1、平面向量平面向量 一、单选题 1（2021 重庆复旦中学高一期末）已知2,1a r，sin,cosbr，若abrr，则tan（ ） A12 B12 C2 D2 2（2021 北京北理工附中高一期末）已知向量1, 3a，向量13,22b ，则向量a与向量b的夹角为（ ） A60 B30 C120 D150 3（2021 北京市八一中学高一期末）设非零向量, a b ，则“0abab”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4（2021 福建三明市 三明一中高三其他模拟）已知向量(3, 2)a r，(1, )bx，且abrr与2abrr共线，则
2、x=（ ） A23 B23 C32 D32 5（2021 河北衡水中学高三其他模拟）已知|2a r，| 4b r，当(4)babrrr时，向量ar与br的夹角为（ ） A6 B4 C23 D34 6（2021 河北高三其他模拟）在菱形ABCD中，1,60ABBAD，设,ABa BCb CDc DAduuu ruuu ruuu ruuu rrrru r，则a bb ca da c r rr rr u rr r（ ） A1 B32 C12 D0 7（2021 河南高三其他模拟（理）已知非零向量, a brr满足2barr，且32ababrrrr，则ar与br的夹角为（ ） A45o B135o C
3、60o D120o 8 （2021 全国高三其他模拟（理） 在ABCV中，3AEECuuuuuru r，D 是BE上的点， 若23ADxABACuuu ruuu ruuu r，则实数 x 的值为（ ） A13 B23 C43 D19 9（2021 辽宁铁岭市 高三二模）ABCV的外接圆的半径等于 3，4AB ， 则A BA C u u u r u u u r的取值范围是 （ ） A4,24 B8,20 C8,12 D4,20 10（2021 浙江高三其他模拟）已知, a br r为单位向量，向量cr满足|2| |caa brrr r，则cbrr的最大值为（ ） A2 B2 C3 D3 11（2
4、021 岐山高级中学高三其他模拟（理）已知向量( 1,2)a r，3,4b r，tR，则5tabrr的最小值为（ ） A2 B3 C2 D10 12（2021 贵州高三二模（理）已知,2, 1,1,2a b ，若向量,ma b，1,1n，则向量m与n所成的角为锐角的概率是（ ） A316 B14 C38 D716 二、填空题 13（2021 宝山区 上海交大附中高三其他模拟）设向量2,1a r，er是与ar方向相反的单位向量，则er的坐标为_. 14（2021 北京海淀区 清华附中高三其他模拟） 已知正方形ABCD的边长为3， 若3B PP Du u u ru u u r， 则P AP B u
5、 u u r u u u r的值为_ 15（2021 全国高一专题练习） 已知向量(1,3)a r，(sin,cos)br， 若/ /abrr， 则t a n4_. 16（2021 甘肃兰州市 高三其他模拟（理）在ABCV中，(2)0ABACBCuuu ruuu ruuu r，1sin3C ，则22sinsinAB的值为_ 平面向量平面向量 一、单选题 1（2021 重庆复旦中学高一期末）已知2,1a r，sin,cosbr，若abrr，则tan（ ） A12 B12 C2 D2 【答案】B 【分析】 根据平面向量垂直的数量积坐标表示以及商数关系即可求出 【详解】 因为abrr，所以2sinc
6、os0a b r r，即1tan2 故选：B 2（2021 北京北理工附中高一期末）已知向量1, 3a，向量13,22b ，则向量a与向量b的夹角为（ ） A60 B30 C120 D150 【答案】A 【分析】 利用向量的夹角公式求出向量a与向量b的夹角. 【详解】 设向量1, 3a，向量13,22b 的夹角为，则0 ， 因为221313122cos =2131 322a bab r rgrr 所以60. 故选：A. 3（2021 北京市八一中学高一期末）设非零向量, a b ，则“0abab”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案
7、】C 【分析】 结合向量运算法则计算即可. 【详解】 因为22() ()0ababababrrrrrrrr， 所以“() ()0ababrrrr”是“abrr”的充要条件. 故选：C 4（2021 福建三明市 三明一中高三其他模拟）已知向量(3, 2)a r，(1, )bx，且abrr与2abrr共线，则 x=（ ） A23 B23 C32 D32 【答案】B 【分析】 先表示出向量abrr和2abrr的坐标，然后由abrr与2abrr共线，列方程可求出x的值 【详解】 2, 2abx rr，27, 4abx rr，abrr与2abrr共线， 24720 xx ，解得23x 故选：B 5（20
8、21 河北衡水中学高三其他模拟）已知|2a r，| 4b r，当(4)babrrr时，向量ar与br的夹角为（ ） A6 B4 C23 D34 【答案】B 【分析】 根据题意，设向量ar与br的夹角为，由数量积的计算公式可得2(4)416 2cos160baba bbrrrrrr，变形可得cos的值，结合的范围分析可得答案 【详解】 根据题意，设向量ar与br的夹角为， 若(4)babrrr，则2(4)416 2cos160baba bbrrrrrr， 变形可得：2cos2， 又由0 剟，则4， 故选：B 6（2021 河北高三其他模拟）在菱形ABCD中，1,60ABBAD，设,ABa BCb
9、 CDc DAduuu ruuu ruuu ruuu rrrru r，则a bb ca da c r rr rr u rr r（ ） A1 B32 C12 D0 【答案】B 【分析】 作出菱形ABCD的草图，根据图形和已知条件，可知各向量之间夹角，再利用向量的数量积公式，及可求出结果. 【详解】 如图， 由于在菱形ABCD中，1,60ABBAD， 所以,60AB BCa buuu r uur ru r，,120BCb cCDuuururruu r,120ABa dDAr uuuu r uurru，,180ABa cCDuuururruu r，且1abcdrrru r； 所以11cos,1 12
10、2a baba b r rrrr r；11cos,1 122b cbcb c rrrrrr；11cos,1 122a dada d rrrrrr；cos,1 111a ca ca c r rrrr r. 所以111312222a bb ca da c r rr rr u rr r. 故选：B. 7（2021 河南高三其他模拟（理）已知非零向量, a brr满足2barr，且32ababrrrr，则ar与br的夹角为（ ） A45o B135o C60o D120o 【答案】B 【分析】 由垂直关系可知 320ababrrrr， 由数量积的运算律可求得2cos,2a b rr， 由此可确定所求夹
11、角. 【详解】 32ababrrrrQ， 320ababrrrr， 即2222323cos,20aa bbaa ba bb rrrrrrrrrr，又2barr且0a r， 2222232cos,42cos,0aaa baaaa b rrrrrrrrr， 2cos,2a b rr，又,0,a brr，43, a brr，即,135a borr. 故选：B. 8 （2021 全国高三其他模拟（理） 在ABCV中，3AEECuuuuuru r，D 是BE上的点， 若23ADxABACuuu ruuu ruuu r，则实数 x 的值为（ ） A13 B23 C43 D19 【答案】D 【分析】 由3A
12、EECuuuuuru r得到43ACAEuuu ruuu r， 然后带入23ADxABACuuu ruuu ruuu r， 进而得到89ADxABAEuuu ruuu ruuu r， 然后根据 B，D，E 三点共线，即可求出结果. 【详解】 解：3AEECuuuuuru r，43ACAEuuu ruuu r， 23ADxABACuuu ruuu ruuu r， 248339ADxABAExABAEuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r， B，D，E 三点共线，819x，19x 故选：D 9（2021 辽宁铁岭市 高三二模）ABCV的外接圆的半径等于 3，4AB ， 则A BA C
13、u u u r u u u r的取值范围是 （ ） A4,24 B8,20 C8,12 D4,20 【答案】D 【分析】 建系后，根据圆上一动点 C 的坐标，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】 以O为坐标原点，ABxP轴，建立坐标系，如图， 则2,5A ，2,5B， 设3cos ,3sinC， (4,0)AB，(3cos2,3sin5)AC 则12cos84,20AB AC uuu r uuu r， 故选：D 10（2021 浙江高三其他模拟）已知, a br r为单位向量，向量cr满足|2| |caa brrr r，则cbrr的最大值为（ ） A2 B2 C3 D3 【答案】B 【分析】
14、 由|2| |caa brrrrg得1|()|22aca b rrrrg，说明cr的终点的轨迹是以2ar的终点为圆心，1|2a brrg为半径的圆，|cbrr的最大值是圆心与br的终点之间的距离加上半径，即为1|()|22aba b rrrrg，再将其化成ar，br的模和夹角可解得 【详解】 解：由|2| |caa brrrrg得122aca b rrrrg，说明cr的终点的轨迹是以2ar的终点为圆心，1|2a brrg为半径的圆， |cbrr的最大值是圆心与br的终点之间的距离加上半径，即为1|()|22aba b rrrrg， 2111|()|2222aba bbaa brrrrrrrrQ
15、gg 11142a ba brrrrgg 111cos,cos,42a ba b rrrr 111142 2，（当且仅当cos,1a brr时取等号） 故选：B 【点睛】 本题考查平面向量数量积及向量模的计算，解答的关键是根据式子的几何意义转化计算； 11（2021 岐山高级中学高三其他模拟（理）已知向量( 1,2)a r，3,4b r，tR，则5tabrr的最小值为（ ） A2 B3 C2 D10 【答案】D 【分析】 先由向量的坐标运算得到5tabrr的坐标表示， 再由向量模的坐标表示， 得到25625550tttab rr，根据配方法，即可得出最小值. 【详解】 因为向量( 1,2)a
16、r，3,4b r， 所以53 5,24 5tabtt rr， 因此222232451012555551001055ttttbtta rr， 当且仅当5t 时，取得最小值. 故选：D. 12（2021 贵州高三二模（理）已知,2, 1,1,2a b ，若向量,ma b，1,1n，则向量m与n所成的角为锐角的概率是（ ） A316 B14 C38 D716 【答案】B 【分析】 向量m与n所成的角为锐角等价于0m n ，且m与n不同向，从而枚举出所有满足条件的向量m，除以总数即可求得概率. 【详解】 向量m与n所成的角为锐角等价于0m n ，且m与n不同向， 则( , ) (1,1)0m na b
17、ab ，则满足的向量m有( 1,2)，(1,1)，(1,2)，(2, 1)，(2,1)，(2,2)，其中(1,1)m或(2,2)时，与n同向，故舍去，共有 4 种情况满足条件， 又m的取法共有4 416 种， 则向量m与n所成的角为锐角的概率是41164 故选：B 【点睛】 关键点点睛：向量m与n所成的角为锐角等价于0m n ，且m与n不同向. 二、填空题 13（2021 宝山区 上海交大附中高三其他模拟）设向量2,1a r，er是与ar方向相反的单位向量，则er的坐标为_. 【答案】2 55,55 【分析】 根据相反向量、向量模的概念，求得ar相反向量的坐标及模长，即可求er的坐标. 【详解
18、】 由ar相反向量为( 2, 1)且模长为5， er2 55(,)55. 故答案为：2 55(,)55 14（2021 北京海淀区 清华附中高三其他模拟） 已知正方形ABCD的边长为3， 若3B PP Du u u ru u u r， 则P AP B u u u r u u u r的值为_ 【答案】98 【分析】 由题可得33 644BPBD，由PA PBPBBAPBuu u r uuu ruuu ruu u ruuu r可求解. 【详解】 正方形中，6BD，Q3BPPDuuu ruuu r，33 644BPBD， 223 63 62934428PA PBPBBAPBPBBA BPuu u r
19、 uuu ruuu ruu u ruuu ruuu ruu u r uuu r. 故答案为：98. 15（2021 全国高一专题练习） 已知向量(1,3)a r，(sin,cos)br， 若/ /abrr， 则t a n4_. 【答案】2 【分析】 由向量平行得tan，再由正切两角和公式计算即可. 【详解】 由/ /abrr可得，3sincos，得1tan3，而11tan13tan()2141tan13. 故答案为：2. 16（2021 甘肃兰州市 高三其他模拟（理）在ABCV中，(2)0ABACBCuuu ruuu ruuu r，1sin3C ，则22sinsinAB的值为_ 【答案】127
20、 【分析】 利用向量的数量积化简已知条件，再利用余弦定理和正弦定理化简即可求解. 【详解】 在ABCV中，(2)0ABACBCuuu ruuu ruuu r， 可得(22coscos0)ABACBCAB ACAAB BCBuuuuuu ruuu rur uuu ruuu r uuuuu rr 2coscosbcAacB即2 coscosbAaB 由余弦定理可知222222222bcaacbbabcac，可得22233abc， 由正弦定理可知2223sin3sinsinABC， 因为1sin3C ， 所以221sinsin27AB. 故答案为：127. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键点是将已知条件转化为三角形的边和角，再利用正弦和余弦定理计算.