1、三角函数与解三角形三角函数与解三角形 一、单选题 1（2021 湖北高二期中）在ABCV中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知12,30bA，使得三角形有两解的条件是（ ） A6a B612a C12a D6a 2（2021 安徽高一期中）已知在锐角ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3A，则222bca的取值范围是（ ） A5,34 B0,3 C5,24 D5,23 3（2021 赤峰二中高三三模（理）已知3sin2 2sin2，则cos2（ ） A79 B79 C13 D13 4（2020 江苏高三一模）已知0,2，2sin2cos21，则3cos2（ ） A15
2、 B55 C2 55 D55 5（2021 河南高二其他模拟（理）已知,2 2 ，若9cos26cos50，则sin（ ） A2 23 B2 23 C2 23 D13 6（2021 正阳县高级中学高三其他模拟（理）函数 sin0,0,2f xAxA的部分图象如图所示，则12f（ ） A1 B12 C22 D32 7（2021 全国高三其他模拟（理）已知0，顺次连接函数2sinyx与2cosyx的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（ ） A12 B62 C D2 8（2021 全国高三其他模拟（理）若函数( )3sin(0)3f xx在,3 4 上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
3、A(0,3 B10,2 C10,4 D100,3 8（2021 全国高三其他模拟（理）若函数( )3sin(0)3f xx在,3 4 上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A(0,3 B10,2 C10,4 D100,3 10（2021 陕西高三其他模拟 （理） ） 已知在ABCV中， 角, ,A B C的对边分别为2, , ,cos,2,3.3a b cAbc则BC边上的高为（ ） A1 B2 C3 D2 11（2021 四川成都市 双流中学高三三模（理）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若2cossin0sincosAABB，则abc的值是（ ） A2 B3 C
4、2 D1 12（2021 安徽合肥市 合肥一中高三其他模拟（理）ABCV的内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，满足2 coscoscos()cBbAaAC，2c ，4a， D 为边AC上一点满足2CDDAuuu ruuu r， 则|BD uuu r（ ） A4 33 B169 C43 D23 二、填空题 13（2021 陕西高三其他模拟（理）在ABCV中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，外接圆半径为 r，若coscossinsinACrAC，2,3 2bac，则ABCV的面积S _. 14（2021 上海高三其他模拟）设函数cos20yx x和函数cos100yx x的图象的公
5、共点的横坐标从小到大依次为1x，2x，nx，若34tancosxx，则sin2_. 15（2021 全国高三其他模拟（理）在ABCV中，内角, ,A B C的对边分别为, , ,a b c A为锐角，tan cos1 sin ,BCCABC V的面积为 2，则ABCV的周长的最小值为_. 16（2021 江苏连云港市 高三其他模拟）如图，在梯形ABCD中，/AD BC，24BCABAD，3DAB，点E是AB的中点，则cosDEC_. 三角函数与解三角形三角函数与解三角形 一、单选题 1（2021 湖北高二期中）在ABCV中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知12,30bA，使得三角
6、形有两解的条件是（ ） A6a B612a C12a D6a 【答案】B 【分析】 计算C到AB的距离h，结合图形即可得出结论 【详解】 12b Q，30A， C到AB的距离sin6hbA， 当6a时，三角形无解， 当6a时，三角形有一解， 当612a时，三角形有两解， 当12a时，三角形有一解 故选：B 2（2021 安徽高一期中）已知在锐角ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3A，则222bca的取值范围是（ ） A5,34 B0,3 C5,24 D5,23 【答案】D 【分析】 结合正弦定理、二倍角公式及两角和与差的正弦公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可得答案. 【详解
7、】 3A，由正弦定理22222222sinsinsinsinsi34nbcBCBCaA 2241 cos221 cos23sinsin3334422BBBB 11sin 22436B， 因为022032BB，所以5,262 666BB ， 所以1sin 2126B，5411sin 223326B， 即222bca的取值范围是5,23. 故选：D. 3（2021 赤峰二中高三三模（理）已知3sin2 2sin2，则cos2（ ） A79 B79 C13 D13 【答案】A 【分析】 由诱导公式， 同角间的三角函数关系式得tan， 然后由二倍角公式， 利用同角关系式化为关于sin,cos的二次齐次
8、式，再弦化切求值 【详解】 解：因为3sin2 2sin2 2cos2 ， 所以tan2 2， 所以222222cossin1 tan1 87cos2cossin1tan1 89 . 故选：A. 4（2020 江苏高三一模）已知0,2，2sin2cos21，则3cos2（ ） A15 B55 C2 55 D55 【答案】B 【分析】 首先根据二倍角公式得到1tan2，从而得到5sin5，再利用诱导公式求解即可. 【详解】 22sin2cos214sincos2cos ， 因为0,2，所以cos0，所以1tan2. 因为0,2，所以5sin5.所以35cossin25. 故选：B 5（2021
9、河南高二其他模拟（理）已知,2 2 ，若9cos26cos50，则sin（ ） A2 23 B2 23 C2 23 D13 【答案】A 【分析】 根据二倍角公式可得(3cos1)(3cos2)0，求出1cos3，再根据同角三角函数的平方关系可求出答案 【详解】 解：由题可知9cos26cos50，即29cos3cos20， (3cos1)(3cos2)0， ,2 2 Q，1cos3，22 2sin1 cos3 ， 故选：A 6（2021 正阳县高级中学高三其他模拟（理）函数 sin0,0,2f xAxA的部分图象如图所示，则12f（ ） A1 B12 C22 D32 【答案】A 【分析】 根据
10、函数图象易知74123T，即可求出T，再根据7112f ，而712122T，根据三角函数的性质即可知112f 【详解】 由图象知，23471T，又7112f ，712122T，所以112f. 故选：A. 7（2021 全国高三其他模拟（理）已知0，顺次连接函数2sinyx与2cosyx的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（ ） A12 B62 C D2 【答案】D 【分析】 首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的边长即可， 再根据2sincos442可知等腰直角三角形的斜边上的高， 由此求得斜边长即函数
11、的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 当正弦值等于余弦值时，函数值为22，故等腰直角三角形斜边上的高为2，由此得到斜边边长为4，斜边边长边长即为函数的最小正周期，故24,2. 故选：D. 8（2021 全国高三其他模拟（理）若函数( )3sin(0)3f xx在,3 4 上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A(0,3 B10,2 C10,4 D100,3 【答案】B 【分析】 由题知，,333 43x ， 函数单增应满足23322432kk ， 解得参数范围即可. 【详解】 由,3 4x 知，,333 43x ，在区间上单增，应满足： 23322432kk ，kZ，解得1621083kk
12、 又0，易知 k 只能取 0， 解得10,2 故选：B 9（2021 全国高三其他模拟（理）在ABCV中，2AB，73AB，4BC，CD平分ACB交AB于点,D则线段AD的长为（ ） A1 B23 C12 D13 【答案】A 【分析】 设ACDBCD，ADx， 则73B Dx， 在A C D和BCD中运用正弦定理得到x和cosB的关系式； 在ABCV中运用正弦定理及二倍角公式可解得cosB， 代入x和cosB的关系式即可得到AD的长. 【详解】 设ACDBCD，ADx，则73BDx， 在ACD中，由正弦定理，得sinsinxCDA， 在 BCD中，由正弦定理，得73sinsinxCDB， 两式
13、相除，得sin7sin3xBAx，即sin7sin23xBBx，所以172cos3xBx， 在ABCV中，由正弦定理，得743sinsinAAB，即sin212sin37BB， 又因为sin3sin2sincos2cossin2BBBBBBB 23sin1 2sincos2sincos3sin4sinBBBBBBB， 所以32sincos123sin4sin7BBBB，化简得224cos7cos60BB， 解得2cos3B 或3cos8B ， 代入172cos3xBx得1x ，即1AD . 故选：A. 10（2021 陕西高三其他模拟 （理） ） 已知在ABCV中， 角, ,A B C的对边分
14、别为2, , ,cos,2,3.3a b cAbc则BC边上的高为（ ） A1 B2 C3 D2 【答案】D 【分析】 先根据余弦定理求得 a，再由余弦定理求得cosB，继而求得sinB，从而可得选项. 【详解】 因为2cos,2,3.3Abc所以222+cos2bcaAbc，即22222 +332 2 3a ，解得5a ， 所以2222225+325cos2+32 35cabBac ，又0B，所以2sin3B ， 所以BC边上的高为2sin323cB ， 故选：D. 11（2021 四川成都市 双流中学高三三模（理）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若2cossi
15、n0sincosAABB，则abc的值是（ ） A2 B3 C2 D1 【答案】C 【分析】 由题意和三角恒等变换的公式，求得sin()cos()2ABAB，根据正弦函数与余弦函数的性质得到sin()1AB且cos()1AB，得出20ABAB，求得4AB，2C，结合正弦定理，即可求解. 【详解】 因为2cossin0sincosAABB，即2cossinsincosAABB， 所以cossinsincos2AABB， 可得cossincoscossinsinsincos2ABABABAB， 所以sin()cos()2ABAB， 由正弦函数与余弦函数的性质，可得sin()1AB且cos()1AB
16、， 因为, ,(0, )A B C且AB C， 所以20ABAB，解得4AB，所以2C， 又由正弦定理可得22sinsin222sin1abABcC. 故选：C. 12（2021 安徽合肥市 合肥一中高三其他模拟（理）ABCV的内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，满足2 coscoscos()cBbAaAC，2c ，4a， D 为边AC上一点满足2CDDAuuu ruuu r， 则|BD uuu r（ ） A4 33 B169 C43 D23 【答案】C 【分析】 由三角形中的三角恒等关系，结合正弦定理易得1cos2B ，再根据平面向量加减运算的几何意义有2133BDBABCuuu ruu
17、u ruuu r，应用向量数量积的运算律，即可求|BDuuu r. 【详解】 由2 coscoscos()cBbAaAC得：2sincossincossincosCBBAAB， 2sincossin()sinCBABC ，而sin0C ， 1cos2B ， 由2CDDAuuu ruuu r，有2()BDBCBABDuuu ruuu ruuu ruuu r，即2133BDBABCuuu ruuu ruuu r， 22222141416161616cos339999999BDBABCBABCBA BCBuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r， 4|3BD uuu r
18、. 故选：C 【点睛】 关键点点睛： 利用正弦定理及三角恒等变换， 求角 B 的余弦值， 根据向量加减的几何意义得到BDuuu r与,BA BCuur uuu r的数量关系，再由向量数量积的运算律求模. 二、填空题 13（2021 陕西高三其他模拟（理）在ABCV中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，外接圆半径为 r，若coscossinsinACrAC，2,3 2bac，则ABCV的面积S _. 【答案】72 【分析】 根据题设条件化简得sinsinsinA CrAC，进而得到以sinsinsinBrAC，利用正弦定理得到12bac，求得4ac ，再由余弦定理和三角函数的关系式，求
19、得sinB的值，结合面积公式，即可求解. 【详解】 由coscossinsinACrAC，整理得cossinsincossinsinACACrAC， 即sinsinsinA CrAC， 因为ABC，可得sinsinsinA CAB， 所以sinsinsinBrAC 由正弦定理可得，2sinsinsinabcrABC，可得12bac， 因为2b，所以4ac ，且ac3 2， 又由余弦定理可得2222223 28423cos2284acacbacbBacac ， 则2237sin1 cos144BB， 所以1177sin42242ABCSacB V. 故答案为：72. 14（2021 上海高三其他
20、模拟）设函数cos20yx x和函数cos100yx x的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x，2x，nx，若34tancosxx，则sin2_. 【答案】35 【分析】 利用余弦方程，解出x的值，然后得到34x ，43x ，代入34tancosxx，利用正切的两角差公式求出tan的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可. 【详解】 因为cos2cos100 xx x， 则有1022 xxk或1022 xxn，k，nN， 解得14xk或6nx ，k，nN， 又函数cos20yx x和函数cos100yx x的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x，2x， ，
21、nx， 所以0 x，6，4，3，2，23， 故34x ，43x ， 所以34tancosxx，即tancos43， 则1tan11tan2，解得1tan3， 故2222sincos2tan3sin22sincossincostan15. 故答案为：35. 15（2021 全国高三其他模拟（理）在ABCV中，内角, ,A B C的对边分别为, , ,a b c A为锐角，tan cos1 sin ,BCCABC V的面积为 2，则ABCV的周长的最小值为_. 【答案】42 2 【分析】 由题设可得sin()cosBCB，根据三角形内角的性质可知ABCV是2C的直角三角形，即有其周长为22abab
22、 ，利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 由tan cos1 sinBCC 知：sin coscoscos sinBCBBC，而BCA， sin coscos sinsin()sincosBCBCBCAB， ABCV是2C的直角三角形，故122ABCSabV，即4ab，而22cab， ABCV的周长22222224242 2ababababababab ，当且仅当2ab等号成立. 故答案为：42 2 【点睛】 关键点点睛：利用三角恒等变换及三角形内角的性质判断三角形的形状，再由三角形周长公式、基本不等式求周长的最小值即可. 16（2021 江苏连云港市 高三其他模拟）如
23、图，在梯形ABCD中，/AD BC，24BCABAD，3DAB，点E是AB的中点，则cosDEC_. 【答案】2114 【分析】 令244BCABAD， 根据已知条件易知AED为等边三角形，23EBC?， 连接BD， 则DBC、ADB都是直角三角形且3BD ， 进而求2ED、2DC、2EC， 在DEC中应用余弦定理求cosDEC即可. 【详解】 令244BCABAD，则1ADAEBE，又3DAB，/AD BC， AED为等边三角形，23EBC?，连接BD，易知DBC、ADB都是直角三角形且3BD ， 综上，有21ED ，22219DCBDBC，2222cos21ECBEBCBE BCEBC， 在DEC中，22221cos214EDECDCDECED EC. 故答案为：2114.