，若过右焦点 F 且倾斜角为 30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 【分析】 要使直线与双曲线有两个交点， 需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，求得 a 和 b 的不等式关系，进而根据 b转化成 a 和 c 的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于 1，综合可得求得 e 的范围 【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即tan30，ba b，a， 整理得 ca，e 双曲

28、线中 e1，e 的范围是（1，） 故答案为： （1，） 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）已知圆 C 过三点（2，4），直线 l：ax+y+2a0 （）求圆 C 的方程 （）当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且时，求直线 l 的方程 【分析】 （）直接设圆的一般方程求出对应系数即可； （）根据圆中相交弦长的一半与半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，解出参数的值 【解答】解： （）设圆 C 的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F0； 把点（2，4），分别代入联立解得； 圆 C 的方程

29、x2+y28y+120 即圆的圆心为（0，4） ，半径为 2 （）过圆心 C 作 CDAB，则根据题意和圆的性质， 得 解得 a7 或 a1 故所求直线方程为 7xy+140 或 xy+20 【点评】本题主要考查圆的相交弦长的计算以及圆的方程的求解，属于基础题 18 （12 分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 80 元，每单抽成 4 元；乙公司无底薪，40 单以内（含 40 单）的部分每单抽成 6 元，超出 40 单的部分每单抽成 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公

30、司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 （1）现从甲公司记录的 50 天中随机抽取 3 天，求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率； （2）若将频率视为概率，回答下列两个问题： 记乙公司送餐员日工资为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望； 小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由 【分析】 （） 记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 M，可得

31、 P（M）的值 （） （）设乙公司送餐员送餐单数为 a，可得当 a38 时，X386，以此类推可得：当 a39 时，当 a40 时，X 的值当 a41 时，X 的值，同理可得：当 a42 时，XX 的所有可能取值可得 X 的分布列及其数学期望 （）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出 【解答】 （1）记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 为事件 M， 则 （2）设乙公司送餐员送餐单数为 a， 则当 a38 时，X386228，当 a39 时，X396234，当 a40 时，X406240， 当 a41 时，X406+17247，当 a42 时

32、，X406+27254 所以 X 的所有可能取值为 228，234，240，247，254故 X 的分布列为： X 228 234 240 247 254 P 依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为 380.2+390.3+400.2+410.2+420.139.7 所以甲公司送餐员日平均工资为 80+439.7238.8 元 由得乙公司送餐员日平均工资为 241.8 元 因为 238.8241.8，故推荐小王去乙公司应聘 【点评】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，过点作倾斜角为

33、 的直线 l 与曲线 C：x2+y21 相交于不同的两点 M，N （）写出直线 l 的参数方程； （）求的取值范围 【分析】 （）利用直线的参数方程的意义即可写出； （）把直线的参数方程代入圆的方程，利用根与系数的关系即可求出 【解答】解： （）直线 l 过点且倾斜角为 ， 直线 l 的参数方程为（t 为参数） ； （）把（t 为参数）代入 x2+y21， 得， 直线 l 与曲线 C：x2+y21 相交于不同的两点 M，N， 0， 化为 又，t1t22 ， ， 的取值范围是 【点评】熟练直线的参数方程及其几何意义、一元二次方程的根与系数的关系是解决问题的关键 20 （12 分）高考数学考试中有

34、 12 道选择题，每道选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的评分标准规定： “在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得 5 分，不答或答错得 0分” 某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有 8 道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜试求出该考生的选择题： （）得 60 分的概率； （）得多少分的概率最大？ 【分析】 （）要得 60 分，必须 12 道选择题全答对，依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，由此能求

35、出他做选择题得 60 分的概率 （）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60 共 5 种得分为 40，表示只做对有把握的那 8 道题，其余各题都做错类似的，能够求出得 45 分为的概率、得分为 50 的概率、得分为55 的概率和得分为 60 的概率由此能得到最终结果 【解答】解： （）要得 60 分，必须 12 道选择题全答对， 依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以他做选择题得 60 分的概率为： （）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60 共 5 种 得分为 40， 表示只

36、做对有把握的那 8 道题， 其余各题都做错， 于是其概率为： 类似的，可知得 45 分为的概率： 得分为 50 的概率：；得分为 55 的概率：；得分为 60 的概率： 该生选择题得分为 45 分或 50 分的可能性最大 【点评】本题考查概率的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意概念乘法公式的合理运用 21 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，ACBC，ACBC2，CC13，点 D，E 分别在棱 AA1和棱 CC1上，且 AD1，CE2，M 为棱 A1B1的中点 （1）求证：C1MB1D； （2）求二面角 BB1ED 的余弦值； 【分析】 （1）由 C

37、C1平面 ABC，可推出 BB1平面 A1B1C1，进而得平面 ABB1A1平面 A1B1C1，易知C1MA1B1，再由面面垂直的性质定理可证得 C1M平面 ABB1A1，故 C1MB1D； （2）以 C 为原点，以 CA、CB、CC1所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，写出 A、B、D、B1、E 的坐标，根据法向量的性质求得平面 B1ED 的法向量 ；可证得 AC平面 BEB1，故平面 BEB1的一个法向量为 （1，0，0） ，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 BB1ED 的余弦值 【解答】证明： （1）ACBC，A1C1B1C1， M 为棱 A1B1的中点，C1MA1B1

38、CC1平面 ABC，BB1CC1，BB1平面 ABC，即 BB1平面 A1B1C1， 又 BB1平面 ABB1A1，平面 ABB1A1平面 A1B1C1， 又平面 ABB1A1平面 A1B1C1A1B1，C1M平面 A1B1C1， C1M平面 ABB1A1， B1D平面 ABB1A1， C1MB1D； 解： （2）以 C 为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，D（2，0，1） ，B1（0，2，3） ，E（0，0，2） ， （0，2，1） ，（2，0，1） ， 设平面 B1ED 的法向量为 （x，y，z

39、） ， 则，令 z2，得 （1，1，2） ， CC1平面 ABC，CC1AC， ACBC，CC1BCC，CC1、BC平面 BEB1， AC平面 BEB1， 平面 BEB1的一个法向量为 （1，0，0） ， cos， 由图可知，平面 B1ED 与平面 BEB1所成角为锐角， 故二面角 BB1ED 的余弦值为 【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的性质定理，以及利用空间向量处理线面角、二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题 22 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，以原

40、点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy+0 相切A、B 是椭圆 C 的右顶点与上顶点，直线 ykx（k0）与椭圆相交于E、F 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）当四边形 AEBF 面积取最大值时，求 k 的值 【分析】 （1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出 a，b 即可求出椭圆的方程 （2）设 E（x1，kx1） ，F（x2，kx2） ，其中 x1x2，将 ykx 代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点 E，F 到直线 AB 的距离分别，表示出四边形 AEBF 的面积，利用基本不等式求出四边形 AEBF 面积的最大值时的 k 值即可 【解答】解： （1）由题意知：，a24b2（2 分） 又圆 x2+y2b2与直线相切，b1，a24，（3 分） 故所求椭圆 C 的方程为（4 分） （2）设 E（x1，kx1） ，F（x2，kx2） ，其中 x1x2， 将 ykx 代入椭圆的方程整理得： （k2+4）x24， 故（5 分） 又 点E ， F到 直 线AB的 距 离 分 别 为，（7 分） 所以四边形 AEBF 的面积为（9 分） ，（11 分） 当 k24（k0） ，即当 k2 时，上式取等号 所以当四边形 AEBF 面积的最大值时，k2（12 分） 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及计算能力